Разные вопросы на пути освоения математики

[Neznajka_]

Здравствуйте. Читаю в учебнике:



Вопрос насчёт "пробегает всё множество ..." формулировки для области определения функции тангенса.
Если математический смысл не тот же самый, что у "$n \in \mathbb{Z} $", то тогда какой?
Если тот же самый, то не понятен смысл использования такой витиеватости. Возможно автор(ы) хотел(и) заложить какой-то дополнительный (дидактический, литературный, ...) смысл этой фразой - если так, то что именно он(и) хотел(и) сказать?

[Mikhail_K]

Neznajka_ в сообщении #1677144 писал(а):

Если математический смысл не тот же самый, что у "$n \in \mathbb{Z} $", то тогда какой?

Тот же самый.

Neznajka_ в сообщении #1677144 писал(а):

Возможно автор(ы) хотел(и) заложить какой-то дополнительный (дидактический, литературный, ...) смысл этой фразой - если так, то что именно он(и) хотел(и) сказать?

Ну, хотели сказать, что если в качестве $n$ выбирать всевозможные целые числа и подставлять их в $\frac{\pi}{2}+\pi n$, то так получатся все числа, для которых не определён тангенс.

Вообще, фразы типа "переменная $x$ пробегает множество $M$" встречаются довольно часто и означают "переменная $x$ принимает всевозможные значения из множества $M$". Смысловой нюанс в том, что $x$ - это не какой-то один фиксированный элемент из $M$, что в качестве $x$ нам интересен любой элемент из $M$; так же как и в цитате $n$ - не какое-то одно фиксированное целое число, оно может быть любым.

[Neznajka_]

А, вот оно как...Действительно...То есть это как бы аналог $\forall n \in \mathbb{Z}$ ("для каждого n, принадлежащего к множеству Z")?

[angor6]

Neznajka_ в сообщении #1677154 писал(а):

То есть это как бы аналог $\forall n \in \mathbb{Z}$ ("для каждого n, принадлежащего к множеству Z")?

Да, в целом. Кстати, интересно, что сказано о нулях функции "косинус" в этом пособии?

[Neznajka_]

Благодарю за ответы.

angor6 в сообщении #1677160 писал(а):

Да, в целом. Кстати, интересно, что сказано о нулях функции "косинус" в этом пособии?

Что координатами точек пересечения графика $f(x)=cosx$ являются $(\frac{\pi}{2} + \pi n;0), n \in \mathbb{Z} $.
Может где-то ещё сказано что-то по этому поводу, но я пока не нашёл. Если Вам интересно, то это учебник "Алгебра и начала математического анализа, 10-11 классы, А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын, и другие, Просвещение, 2018 год".

[Neznajka_]

Здравствуйте. Решал тут одну задачку, но возникло некоторое замешательство при сверке решения с ГДЗ.
Мне кажется, точнее почти уверен, что в ГДЗ ошибка (хоть и результаты сходятся). Но решил таки спросить еще тут.
Такая задачка.

Что смущает - что точка 0 является точкой пересечения серединных перпендикуляров сторон основания. Из этого следует, что треугольник-основание является равносторонним, что не так по условию. Т.е. высотой должно являться ребро $AS$. Или я ошибаюсь?

[lel0lel]

Neznajka_ в сообщении #1680686 писал(а):

Что смущает - что точка 0 является точкой пересечения серединных перпендикуляров сторон основания

Так ведь высота заведомо попадает в центр описанной окружности, это просто из равенства прямоугольных треугольников следует. Чертёж вот построен "плохой", так как центр описанной окружности должен лежать вне тупоугольного треугольника.

-- Ср апр 02, 2025 02:10:26 --

lel0lel в сообщении #1680687 писал(а):

высотой должно являться ребро $AS$.

Тогда ребру $AS$ пришлось бы "образовать" угол 45 с высотой $AS$.

[мат-ламер]

lel0lel в сообщении #1680687 писал(а):

Чертёж вот построен "плохой", так как центр описанной окружности должен лежать вне тупоугольного треугольника.

Достаточно сделать отдельно новый чертёж сугубо основания.
Neznajka_ . Возьмите циркуль. Постройте окружность и с помощью этого циркуля впишите в эту окружность правильный шестиугольник. Наш треугольник будет образован тремя смежными вершинами в этом шестиугольнике. Радиус окружности нам известен. Из того, как мы строили этот шестиугольник, понятно, что и длина его стороны (и длина двух равных рёбер в исходном треугольнике) равна этому радиусу. Осталось найти площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними.

[oleg_2]

Я мысленно представил, что равнобедренные треугольники $AOS$, $BOS$, $COS$ могут поворачиваться вокруг оси $SO$. Тогда можно вертеть их как угодно, и условие об углах между боковыми рёбрами и высотой автоматически будет выполнено. Ну а дальше всё ясно из моего рисунка.

--

lel0lel в сообщении #1680687 писал(а):

Так ведь высота заведомо попадает в центр описанной окружности, это просто из равенства прямоугольных треугольников следует. Чертёж вот построен "плохой", так как центр описанной окружности должен лежать вне тупоугольного треугольника.

lel0lel
Наверно школьники, которые ежедневно решают подобные задачи, легко решили и эту задачу. А я не сразу понял условие, думал ошибка в условиях задачи. Инерция мышления, пирамида представляется мне как что-то незыблемое, на манер египетских пирамид. А тут какая-то неустойчивая, попробуй догадайся. Спасибо Вам, что Вы дали подсказку решения.

[Neznajka_]

В общем ясно, что чертёж составлен в ГДЗ не верно. Всем спасибо

Цитата:

Тогда ребру $AS$ пришлось бы "образовать" угол 45 с высотой $AS$.

Ну, а где собственно сказано, что каждое из боковых рёбер пирамиды составляет с высотой данный угол? Я вот предположил, что это относится лишь к двум из них, и так собственно решил эту задачу. Что лучше, пожалуй, было "вынести" высоту за периметр основания - это не то, чтобы не догадался, просто до этого уже рука как-то не дошла, лениво было: )

[мат-ламер]

Neznajka_ в сообщении #1680700 писал(а):

Ну, а где собственно сказано, что каждое из боковых рёбер пирамиды составляет с высотой данный угол?

Это второе предложение в условии.

[Neznajka_]

мат-ламер в сообщении #1680704 писал(а):

Neznajka_ в сообщении #1680700 писал(а):

Ну, а где собственно сказано, что каждое из боковых рёбер пирамиды составляет с высотой данный угол?

Это второе предложение в условии.

Не вижу там такого.

[angor6]

Neznajka_ в сообщении #1680707 писал(а):

Не вижу там такого.

Там написано так: "Боковые ребра образуют с ее высотой, равной 16 см, углы в 45°".

[Neznajka_]

angor6 в сообщении #1680724 писал(а):

Neznajka_ в сообщении #1680707 писал(а):

Не вижу там такого.

Там написано так: "Боковые ребра образуют с ее высотой, равной 16 см, углы в 45°".

Цитата:

Ну, а где собственно сказано, что каждое из боковых рёбер пирамиды составляет с высотой данный угол?

"Боковые рёбра" - значит их более, чем 1, но не обязательно 3 - т.е. количество 2 штуки вполне подходит.

[Someone]

Neznajka_ в сообщении #1680755 писал(а):

"Боковые рёбра" - значит их более, чем 1, но не обязательно 3 - т.е. количество 2 штуки вполне подходит.

Если сказано "крякозябры чуфыкают" — значит, они все "чуфыкают". Согласно принятым в математике правилам: высказывание со свободными переменными интерпретируются так, будто по всем свободным переменным написаны кванторы всеобщности. То есть, если не указано, какие именно, или что только некоторые — значит, все.