Симметричные кортежи из последовательных простых чисел

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1675710 писал(а):

Evgeniy101 в сообщении #1675707 писал(а):

Младший начинается с 5, это меньше длины паттерна, такой кортеж сингулярный?

Конечно. Для всех других цепочек остаток 0 по модулю 5 запрещён.

Аналогично и для всех других цепочек остаток 0 по модулю 11 запрещён. Кроме той, которая начинается с 11.

Для всех других цепочек остаток 0 по модулю 17 запрещён. Кроме той, которая начинается с 17.

Для всех других цепочек остаток 0 по модулю 41 запрещён. Кроме той, которая начинается с 41.

...

Что-то не доходит такое пояснение.
Каких других?
Тут сингулярных 4 штуки по единственному паттерну?

[Yadryara]

Evgeniy101 в сообщении #1675728 писал(а):

Что-то не доходит такое пояснение.
Каких других?

Других, значит всех остальных.

Evgeniy101 в сообщении #1675728 писал(а):

Тут сингулярных 4 штуки по единственному паттерну?

Можно считать, что сингулярная крошечная только одна цепочка.

Как определить. До этого строгое определение не звучало.

Но 11 тоже вполне можно считать крошечным числом.

[Dmitriy40]

Сингулярные - встречающиеся ровно один раз.
Соответственно запрещённые по любому из модулей (количество запрещённых остатков равно модулю, а разрешённых ноль).
Но не все запрещённые паттерны реализуются в виде сингулярных кортежей. Например запрещённый по модулю 5 паттерн (0,2,6,8,44) ни одному кортежу не соответствует.

Например сингулярны паттерны (0,2,4) (по модулю 3) с кортежем (3,5,7),
и (0,2,6,8,14) (по модулю 5) с кортежем (5,7,11,13,19),
и (0,2,6,8,12,18,38) (по модулю 7) с кортежем (5,7,11,13,17,23,43),
и (0,2,6,62,146,272,342,482,566,972,2232) (по модулю 11) с кортежем (5,7,11,67,151,277,347,487,571,977,2237).
Обратите внимание на два последних, они не начинаются с запрещённого модуля. Можно сконструировать и более длинные запрещённые по ещё большим модулям, но лень.

При этом кортежи (5,7,11,17,31,47,61) и (5,7,11,13) с паттернами (0,2,6,12,26,42,56) и (0,2,6,8) сингулярными не оказываются. Не думаю что им нужно какое-то специальное название, ведь оба паттерна не сингулярные, кортежей по ним есть бесконечное количество, просто они все остальные имеют остаток не 0 по модулю 5. Ну так и вообще любой кортеж начиная с простого числа p больше никогда не встретится с остатком 0 по модулю p, не называть же тогда вообще все кортежи сингулярными или ещё как-то.
Так что выше мы выходит были не правы называя кортеж (5,7,11,17,31,47,61) сингулярным. Да, кортежей с остатком 0 по модулю 5 больше не будет, ну и что, с остатком 0 по модулю 4931 после первого (начиная с 4931) тоже ведь не будет, но будут с другими остатками, паттерн то не запрещённый (и соответственно не сингулярный).

[Yadryara]

Тут опять стоит проговорить, что Дмитрий, похоже, говорил только о чистых кортежах. Это по умолчанию. Очень долго в темах рассматривались только чистые кортежи.

Когда паттерн — кристалл, нет проблем: все кортежи по нему и так чистые. Только что вновь начали рассматривать грязные — появились проблемы с терминологией.

Dmitriy40 в сообщении #1675777 писал(а):

Да, кортежей с остатком 0 по модулю 5 больше не будет, ну и что, с остатком 0 по модулю 4931 после первого (начиная с 4931) тоже ведь не будет, но будут с другими остатками,

Я на это и намекал, когда многоточие поставил.

Dmitriy40 в сообщении #1675777 писал(а):

Так что выше мы выходит были не правы называя кортеж (5,7,11,17,31,47,61) сингулярным.

Тогда и я был не прав, когда писал это?

Yadryara в сообщении #1674748 писал(а):

Все простые числа нечётные. Так? Нет, лишь чуть-чуть не так: приходится делать оговорку, что все кроме 2-ки, которая как раз крошечная сингулярная.

Можно так сказать и про другие числа:

Все простые числа не делятся на три. Так? Нет, лишь чуть-чуть не так: приходится делать оговорку, что все кроме 3-ки.

Все простые числа не делятся на 5. Так? Нет, лишь чуть-чуть не так: приходится делать оговорку, что все кроме 5-ки.

И так далее.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1675778 писал(а):

Тогда и я был не прав, когда писал это?

Конкретно про 2 - правы, любые кортежи с ней всегда в единственном экземпляре.
А вот далее про 3 и больше - нет, про них уже нельзя говорить что они (простые числа) сингулярны, ведь кортежей по паттернам, наименьший кортеж по которым начинается с тройки, может быть бесконечно много, хоть бы даже паттерны (0,2) или (0,2,8).
Но я вообще против так говорить про простые числа, сингулярность это свойство паттернов (и лишь как следствие кортежей aka цепочек простых чисел), а не простых чисел. Выделять названием уникальную двойку смысла не вижу.

Т.е. иерархия паттернов такая: бывают разрешённые или запрещённые, запрещённые включают подмножество сингулярных.
А вот кортежи (в смысле цепочки простых чисел) могут быть лишь разрешёнными (хотя это уже тавтология) или сингулярными, запрещёнными быть не могут. Т.е. из любых выделяют подмножество сингулярных (по запрещённым паттернам).
Вот такое у меня мнение. Вроде оно нигде не противоречит теории чисел (возможно за исключением понятия кортеж, что слишком тонкий момент).

[Yadryara]

Evgeniy101, ну что, разобрались? Или наоборот? Только терминологических споров нам не хватало.

У нас и содержательных задач пока хватает. Например, мы так и не оценили толком количество чистых кортежей 21-324. Да и 21-360.

Хотите заняться?

[Evgeniy101]

Dmitriy40 в сообщении #1675777 писал(а):

Сингулярные - встречающиеся ровно один раз.
Соответственно запрещённые по любому из модулей (количество запрещённых остатков равно модулю, а разрешённых ноль).
Но не все запрещённые паттерны реализуются в виде сингулярных кортежей. Например запрещённый по модулю 5 паттерн (0,2,6,8,44) ни одному кортежу не соответствует.

Хорошие пояснения похожие на определения. И далее интересно, перечитал несколько постов, приоткрывается дверь_завеса, видимо, разберусь полностью, хоть и не сразу.

Dmitriy40 в сообщении #1675779 писал(а):

Т.е. иерархия паттернов такая: бывают разрешённые или запрещённые, запрещённые включают подмножество сингулярных.
А вот кортежи (в смысле цепочки простых чисел) могут быть лишь разрешёнными (хотя это уже тавтология) или сингулярными, запрещёнными быть не могут. Т.е. из любых выделяют подмножество сингулярных (по запрещённым паттернам).
Вот такое у меня мнение. Вроде оно нигде не противоречит теории чисел (возможно за исключением понятия кортеж, что слишком тонкий момент).

Тоже понравилось.
А тонкий момент разруливать надо.

Yadryara в сообщении #1675803 писал(а):

Evgeniy101, ну что, разобрались? Или наоборот? Только терминологических споров нам не хватало.

У нас и содержательных задач пока хватает. Например, мы так и не оценили толком количество чистых кортежей 21-324. Да и 21-360.

Хотите заняться?

Многое стало понятнее благодаря вам двоим.
К активным расчетам еще не созрел.

[Dmitriy40]

Тонкий момент - в соответствии русских и английских терминов, пока говорим на русском всё стройно, понятно и логично: есть паттерны, по ним могут быть (а могут и не быть) кортежи (цепочки) из реальных простых чисел.
Не думаю что стоит снова пускаться в дебри терминологии, мы тут более практики чем математики.

[Evgeniy101]

Dmitriy40 в сообщении #1675828 писал(а):

Тонкий момент - в соответствии русских и английских терминов, пока говорим на русском всё стройно, понятно и логично: есть паттерны, по ним могут быть (а могут и не быть) кортежи (цепочки) из реальных простых чисел.

Русский, русский, английски для меня только в машинном переводе существует.

[Evgeniy101]

Dmitriy40 в сообщении #1675777 писал(а):

Сингулярные - встречающиеся ровно один раз.

Помнил, что где-то читал про не единственность, а ограниченность.
Вот увидел в английской W такое - по паттерну {0, 2, 8, 14, 26} подходят два кортежа и только два (3,5,11,17,29) and (5,7,13,19,31), а сам паттерн запрещен по модулю 5.
Это сингулярные кортежи?

[Dmitriy40]

Да, тоже сингулярные.
Тогда действительно, лучше говорить об ограниченном количестве раз (1 или 2, ведь все такие примеры ограничены числами 3 и 5 в начале кортежа).
Или о запрещённом паттерне.