Решение системы диффуров методом конечных разностей

[Kirik69]

Добрыйдень. Имею систему уравнений:

$$\begin{cases} \frac{dv}{dt}= -\frac{\partial p}{\partial x}\cdot\frac{1}{\rho}\\ \frac{\partial p}{\partial t}= -\frac{\partial p}{\partial x}\cdot2\cdot v \end{cases}$$

Не подскажите, возможно ли решить систему численным методом, а именно методом конечных разностей. И если да, то как. 5 дней бьюсь и никак не получается.

Заранее благодарю.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы. Простите, с чего Вы решили заключать формулы в окружение text?

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[B@R5uk]

Kirik69 в сообщении #1691619 писал(а):

5 дней бьюсь и никак не получается.

А что именно вы делали, и что не вышло? Заменить производные разностями получилось? Граничные условия не забыли? В какой программной среде вы работаете?

[Kirik69]

Я заменял на разности, и тут у меня выходит, что разность давлений на каждом шаге по координаты должны быть одинаковыми. Тут как раз я и начинаю плыть. Программа писаться будет в mathcad.

-- 22.06.2025, 19:39 --

Данное заключение получил, исходя из первого уравнения. Хотя могу и ошибаться.

[B@R5uk]

Kirik69 в сообщении #1691771 писал(а):

у меня выходит

Ну так продемонстрируйте шаг за шагом, как вы к такому выводу пришли. Трудно понять, где ошибка (и есть ли она), если не известны ваши действия.

[Kirik69]

Вот что я подразумевал:

$\dfrac{v_{i+1}-v_i}{\Delta t}=-\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{p_{i,j+1}-p_{i,j}}{\Delta x}$

$i$ - счетчик по времени
$j$ - счетчик по координате

И получается, что разность давлений по координате должно быть одинаковым, поскольку скорость для следующего момента времени для всех точек одинакова.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы)

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[B@R5uk]

Kirik69 в сообщении #1691790 писал(а):

разность давлений по координате должно быть одинаковым, поскольку скорость для следующего момента времени для всех точек одинакова.

Вы не в ту сторону читаете уравнение. По разности давлений в текущий момент времени находится разность скоростей между следующим и текущим моментом времени (для каждой координаты). Другими словами, по координатной дельте давлений, вы находите временную дельту скоростей, которую вы добавляете к скоростям в текущий момент времени, чтобы получить скорости в следующий момент времени. Обратное делается для второго уравнения, из которого вы находите давления в следующий момент времени (для каждой координаты).

Потом, ваши функции, скорость и давление, они обе являются функциями двух переменных. Поэтому, когда вы заменяете их на дискретные функции, то получаются два дискретных набора величин, но оба имеют по два индекса, не только давление как у вас в формуле.

$$\begin{array}{c}v\lBig(t,\;x\rBig)\;\rightarrow\;v_{i,j}=v\lBig(t_i,\;x_j\rBig)\\p\lBig(t,\;x\rBig)\;\rightarrow\;p_{i,j}=p\lBig(t_i,\;x_j\rBig)\end{array}$$

$$\dfrac{v_{i+1,j}-v_{i,j}}{\Delta t}=-\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{p_{i,j+1}-p_{i,j}}{\Delta x}$$

Теперь вы просто переписываете эту формулу чуток по-другому и получаете явную формулу для расчёта скоростей во внутренних точках отрезка в следующий момент времени:

$$v_{i+1,j}=v_{i,j}-\dfrac{\Delta t}{\rho}\cdot\dfrac{p_{i,j+1}-p_{i,j}}{\Delta x}$$

Более того, нельзя забывать про граничные условия: у вас координаты не покрывают всё ваше пространство (одномерное), а лишь часть его. Поэтому у вас есть некоторый $x_0=a$ и некоторый $x_N=b$, являющиеся концами отрезка $[a,\;b]$, на котором разворачивается всё действие. На этих концах формулы будут другими, в зависимости от того, какими являются ваши граничные условия. Это может быть фиксированный поток (скорость задана функцией времени), или фиксированное давление (давление задано функцией времени), может быть жёсткая стенка (давление любое, скорость нулевая, разновидность фиксированного потока), упругая стенка (скорость и давление связаны некоторой хитрой формулой, учитывающей коэффициент упругости стенки), а может вообще быть периодическое условие (скорость и давление на концах равны, решение пространственно зациклено, или, другими словами, действие разворачивается на 1-торе).

И ещё, разностные формулы бывают разными. И разные формулы имеют разную степень точности. Чуть более точной для производной по координате будет такая формула:

$$\dfrac{v_{i+1,j}-v_{i,j}}{\Delta t}=-\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{p_{i,j+1}-p_{i,j-1}}{2\Delta x}$$

То же самое можно сделать и по времени, но это всё будет чутка сложнее.

[Kirik69]

Мне понятно, но исходя из уравнений, скорость не зависит от координаты.

[TOTAL]

$$\dfrac{v_{i+1,j}-v_{i,j}}{\Delta t}=-\dfrac{1}{\rho}\cdot\dfrac{p_{i,j}-p_{i,j-1}}{\Delta x}$$

[Kirik69]

Почему скорость зависит от координаты? Производная то только по времени, частная производная по координате равна 0.

[B@R5uk]

Kirik69 в сообщении #1691974 писал(а):

исходя из уравнений, скорость не зависит от координаты.

Уравнения тут не при чём. По своей природе скорость является функцией как координаты, так и времени. Если частная производная скорости по координате не входит в уравнения, это ещё не значит, что она равна нулю, скорее даже наоборот: она может быть чем угодно, на неё не наложены никакие ограничения.

Плюс, замечание. Даже если скорость не зависит от координаты в начальный момент времени, она будет зависеть от координаты в последующие моменты времени, потому что (скорее всего) давление зависит от координаты, а из этого следует (согласно первому уравнению), что скорость изменения скорости со временем зависит от координаты, поэтому скорость с течением времени будет меняться по разному в разных точках пространства, из-за чего она перестанет быть независимой от координаты.

[Kirik69]

А, тогда это моя ошибка. Вот уравнение ещё, которое забыл:


$\frac{\partial v}{\partial x}=0$