Симметричные кортежи из последовательных простых чисел

[Dmitriy40]

Забавно что неизвестен крошечный кортеж с паттерном $(0,d,2d,3d,4d,\ldots,19d,20d), d=a\cdot19\#$ (кстати симметричным) с начального числа $23$ и $a$ из 22-23 цифр. И аналогичный длиной 22 с того же числа и $a$ из цифр так 25. И более длинные со столь же крошечных чисел. Но они и не сингулярные (за исключением с длиной равной начальному простому).
Так что определение неинтересных крошечных кортежей да, трудновато сочинить.

[Evgeniy101]

Dmitriy40 в сообщении #1676022 писал(а):

Evgeniy101 в сообщении #1676018 писал(а):

Воспринимаю сингулярные кортежи теми, которые, построенные по некоторому запрещенному паттерну, при любых добавках к списку кортежа, могут встретится в перечне простых чисел единожды или ограниченное число раз.
Это так?

Похоже что так.

Yadryara в сообщении #1676024 писал(а):

Вашей целью было разобраться самому.

Да, самому разобраться.

Dmitriy40 в сообщении #1676022 писал(а):

Давайте вопрос.

[/quote]
Паттерн {0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42} не является запрещенным, поэтому
кортеж $(11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53)$ по определению не должен быть сингулярным, наверно, потому как не быстро (я 10 дней считал почти непрерывно), но получить все старшие кортежи путем многократного добавления упомянутых ранее модулей можно?
Паттерн по модулю 11 с остатком 6 разрешен:
{6,8,1,3,7,2,4,10,3,5,9,4} - тут нет нуля.

[Dmitriy40]

Evgeniy101 в сообщении #1676029 писал(а):

но получить все старшие кортежи путем многократного добавления упомянутых ранее модулей можно?

Конечно можно, вот они: A213645. До второго из них надо всего лишь 164 миллиарда раз к числу 1271 добавить 11#=2310: $380284918609481 = 164625505891 \cdot 2310 + 1271$. До третьего 189 миллиарда раз. И так далее.
Потому что по модулю 11#=2310 разрешён лишь один остаток 1271.
И об этом уже говорили ведь 10 дней назад тут же: post1674408.html#p1674408

[Evgeniy101]

Dmitriy40 в сообщении #1676022 писал(а):

Evgeniy101 в сообщении #1676018 писал(а):

Воспринимаю сингулярные кортежи теми, которые, построенные по некоторому запрещенному паттерну, при любых добавках к списку кортежа, могут встретится в перечне простых чисел единожды или ограниченное число раз.
Это так?

Похоже что так.

Dmitriy40 в сообщении #1676031 писал(а):

Потому что по модулю 11#=2310 разрешён лишь один остаток 1271.

Противоречит согласованному определению сингулярности кортежа.
Запрещенность обсуждаемого паттерна явно показать невозможно, следовательно и сингулярности построенного по нему кортежа.
Или надо изменять определение сингулярности кортежа.

[Yadryara]

Evgeniy101, больше не встретится кортеж, начинающийся с 11. Это уже давно было установлено.

Если хотите увеличить модуль, а с ним и фильтрацию — уже было объяснено как:

Берёте следующий простой модуль, то есть 13, смотрите разрешённые остатки сначала по нему, а потом и по 13#.

Если лень самому вычислять, можно спросить у КТО.

[Dmitriy40]

Evgeniy101 в сообщении #1676035 писал(а):

Противоречит согласованному определению сингулярности кортежа.

Не противоречит: паттерн не является запрещённым, соответственно кортежи по нему не сингулярные. Любые кортежи. Включая и тот что с 11 - тоже не сингулярный.
Сингулярные кортежи возможны только по запрещённым паттернам.

-- 22.02.2025, 17:54 --

Если что, то можно добавлять и к 11 по 30 больше 12.6трлн раз: $380284918609481 = 12676163953649 \cdot 30 + 11$.

[Evgeniy101]

Dmitriy40 в сообщении #1676037 писал(а):

паттерн не является запрещённым, соответственно кортежи по нему не сингулярные. Любые кортежи. Включая и тот что с 11 - тоже не сингулярный.
Сингулярные кортежи возможны только по запрещённым паттернам.

Если что, то можно добавлять и к 11 по 30 больше 12.6трлн раз: $380284918609481 = 12676163953649 \cdot 30 + 11$.

Понял. Теперь у меня нет раздрая в этом вопросе.
Спасибо.

[Yadryara]

Evgeniy101, но ведь Вы и этот и другой пример уже приводили:

Evgeniy101 в сообщении #1674635 писал(а):

$380284918609481 \equiv 11 \mod 30$

[..]

$437163765888581 \equiv 11 \mod 30$

[Dmitriy40]

Наверное стоит добавить что можно добавлять и другие числа (модули) и к другим остаткам по ним:
можно к 1 добавлять по 2: $380284918609481 = 190142459304740 \cdot 2 + 1$;
можно к 2 добавлять по 3: $380284918609481 = 126761639536493 \cdot 3 + 2$;
можно к 1 добавлять по 5: $380284918609481 = 76056983721896 \cdot 5 + 1$;
можно к 5 добавлять по 6: $380284918609481 = 63380819768246 \cdot 6 + 5$;
можно к 4 добавлять по 7: $380284918609481 = 54326416944211 \cdot 7 + 4$;
можно к 1 добавлять по 10: $380284918609481 = 38028491860948 \cdot 10 + 1$;
можно к 6 добавлять по 11: $380284918609481 = 34571356237225 \cdot 11 + 6$;
можно к 11 добавлять по 14: $380284918609481 = 27163208472105 \cdot 14 + 11$;
можно к 11 добавлять по 15: $380284918609481 = 25352327907298 \cdot 15 + 11$;
можно к 11 добавлять по 21: $380284918609481 = 18108805648070 \cdot 21 + 11$;
можно к 17 добавлять по 22: $380284918609481 = 17285678118612 \cdot 22 + 17$;
можно к 11 добавлять по 30: $380284918609481 = 12676163953649 \cdot 30 + 11$;
можно к 17 добавлять по 33: $380284918609481 = 11523785412408 \cdot 33 + 17$;
можно к 11 добавлять по 35: $380284918609481 = 10865283388842 \cdot 35 + 11$;
...
можно к 1271 добавлять по 2310: $380284918609481 = 164625505891 \cdot 2310 + 1271$.
Т.е. можно по произведению любой комбинации простых 2,3,5,7,11, кортежи найдутся все, без пропусков (ну кроме возможно с 11 - неинтересного потому что легко проверяется даже в уме), для данного паттерна (так как по всем этим простым разрешён лишь 1 остаток), не обязательно только праймориалам (но они выгоднее всех меньших модулей).
Заметьте что не по любым модулям больше 10 можно получить 11, даже по модулю 11 и кратным ему уже нельзя (по модулю 11 разрешён остаток лишь 6, не 0, который запрещён по любым модулям). Но все начальные простые меньше или равные длине паттерна легко просто взять и прямо проверить, подходят или нет, даже в уме, для них весь этот аппарат КТО и остатков по модулям избыточен.

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1674989 писал(а):

Полный обсчёт G21 затянется на 80 дней и я конечно не планирую его заканчивать. Видимо, 14-15% посчитаю и хорош. Примерно до 11 миллионов цепочек буду считать, чтоб превысить рекорд.

Утром закончил. Начал считать самую грязную группу — G30. За два дня управлюсь.

17-240-1
                 Посчитано      Найдено        Цепочек       Соотношение
                  в группе      цепочек        на юнит             между
                                 тысячи                         группами
1-й период 67# G19   100 %          490          11152 ---------------------------|
1-й период 67# G20   100 %        10504          10139            1.1000          |
1-й период 67# G21    15 %        11196           9095            1.1147          |
...                                                                               |
1-й период 67# G29                                                                V
1-й период 67# G30    15 %          107           3710 --------------------> 3.0058

Ну то есть пока шанс найти центральную 17-ку в самой чистой группе (G19) почти ровно в 3 раза больше, чем найти её в самой грязной (G30).

Поднимите руку, кому понятно что я считаю и о чём говорю.

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1674644 писал(а):

Не наибыстрейшего. Когда я искал кортежи для Вас по программе, я искал не по модулю $2310$, а по модулю $13082761331670030$.

Выходные минули, поэтому очередной шаг состоит в изучении (понимании) алгоритма:
как Вы добрались до 43# = $13082761331670030$ и обеспечили отсутствие перескакивания через какие-либо подходящие кортежи с таким шагом в поиске?

[Yadryara]

Evgeniy101, уже писал, причём много раз.

Чтоб запомнить, возьмите да и распишите самостоятельно для этого паттерна разрешённые остатки по модулю 13. Затем по модулю 17...

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1676184 писал(а):

Чтоб запомнить, возьмите да и распишите самостоятельно для этого паттерна разрешённые остатки по модулю 13. Затем по модулю 17...

"Ох, нелегкая это работа -
Из болота тащить бегемота!"

Когда не в программе, конечно.

${0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42}$ по остаткам $(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)\equiv Razr(2,4) \mod 13$

${0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42}$ по остаткам $(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16)\equiv Razr(1,3,6,7,10,12,13) \mod 17$.

[Yadryara]

Evgeniy101 в сообщении #1676402 писал(а):

${0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42}$ по остаткам $(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)\equiv Razr(2,4) \mod 13$

${0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42}$ по остаткам $(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16)\equiv Razr(1,3,6,7,10,12,13) \mod 17$.

Проверяем:

Yadryara в сообщении #1670897 писал(а):

Он допустим, вот список допустимых остатков для первого числа для первых простых модулей:

2: [1], len=1
3: [2], len=1
5: [1], len=1
7: [4], len=1
11: [6], len=1
13: [2, 4, 12], len=3
17: [1, 3, 6, 7, 10, 12, 13], len=7

Остаток 12 по модулю 13 потеряли, остальное верно.

Итого, у нас 3 остатка по модулю $13\#$ и 21 остаток по модулю $17\#$. Согласны?

И в какой-то момент летом я подумал: а для всех ли кандидатов равновероятно найти искомый чистый кортеж? Теперь уже точно знаю, что не для всех.

[Dmitriy40]

А я хотел попросить (в качестве упражнения) подробнейшим образом объяснить почему в список по модулю 13 не попали остатки 10 и 12. Именно оба (т.е. каждый отдельно). И максимально подробно. В надежде что в процессе ошибка обнаружится, а потраченное усилие по обоснованию поспособствует пониманию.

Evgeniy101
Впрочем, ещё не поздно, если есть желание и это не банальная опечатка от невнимательности.