а этот предел равен

(при

функция под знаком предела асимптотически ведет себя как

).
Просто для 1-й степени получается конечное значение, а для остальных степеней --- бесконечное.
YadryaraДа, так и есть, улучшение точности не приводит к сходимости интеграла:
Код:
? e=1e-3;intnum(t=0,1-e,1/log(t)^1)+intnum(t=1+e,2,1/log(t)^1)
%1 = 1.0441637800897149995668078635881729156
? e=1e-4;intnum(t=0,1-e,1/log(t)^1)+intnum(t=1+e,2,1/log(t)^1)
%2 = 1.0450637801174650070667361114165105761
? e=1e-5;intnum(t=0,1-e,1/log(t)^1)+intnum(t=1+e,2,1/log(t)^1)
%3 = 1.0451537801174927570668111106668353587
? e=1e-3;intnum(t=0,1-e,1/log(t)^3)+intnum(t=1+e,2,1/log(t)^3)
%4 = 2996.9985178681655640763003412787381168
? e=1e-4;intnum(t=0,1-e,1/log(t)^3)+intnum(t=1+e,2,1/log(t)^3)
%5 = 29996.998517868164178074363481554881591
? e=1e-5;intnum(t=0,1-e,1/log(t)^3)+intnum(t=1+e,2,1/log(t)^3)
%6 = 299996.99851786819155379554947082465982
И значит интеграл (в этом смысле) не существует (равен

).
А что считает PARI - вопрос вообще туманный.