Прыжки Виета

[nnosipov]

Натуральные числа $m$ и $n$ таковы, что дробь

$$\frac{m^2+3n^2+2}{3mn}$$

является целым числом. Докажите, что оно равно $2$.

Комментарий. Задача несложная, но хотелось бы увидеть решение в традиционном стиле --- с помощью прыжков Виета (Vieta jumping). Принципиальна ли для этого метода симметрия уравнения относительно неизвестных?

[Shadow]

Здравствуйте, nnosipov
У меня сложилось впечатление, что нельзя решать такие уравнения с помощью Vieta jumping, если старшие коеффициент не равны $1$, но тут кажется можно.

$\dfrac{m^2+3n^2+2}{3mn}=k$

Для начала заметим, что $k>1$, так как $m^2+3n^2>3mn$. Для любого $k$ ищем наименьшее решение в нат. числах.

Допустим, что для фиксиранного $k$ наименьшее решение $n_1 \ge m$

$3n^2-3kmn+m^2+2=0$

Заметим, что если $n_1$ - решение, то и $n_2=km-n_1$ тоже целое, да еще и положительное и $n_2 \ge n_1$. Тогда

$(n_1-m)(n_2-m) \ge 0$

$n_1n_2-m(n_1+n_2)+m^2 \ge 0$ Формулы Виета

$\dfrac{m^2+2}{3}-km^2+m^2 \ge 0$

$m^2(3k-4) \le 2$

Что возможно только при $k=2,m=1$

Допустим, что для фиксиранного $k$ наименьшее решение $m_1 \ge n$
Аналогичное решение водит до аналогичный результат:

$n^2(3k-4) \le 2$

[nnosipov]

Shadow
я, конечно, рассчитывал на Вас. Выглядит весьма элегантно. Но вот что меня смущает:

Shadow в сообщении #1693825 писал(а):

Допустим, что для фиксированного $k$ наименьшее решение $n_1 \ge m$

А почему для данного $k$ существуют решения $(m,n)$, где $n \geqslant m$? Это же надо как-то обосновать. Или это очевидно?

[Shadow]

nnosipov в сообщении #1693830 писал(а):

А почему для данного $k$ существуют решения $(m,n)$, где $n \geqslant m$? Это же надо как-то обосновать. Или это очевидно?

Нет, я рассмотрел оба случая:

$n_1 \ge m$

и $m_1 \ge n$

Но расписал подробно только первый. И написал

Shadow в сообщении #1693825 писал(а):

Допустим, что для фиксиранного $k$ наименьшее решение $m_1 \ge n$
Аналогичное решение водит до аналогичный результат:

$n^2(3k-4) \le 2$

Тоже самое получеся $(m_1-n)(m_2-n) \ge 0$
и т.д

[nnosipov]

Да, я это уже понял. А что будет, если убрать тройку в знаменателе? Вроде бы, должно все рухнуть (здесь $k$, похоже, может быть сколь угодно большим).

[Shadow]

nnosipov в сообщении #1693842 писал(а):

А что будет, если убрать тройку в знаменателе? Вроде бы, должно все рухнуть (здесь $k$, похоже, может быть сколь угодно большим).

Да, интересный вариант.

$\dfrac{m^2+3n^2+2}{mn}=k$

Что можно сказать. $m$ не делится на $3$ (иначе знменатель делится, а числитель - нет)

Если $n$ не делится на $3$ - наоборот, числитель делится, а знаменатель - нет, а значит $\dfrac{m^2+3n^2+2}{3mn}$ тоже целое - вариант рассмотрен.

Если же $n$ делится на 3

$\dfrac{x^2+27y^2+2}{3xy}=k$

И тут "скачки Виета" не работает. Есть очевидное решение $x=1,y=1,k=10$. Наверное будут и другие $k$