Точное количество кортежей из простых чисел в интервале

[Yadryara]

Ну то бишь считали максимум по 176-й ноль, который равен 359.7437549531144487992919859769902 ?

А на текст программы можно взглянуть?

-- 03.06.2025, 19:24 --

vicvolf в сообщении #1688697 писал(а):

которая подсчитывает $J(x)$ по формуле Римана.

Если она по формуле Римана в лоб подсчитывает, то интереса нет. Или это оптимизированный подсчёт с лучшей сходимостью?

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1688697 писал(а):

Введите x (>2): 500
Введите T (высота обрезания нулей, например 100): 360
J(500.0) ≈ 101.38145163741553383733018788945674905527660705906

PARI с Вами не совсем согласен:
101.38145193674123865609308337027780531
101.3814519367412386560930833702778053037895828097488338273503312379956745728758506082820306192633644
Разница от ваших уже в 7 знаке после запятой.
Вы уверены что использовали в питоне библиотеку повышенной точности? Точности в 9 цифр как-то маловато для double чисел.

Точное значение для справки: J(500)=95/1+8/2+4/3+2/4+2/5+1/6+1/7+1/8=28467/280=101.667(857142).

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1688702 писал(а):

Или это оптимизированный подсчёт с лучшей сходимостью?

Пожалуйста, уточните, что Вы имеете в виду? Я же меняя $T$, как раз выбираю оптимальное число нулей.

[Yadryara]

vicvolf
Да я всё об одном и том же. Ведь Платту сотоварищи нулей понадобилось на порядки меньше, чем если считать $\pi(10^{24})$ в лоб, то есть строго по формуле Римана. Владеете Вы этим усовершенствованным методом?

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1688713 писал(а):

Да я всё об одном и том же. Ведь Платту сотоварищи нулей понадобилось на порядки меньше, чем если считать $\pi(10^{24})$ в лоб, то есть строго по формуле Римана. Владеете Вы этим усовершенствованным методом?

Это маленькая программа, чтобы просто показать точность вычисления $J(x)$ в зависимости от количества нулей. Зачем при вычислении $J(500)$ использовать метод Платта?

Dmitriy40 в сообщении #1688708 писал(а):

Вы уверены что использовали в питоне библиотеку повышенной точности? Точности в 9 цифр как-то маловато для double чисел.

В программе установлена высокая точность вычислений (50 знаков).

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1688714 писал(а):

Это маленькая программа, чтобы просто показать точность вычисления $J(x)$ в зависимости от количества нулей.

Эта точность уже давным-давно понятна. Дмитрий совсем недавно ещё раз расписывал.

vicvolf в сообщении #1688714 писал(а):

Зачем при вычислении $J(500)$ использовать метод Платта?

Чтобы его продемонстрировать.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1688714 писал(а):

В программе установлена высокая точность вычислений (50 знаков).

Хм, а по факту всего 9 цифр совпадают с PARI и видимо верные ...

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1688717 писал(а):

vicvolf в сообщении #1688714 писал(а):

В программе установлена высокая точность вычислений (50 знаков).

Хм, а по факту всего 9 цифр совпадают с PARI и видимо верные ...

Видите для установления точного значения надо писать на разных языках)

[wrest]

Dmitriy40 в сообщении #1688708 писал(а):

Точное значение для справки: J(500)=95/1+8/2+4/3+2/4+2/5+1/6+1/7+1/8=28467/280

Как-то вот транно это, нет ли тут терминологической проблемы...
Я для pari нашел такую функцию
J(n)=sum(k=1, logint(n, 2), primepi(sqrtnint(n, k))/k)
И она возвращает 28467/280
Функция конечно малополезная т.к. прямо вычисляет $J(x)=\sum \limits_{k=1}^{\lfloor \log_2 x \rfloor} \frac{\pi (x^{1/k})}{k}$

Но вольфрам содержит функцию RiemannR() и считает по другому
https://wolframalpha.com/input?i2d=true ... 5C%2841%29
$R (500)\approx 94.32803193869501836877112618...$ при этом $\pi(500)=95$

Её описание на вольфраме: https://mathworld.wolfram.com/RiemannPr ... ction.html

[Dmitriy40]

wrest в сообщении #1688720 писал(а):

Я для pari нашел такую функцию
J(n)=sum(k=1, logint(n, 2), primepi(sqrtnint(n, k))/k)
И она возвращает 28467/280
Функция конечно малополезная т.к. прямо вычисляет $J(x)=\sum \limits_{k=1}^{\lfloor \log_2 x \rfloor} \frac{\pi (x^{1/k})}{k}$

Как уже говорил, это неправильно работает для любых степеней простых, включая и первую. Потому что в формуле под $\pi(x)$ подразумевается вовсе не primepi(x), а выражение primepi(x)-if(frac(x)==0&&isprime(x),0.5,0).
Проверка: $J(9)=\pi_0(9)/1+\pi_0(3)/2+\pi_0(2.08)/3=4/1+1.5/2+1/3=61/12=5.08(3)$. Потому что $\pi_0(3)=1.5 \ne 2=\pi(3)$!
В остальном именно так она и вычисляется. Если можем вычислить primepi(x)! А для интересующих диапазонов (порядка 1e24-1e26) мы её вычислить не можем, в этом и проблема.

[Yadryara]

wrest, очень рад, что Вы подключились. Понимаю, что PARI Вы знаете прекрасно. Чтоб понять Ваш уровень знакомства с темой: Читали книгу Дербишира? Работу Платта?

wrest в сообщении #1688720 писал(а):

Но вольфрам содержит функцию RiemannR() и считает по другому https://wolframalpha.com/input?i2d=true ... 5C%2841%29
$R (500)\approx 94.32803193869501836877112618...$ при этом $\pi(500)=95$

Её описание на вольфраме: https://mathworld.wolfram.com/RiemannPr ... ction.html

Смотрим 409-ю бумажную страницу книги.

Функция Римана, как понимаю, отличается от $\pi(x)$ на тот самый дзета-столбец. Говорю так, чтобы не путать с просто суммой по дзета-нулям для верхней строки, то есть именно для $x$. Правда, значения не полностью совпадают.

$R (10^6) \approx 78527.399$

Тогда как надо бы $78527.374$ потому что дзета-столбец примерно равен $29.374$

Если вычесть ещё два правых столбца, то почти сойдётся:

$78527.399 - 0.035 + 0.008 = 78527.372$

Может дело в погрешностях округлений.

[Yadryara]

Работа Дэвида Платта.

Кстати, у меня есть ощущение, что у Платта c помощью дзета-нулей считалось количество простых чисел и всех простых степеней только в этой полосе: $10^{24}\pm6\cdot10^{15}$

Ну а я пока продолжаю исследовать сумму по двум первым дзета-нулям.

Yadryara в сообщении #1688192 писал(а):

Период (расстояние между экстремумами) для 1-го нуля стремится каждый раз увеличиваться в $1.2488968123460388$ раза.

Возведение этой константы в 4-ю степень даёт примерно $2.433$

И сумма по этим первым двум дзета-нулям регулярно обращается в ноль. Все точки такого обращения начиная с $x=10$ и до $x=10^9$ показаны ниже. Также показаны соотношения между этими точками. Значение $x$ в 5-й точке делится на значение $x$ в первой, значение $x$ в 6-й точке делится на значение во 2-й и так далее. Звёздочками отметил аномалии — отклонения от стандартных значений вблизи $2.44$. Видно что эти аномалии периодически передают эстафету — в этих местах звёздочки стоят вплотную.

Используется синтаксис Text

1             12.051   
2             14.557
3             17.535
4             21.303
5             29.384     2.438
6             35.535     2.441
7             42.802     2.441
8             51.878     2.435    *
9             71.627     2.438    
10            86.755     2.441
11           104.498     2.441
12           126.443     2.437    *
13           174.509     2.436    *
14           211.810     2.441
15           255.145     2.442
16           308.347     2.439
17           424.769     2.434    *
18           517.118     2.441
19           623.010     2.442
20           752.215     2.440
21          1032.114     2.430    *
22          1262.451     2.441
23          1521.316     2.442
24          1835.511     2.440
25          2497.414     2.420    *
26          3081.836     2.441
27          3714.963     2.442
28          4479.769     2.441
29          5669.383     2.270    *
30          7522.496     2.441
31          9071.840     2.442
32         10934.970     2.441
33         13469.518     2.376    *
34         18359.340     2.441
35         22153.280     2.442
36         26695.000     2.441
37         32624.810     2.422    *
38         44799.710     2.440
39         54097.660     2.442
40         65174.480     2.441
41         79305.190     2.431    *
42        109292.050     2.440
43        132103.100     2.442
44        159131.670     2.442
45        193087.970     2.435    *
46        266536.230     2.439
47        322580.200     2.442
48        388561.000     2.442
49        470547.210     2.437    *
50        649700.130     2.438    
51        787677.400     2.442
52        948811.600     2.442
53       1147363.000     2.438    *
54       1582506.900     2.436    *
55       1923269.500     2.442
56       2316939.000     2.442
57       2798774.900     2.439
58       3849742.400     2.433    *
59       4695774.300     2.442
60       5657949.900     2.442
61       6828988.200     2.440
62       9341737.300     2.427    *
63      11464168.200     2.441
64      13816887.100     2.442
65      16666113.300     2.440
66      22496451.500     2.408    *
67      27985767.900     2.441
68      33741527.000     2.442
69      40679934.000     2.441
70      50530417.300     2.246    *
71      68309261.000     2.441
72      82398565.000     2.442
73      99306715.300     2.441
74     121805140.000     2.411    *
75     166707020.000     2.440
76     201220370.000     2.442
77     242447670.000     2.441
78     295643000.000     2.427    *
79     406759870.000     2.440
80     491381190.000     2.442
81     591956360.000     2.442
82     719289910.000     2.433    *
83     992201840.000     2.439
 

Именно поэтому та самая функция Римана $R$ даёт очень хорошие приближения к $\pi(x)$ в точках $10^8$ и $10^9$.

Полагаю, ещё лучше будут приближения в точках $9.93\cdot10^7$ и $9.922\cdot10^8$, а также и в других точках из таблицы выше. Потому что два самых главных нуля никакого вклада не дают, а остальные нули вряд ли дадут большую сумму и сильную аномалию.

Планирую продолжать: исследовать сумму теперь уже по трём первым нулям.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1688192 писал(а):

Планирую продолжать: исследовать сумму теперь уже по трём первым нулям.

Очень перспективно, учитывая, что Платт использует 70 млрд. нулей

Yadryara в сообщении #1688758 писал(а):

Кстати, у меня есть ощущение, что у Платта c помощью дзета-нулей считалось количество простых чисел и всех простых степеней только в этой полосе: $10^{24}\pm6\cdot10^{15}$

А как же теорема 7.1:

$\pi(10^{24}) = 18, 435, 599, 767, 349, 200, 867, 866$?

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1688192 писал(а):

Планирую продолжать: исследовать сумму теперь уже по трём первым нулям.

Очень перспективно, учитывая, что Платт использует 70 млрд. нулей

Yadryara в сообщении #1688758 писал(а):

Кстати, у меня есть ощущение, что у Платта c помощью дзета-нулей считалось количество простых чисел и всех простых степеней только в этой полосе: $10^{24}\pm6\cdot10^{15}$

А как же теорема 7.1:

$\pi(10^{24}) = 18, 435, 599, 767, 349, 200, 867, 866$?

Давайте прикинем по PNT - $\pi(x) \sim x/\ln(x)$:
$\pi(10^{24})\sim \frac {10^{24}}{24\ln(10)}=1,8 \cdot 10^{22}$.

Порядок верный.

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1688787 писал(а):

Порядок верный.

Кто бы сомневался.

А зачем Вы инфу из постов дублируете??