Какое число показать?

[BobVsAlice]

Цитата:

Это малореализуемо без дополнительного ограничения на минимальное расстояние между числами.

Ну нет, тогда и задачу топика надо было формулировать дискретно. Сравнение действительных чисел не реализуется тоже. Я же объяснил про меру, ясно же каков контекст задачи; теория игр изучает и выдуманные парадоксальные игры…
Но неважно, забудем про мою задачу, чтоб не усугублять путаницу и оффтопик.

Алиса прячет меньшее число из двух независимо равномерно распределенных.
Боб достает случайное число, и если оно меньше того, что ему дала Алиса, говорит «больше».
Очевидно, вероятность выигрыша равна тому числу, что он видит, то есть большему.
В среднем это 2/3. (5/6 это я загнул). А средняя ставка — меньшее число — 1/3. Выигрыш Боба 2/9, Алисы — 1/9.
Я верю симуляциям, и допускаю, что у меня сильно хромает теория вероятностей.

[mihaild]

BobVsAlice в сообщении #1693888 писал(а):

Ну нет, тогда и задачу топика надо было формулировать дискретно

Нет, не надо, потому что там распределение было непрерывным, и вероятность совпадения чисел - нуль. Поэтому можно было сказать, что при совпадающих числах оба участника улетают на Луну, это никак не повлияло бы на цену игры или оптимальные стратегии.
А вот в варианте "Алиса выбирает числа сама" вариант "числа совпали" уже игнорировать нельзя, и нужно написать в правилах, что при нем происходит.

Но это лучше в отдельную тему. Тут мы еще не до конца нашли все равновесия в исходной игре.

[BobVsAlice]

mihaild, я все условия в своем варианте упомянул: от Алисы требуются различные числа.

Сказали бы лучше, правильно ли я посчитал выигрыш при своей стратегии против «Алиса прячет меньшее» в вашей игре.

-- 11.07.2025, 01:03 --

wrest,

Цитата:

 Bob told max = 67 percent; max was guessed 0 percent of all games

нет, мы договорились, что Алиса прячет меньшее, Боб видит Большее, поэтому when he told “max” he guesses correctly that he was given the larger number.
Боб выиграл.

[EUgeneUS]

BobVsAlice в сообщении #1693884 писал(а):

Моя игра отличается тем, что Алиса выбирает числа как часть стратегии, а не получает их из известных распределений.

Тогда опять не понимаю, как именно описывается Ваш вариант игры.

Вы не могли бы описать его в одном сообщении полностью? Как это сделал уважаемый mihaild в стартовом сообщении этой темы.
И в отдельной теме, раз уж два (со мной - три) человека, включая ТС этой темы, считают, что так будет правильнее.

[wrest]

BobVsAlice в сообщении #1693894 писал(а):

нет, мы договорились, что Алиса прячет меньшее, Боб видит Большее, поэтому

Это не важно. Мы уже ранее пришли к выводу, что если в какой-то стратегии Боб проигрывает, то в инвертированной стратегии - выигрывает (столько же, сколько проигрывал в неинвертированной).

[BobVsAlice]

EUgeneUS,

Я описал все отличия правил моей игры от игры mihaild в своем первом сообщении. Повторю в теге оффтопик ниже. Там же привел решение, во втором сообщении его разъяснил. Новую тему создавать нет желания, давайте просто обсуждать мою стратегию для Боба в игре данного топика. Каков лучший ответ Алисы?

(Оффтоп)

Пусть Алиса произвольно выбирает два различных числа $x, y$ из $[0, 1]$ и прячет одно из них в конверт. И сумма выигрыша постоянна.

Остальные правила такие же: Боб должен угадать, больше число, которое он видит, чем число в конверте.

(Оффтоп)

Читаю форум лет 20, всех вас страшно уважаю, пытался соблюсти все приличия первого контакта, прочитал 8 страниц обсуждения и оффтопика, чтоб убедиться что мое тривиальное замечание еще не обсуждали, но высказаться понятно видимо от волнения не получилось ;)

-- 11.07.2025, 03:10 --

wrest,
Вы имеете в виду, что ваше утверждение

Цитата:

Нет. При стратегии Алисы "всегда показывать большую" Боб угадает в 1/3 случаев и приограет 1/6 денег.

следует инвертировать? ведь Боб угадает в 2/3 случаев.

[mihaild]

BobVsAlice в сообщении #1693908 писал(а):

Каков лучший ответ Алисы?

mihaild в сообщении #1693806 писал(а):

для её оптимального ответа $p_{xy} = G[q](x, y) = [y - 2\cdot y\cdot q_x > 2\cdot x \cdot q_y - x]$

Подставьте, соответственно, $q_x = 1-x$.

[wrest]

BobVsAlice в сообщении #1693908 писал(а):

обсуждать мою стратегию для Боба в игре данного топика. Каков лучший ответ Алисы?

Насчет лучшей не знаю, но хорошая - показывать большее число.

-- 11.07.2025, 14:38 --

BobVsAlice в сообщении #1693908 писал(а):

следует инвертировать? ведь Боб угадает в 2/3 случаев.

Нет, мои утверждения инвертировать пока не надо
Но Боб может угадать 2/3 и выиграть 1/6 если инвертирует свою стратегию.

[EUgeneUS]

mihaild в сообщении #1693893 писал(а):

Тут мы еще не до конца нашли все равновесия в исходной игре.

Исходная игра.

1. $p_{xy}$ - вероятность, что при паре $(x,y)$ Алиса покажет $x$. Не будем накладывать на неё никаких ограничений, кроме того что это - вероятность: $p_{xy} \in [0,1]$

2. $b_{\xi}$ - вероятность того, что Боб скажет "показано бОльшее", при условии, что он видит $\xi$

3. Введем "расширенную стратегию Боба"
$b_{xy}$ - вероятность того, то Боб скажет "показано $x$ (число из ГСЧ номер 1)", при условии что Алисе выпала пара $(x,y)$

Строится она так

$$\begin{cases} b_{xy} = b_x,&\text{если $x>y$;}\\ b_{xy} = 1-b_x,&\text{если $x<y$.} \end{cases}$$

4. Теперь в каждой точке $(x,y)$ выигрыш Алисы:

$$W_a(x,y) = -b_{xy}p_{xy}y + b_{xy}(1-p_{xy})x + (1-b_{xy})p_{xy}y - (1-b_{xy})(1-p_{xy}) x$$

После перегруппировке слагаемых:

$$W_a(x,y) = (1-2b_{xy})(p_{xy}(x+y) - x)$$

5. Легко видеть, что
а) если $(1-2b_{xy}) > 0$, то Алиса выбирает $p_{xy} =1$, и выигрывает в этой точке $y$
б) если $(1-2b_{xy}) < 0$, то Алиса выбирает $p_{xy} =0$, и выигрывает в этой точке $x$

6. Суммарный выигрыш Алисы положительный для любой нетривиальной стратегии Боба.
А значит у Боба одна равновесная стратегия, тривиальная: $b_{\xi} = 1/2$ почти всюду.

Ч.Т.Д.

[mihaild]

EUgeneUS
Что-то тут не так. Выигрыш Алисы на паре $(x, y)$ должен зависеть от поведения Боба на $y$, а у вас не зависит.

[EUgeneUS]

Хм. Из

EUgeneUS в сообщении #1693918 писал(а):

$$W_a(x,y) = (1-2b_{xy})(p_{xy}(x+y) - x)$$

Следует ещё одна равновесная стратегия Алисы:

$$p_{xy} = \frac{x}{x+y}$$

В $(0,0)$ там какой-то жуткий разрыв, так и чёрт бы с ним. На остальном квадрате она положительна и не превосходит $1$.

-- 11.07.2025, 16:05 --

mihaild в сообщении #1693919 писал(а):

Выигрыш Алисы на паре $(x, y)$ должен зависеть от поведения Боба на $y$, а у вас не зависит.

Не понял.
$b_{xy}$ - описывает поведение Боба на всем квадрате, и на $x$, и на $y$.
И выигрыш Алисы зависит от $b_{xy}$.

-- 11.07.2025, 16:17 --

Понял, в чем претензия. У меня в построении $b_{xy}$ очепатка. Должно быть так:

$$\begin{cases} b_{xy} = b_x,&\text{если $x>y$;}\\ b_{xy} = 1-b_y,&\text{если $x<y$.} \end{cases}$$

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1693920 писал(а):

Следует ещё одна равновесная стратегия Алисы:

$$p_{xy} = \frac{x}{x+y}$$

А как-то её можно изложить в стиле "если $x,y$ такие что... то показываем $x$ иначе $y$

[mihaild]

EUgeneUS в сообщении #1693920 писал(а):

$b_{xy}$ - описывает поведение Боба на всем квадрате, и на $x$, и на $y$

Но для конкретной пары $x > y$ выигрыш Алисы зависит от $b_y$.
Пусть числа $x = 2/3$, $y = 1/3$, Боб пользуется стратегией "если показали $>1/2$, говорить что показано меньшее, иначе говорить что показано большее", $b_{xy} = 0$. На этой паре при такой стратегии Боб всегда выигрывает.

EUgeneUS в сообщении #1693918 писал(а):

$$W_a(x,y) = -b_{xy}p_{xy}y + b_{xy}(1-p_{xy})x + (1-b_{xy})p_{xy}y - (1-b_{xy})(1-p_{xy}) x$$

Упрощается до $p_{xy}y - (1-p_{xy})x$, что может быть положительно.

EUgeneUS в сообщении #1693918 писал(а):

Суммарный выигрыш Алисы положительный для любой нетривиальной стратегии Боба

У Вас получается, что он может быть сделан неотрицательным для любой пары. Но верно ровно обратное - для любой конкретной пары Боб может гарантировать себе выигрыш на этой паре.

[EUgeneUS]

mihaild в сообщении #1693927 писал(а):

Но для конкретной пары $x > y$ выигрыш Алисы зависит от $b_y$.

Я исправил опечатку в построении $b_{xy}$

mihaild в сообщении #1693927 писал(а):

Пусть числа $x = 2/3$, $y = 1/3$, Боб пользуется стратегией "если показали $>1/2$, говорить что показано меньшее, иначе говорить что показано большее", $b_{xy} = 0$. На этой паре при такой стратегии Боб всегда выигрывает.

Нет

mihaild в сообщении #1693927 писал(а):

Упрощается до $p_{xy}y - (1-p_{xy})x$, что может быть положительно.

Далее подставляем числа $x = 2/3$, $y = 1/3$ и упрощаем до $p_{xy} - 2/3$. Алиса по своему произволу выбирает знак.

mihaild в сообщении #1693927 писал(а):

У Вас получается, что он может быть сделан неотрицательным для любой пары.

Да, но при фиксированной стратегии Боба.

mihaild в сообщении #1693927 писал(а):

Но верно ровно обратное - для любой конкретной пары Боб может гарантировать себе выигрыш на этой паре.

Да, но при фиксированной стратегии Алисы.

Это и обеспечивает равновесие Нэша

-- 11.07.2025, 17:43 --

wrest в сообщении #1693926 писал(а):

А как-то её можно изложить в стиле "если $x,y$ такие что... то показываем $x$ иначе $y$

Если выпали $x,y$, то с вероятностью $p_{xy}=\frac{x}{x+y}$ Алиса показывает $x$, а с вероятностью $\tilde{p}_{xy}=\frac{y}{x+y}$ Алиса показывает $y$.

[mihaild]

EUgeneUS в сообщении #1693928 писал(а):

Я исправил опечатку в построении $b_{xy}$

Но при $x > y$ всё еще $b_{xy}$ не зависит от $b_y$. А выигрыш на этой паре, если Алиса показала $y$, зависит.

EUgeneUS в сообщении #1693928 писал(а):

Алиса по своему произволу выбирает знак

У Вас так получается. А это невозможно.

EUgeneUS в сообщении #1693928 писал(а):

Да, но при фиксированной стратегии Боба

Фиксированная стратегия Боба: сказать, что спрятано меньшее, если показанное больше $1/2$, иначе сказать, что спрятано большее. В Ваших обозначениях - $b_x = [x > 1/2]$.
Как Алисе выиграть если ей выпали $(1/3, 2/3)$?