2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Почему не считается интеграл
Сообщение19.05.2025, 16:23 
Аватара пользователя


29/04/13
9319
Богородский
$$\int\limits_{0}^{2}\frac1{\ln^1{x}}\approx 1.045 $$

$$\int\limits_{0}^{2}\frac1{\ln^3{x}}\approx \quad ? $$

Собственные попытки решения.

Разбил отрезок на части по одной миллионной, посчитал методом прямоугольников, выбросив одно значение в точке $x=1$, для 1-й степени сошлось: $1.045164$. Для 3-й степени этот приём не сработал — значение получилось огромное.

В PARI вот такая команда даёт

Код:
real(-eint1(-log(fin)^1)) =  1.045164
real(-eint1(-log(fin)^3)) = -0.159385

Но вот правильно ли это, уверенности нет. Альфа тоже не берёт с кубом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не считается интеграл
Сообщение19.05.2025, 17:34 
Заслуженный участник


20/08/14
12226
Россия, Москва
Зато вольфрамальфа показывает формулу для этого интеграла (вместе с графиками):
$$\frac{\operatorname{li}(x)}{2}-\frac{x}{2}\left(\frac{1}{\ln(x)}+\frac{1}{\ln^2(x)}\right)$$
И если в ней положить что в нуле он равен нулю, то подставляя в $x$ верхний предел можно получить похожие на правду (судя по его же графикам, да и по смыслу) значения:
Код:
? x=2;real(-eint1(-log(x)))/2-x/2*(1/log(x)+1/log(x)^2)
%1 = -3.0014821318358248128072118401395769942
? x=3;real(-eint1(-log(x)))/2-x/2*(1/log(x)+1/log(x)^2)
%2 = -1.5263677171419946705461366750931778737
? x=9;real(-eint1(-log(x)))/2-x/2*(1/log(x)+1/log(x)^2)
%3 = -0.11952176439810487448888669003343299363
? x=10;real(-eint1(-log(x)))/2-x/2*(1/log(x)+1/log(x)^2)
%4 = -0.031731142180679815593957868073568405232
? x=11;real(-eint1(-log(x)))/2-x/2*(1/log(x)+1/log(x)^2)
%5 = 0.045288369793610299320231950795256087231


-- 19.05.2025, 18:30 --

Кстати недавно же замучил вольфрамальфа по поводу интегралов от обратных логарифмов:
Dmitriy40 в сообщении #1681790 писал(а):
Да, степень надо понизить до первой и коэффициенты тоже будут другими.

-- 11.04.2025, 15:09 --

Вот такими:
$$\int \frac{1}{\ln^k x}dx = \frac{1}{(k-1)!} \left( li(x) - x \sum\limits_{i=1}^{k-1} \frac{(i-1)!}{\ln^i x}\right)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не считается интеграл
Сообщение19.05.2025, 20:07 
Аватара пользователя


29/04/13
9319
Богородский
Спасибо. Я уже и забыл что сам нашёл способ посмотреть эти формулы в Альфе.

Да, вроде бы так работает. И пока даёт лучшее приближение чем HL1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не считается интеграл
Сообщение20.05.2025, 06:06 
Аватара пользователя


29/04/13
9319
Богородский
Хотя еcть сомнения — добился выдачи этой формулы, присмотрелся внимательно:

for $ Re(x)\leqslant 1 \quad V x \notin \mathbb{R}$

И для формулы для 2-й степени то же самое ограничение.
$$\int\limits_{0}^{x}\frac1{\ln^2{t}}dt=\operatorname{li}(x)-\frac{x}{\ln(x)}$$

Код:
real(-eint1(-log(2))) - 2/log(2) равен примерно -1.840226

Что конечно же не так, значение $\int\limits_{0}^{2}\frac1{\ln^2{t}}dt$ огромно, если не бесконечно.

С другой стороны и для 1-й степени то же самое пишет, а уж для неё-то точно значение правильно посчитано. Может не обращать внимания на чётные степени и считать только для нечётных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не считается интеграл
Сообщение20.05.2025, 07:03 
Заслуженный участник


20/12/10
9183
Yadryara в сообщении #1686465 писал(а):
$$\int\limits_{0}^{2}\frac1{\ln^1{x}}\approx 1.045 $$

$$\int\limits_{0}^{2}\frac1{\ln^3{x}}\approx \quad ? $$

Собственные попытки решения.

Разбил отрезок на части по одной миллионной, посчитал методом прямоугольников, выбросив одно значение в точке $x=1$, для 1-й степени сошлось: $1.045164$. Для 3-й степени этот приём не сработал — значение получилось огромное.
Все верно, интеграл здесь нужно понимать в смысле главного значения по Коши, т.е. как $$\lim_{\varepsilon \to 0}\left(\int_0^{1-\varepsilon}\frac{dx}{\ln{(x)}^3}+\int_{1+\varepsilon}^2\frac{dx}{\ln{(x)}^3}\right),$$а этот предел равен $\infty$ (при $\varepsilon \to 0$ функция под знаком предела асимптотически ведет себя как $3\varepsilon^{-1}$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не считается интеграл
Сообщение20.05.2025, 07:58 
Аватара пользователя


29/04/13
9319
Богородский
Какие люди!

А что тогда считает PARI ? Ведь посчитал же: $-3.001$.

Как-то через комплексные числа считается?

Вообще задача стоит амбициозная: приспособить точную формулу Римана 1859 года для простых чисел, чтобы считать по ней количество кортежей из простых чисел в интервале.

HL1 (1-ю гипотезу Харди-Литлвуда) уже удалось для этого приспособить, но хочется-то считать ещё точнее.

И проблема, я пока не могу найти как Риман вывел свою формулу. Везде в поиске натыкаюсь на гипотезу Римана. А гипотеза пока не интересна, ведь всё равно первые 103 триллиона нулей и так все на критической прямой.

Может быть можно переписать формулу Римана так, чтобы интегралы считать от 2-х, а не от нуля...

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не считается интеграл
Сообщение20.05.2025, 08:15 
Заслуженный участник


20/12/10
9183
Yadryara в сообщении #1686586 писал(а):
А что тогда считает PARI ? Ведь посчитал же: $-3.001$.
То, что спросили, то и посчитал. Но это не имеет отношения к вычислению интеграла (формула Ньютона-Лейбница неприменима в данном случае).

Кстати, если хотите прочувствовать эффект, поэкспериментируйте с интегралами $$\int_{-1}^1\frac{dx}{1-\cos{(x)}+\sin{(x)}}, \quad \int_{-1}^1\frac{dx}{(1-\cos{(x)}+\sin{(x)})^3}$$(здесь можно обойтись без спецфункций).

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не считается интеграл
Сообщение20.05.2025, 08:34 
Аватара пользователя


29/04/13
9319
Богородский
То есть для 1-й степени формула Ньютона-Лейбница применима, а для 3-й, 5-й и так далее неприменима? Пока не понял почему, ведь уход в бесконечность и там и там.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не считается интеграл
Сообщение20.05.2025, 09:01 
Заслуженный участник


20/12/10
9183
Yadryara в сообщении #1686589 писал(а):
То есть для 1-й степени формула Ньютона-Лейбница применима, а для 3-й, 5-й и так далее неприменима?
Формула Н-Л здесь вообще не применима, ведь эти интегралы для любой степени не существуют в обычном смысле (понимаемые как интегралы Римана по отрезку). Единственный способ придать им смысл --- это понимать их в смысле главного значения по Коши. Просто для 1-й степени получается конечное значение, а для остальных степеней --- бесконечное. Так бывает (см. мои примеры выше, где можно обойтись без спецфункций).

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не считается интеграл
Сообщение20.05.2025, 09:21 
Аватара пользователя


29/04/13
9319
Богородский
Ну да, примем как данность. Ведь в случае с гармоническим рядом 1-я степень тоже отличается от бо́льших степеней в плане сходимости.

nnosipov в сообщении #1686590 писал(а):
ведь эти интегралы для любой степени не существуют в обычном смысле

Хорошо. Тогда может и фиг с ним, с обычным смыслом? Может нас и необычный смысл устроит? Численно, то что считает PARI, пока здоровские приближения к настоящему количеству 3-кортежей даёт.

Тогда тем более интересно, что считает PARI, ведь Альфа же не с бухты-барахты эту формулу показывает.

Или это лучше в другой теме обсуждать? Я ещё одну тему создавал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не считается интеграл
Сообщение20.05.2025, 09:36 
Заслуженный участник


13/12/05
4703
Yadryara в сообщении #1686592 писал(а):
Альфа же не с бухты-барахты эту формулу
показывает.

Может быть в окрестности полюса $t=1$ разность $\frac{1}{\ln^3t}-\frac{1}{2\ln t } $ раскладывается в ряд Лорана, и берется его первообразная, которая будет однозначной функцией в силу отсутствия члена $\frac 1{t-1}$?

-- Вт май 20, 2025 12:00:25 --

Кстати, Вольфрам Альфа там пишет же в ответе для $x\leqslant 1$ или $x\not\in \mathbb R$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не считается интеграл
Сообщение20.05.2025, 10:56 
Аватара пользователя


29/04/13
9319
Богородский
Padawan, да, я это уже отметил:

Yadryara в сообщении #1686579 писал(а):
for $ Re(x)\leqslant 1 \quad V x \notin \mathbb{R}$

Можно ли формулу Римана
$$ J(x) = Li(x) - \sum\limits_{\rho }^{\infty}Li(x^{\rho})-\ln2 + \int\limits_{x}^{\infty}\frac1{t(t^2-1)\lnt}dt$$
переписать так, чтобы главный член $Li(x)$ считался не от нуля, а от 2-х? Как эта перезапись повлияет на остальные члены?

-- 20.05.2025, 10:58 --

Yadryara в сообщении #1686586 писал(а):
ведь всё равно первые 103 триллиона нулей и так все на критической прямой.

Прошу прощения: 103 миллиарда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не считается интеграл
Сообщение20.05.2025, 11:56 
Заслуженный участник


20/08/14
12226
Россия, Москва
nnosipov в сообщении #1686583 писал(а):
а этот предел равен $\infty$ (при $\varepsilon \to 0$ функция под знаком предела асимптотически ведет себя как $3\varepsilon^{-1}$).
nnosipov в сообщении #1686590 писал(а):
Просто для 1-й степени получается конечное значение, а для остальных степеней --- бесконечное.
Yadryara
Да, так и есть, улучшение точности не приводит к сходимости интеграла:
Код:
? e=1e-3;intnum(t=0,1-e,1/log(t)^1)+intnum(t=1+e,2,1/log(t)^1)
%1 = 1.0441637800897149995668078635881729156
? e=1e-4;intnum(t=0,1-e,1/log(t)^1)+intnum(t=1+e,2,1/log(t)^1)
%2 = 1.0450637801174650070667361114165105761
? e=1e-5;intnum(t=0,1-e,1/log(t)^1)+intnum(t=1+e,2,1/log(t)^1)
%3 = 1.0451537801174927570668111106668353587
? e=1e-3;intnum(t=0,1-e,1/log(t)^3)+intnum(t=1+e,2,1/log(t)^3)
%4 = 2996.9985178681655640763003412787381168
? e=1e-4;intnum(t=0,1-e,1/log(t)^3)+intnum(t=1+e,2,1/log(t)^3)
%5 = 29996.998517868164178074363481554881591
? e=1e-5;intnum(t=0,1-e,1/log(t)^3)+intnum(t=1+e,2,1/log(t)^3)
%6 = 299996.99851786819155379554947082465982
И значит интеграл (в этом смысле) не существует (равен $\infty$).
А что считает PARI - вопрос вообще туманный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не считается интеграл
Сообщение21.05.2025, 17:47 
Заслуженный участник


20/08/14
12226
Россия, Москва
Yadryara в сообщении #1686608 писал(а):
переписать так, чтобы главный член $Li(x)$ считался не от нуля, а от 2-х?
Это как раз несложно: $li(x>2)=Li_{2\ldots}(x)+li(2)=Li_{2\ldots}(x)+1.0451637801174927848445888891946131365$.
И даже если невозможно вычислить $li(2)$ (для степеней выше первой), то мы же точно знаем $J(x)$ для малых $x$ (для любых до например миллиардов), можно посчитать без $li(2)$ и разность от точного значения приравнять к $li(2)$ (и проверить по нескольким точкам что так работает).

А вот что делать с ним же под суммой ... Там заменить интегральный логарифм на сумму двух интегральных логарифмов не получится потому что он берётся от комплексного числа (и соответственно многозначный). PARI выдаёт чушь странное:
Код:
? real(-eint1(-log(1e17)*(1/2+I*14.134725141734693790457251983562470271)))
%1 = 223585.37861766580764227060826913279563
? real(-eint1(-log(1e17)/2))+real(-eint1(-log(1e17)*(I*14.134725141734693790457251983562470271)))
%2 = 17083650.036236732463851887578328824376

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему не считается интеграл
Сообщение21.05.2025, 18:31 
Аватара пользователя


29/04/13
9319
Богородский
Dmitriy40 в сообщении #1686943 писал(а):
Это как раз несложно: $li(x>2)=Li_{2\ldots}(x)+li(2)=Li_{2\ldots}(x)+1.0451637801174927848445888891946131365$.

Ну я имел в виду, можно ли вообще не считать число $1.045$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group