Симметричные кортежи из последовательных простых чисел

[Yadryara]

Evgeniy101 в сообщении #1675154 писал(а):

Или в самом начале, где Вы показывали из 11 вычитаем 5, получаем 6 и манипулируем уже этой шестеркой, и это приводит к успеху.
Дмитрий так же мне упомянул эти показатели.
А почему?

Что почему? Я же весьма подробно объяснил и показал на конкретных примерах как получать массив разрешённых остатков. Задавайте конкретные вопросы.

Мы с Дмитрием сейчас начали показывать ещё один метод получения разрешённых остатков, очень подробно. Дмитрий задал 3 вопроса по остаткам по модулю 3 и 5 вопросов по остаткам по модулю 5. Я для примера подробно ответил на один. Надо было ответить на все остальные. Но... опять тишина.

Может всё равно непонятно? Ну давайте я отвечу ещё.

Dmitriy40 в сообщении #1675144 писал(а):

Пусть kan%3=2: kan+0, kan+6, kan+12 - какие будут остатки у каждого из трёх чисел?

Теперь возьму $kan=59$, как предлагал Демис:

$ (59+0) \equiv 2 \mod 3$

$(59+6) \equiv 2 \mod 3$

$(59+12) \equiv 2 \mod 3$

Можно взять ещё какое-нибудь нечётное с остатком 2 по модулю 3. Картина для таких чисел будет одна и та же:

$(65+0) \equiv 2 \mod 3$

$(65+6) \equiv 2 \mod 3$

$(65+12) \equiv 2 \mod 3$


Ответ: Если начальное число даёт остаток 3 по модулю 2, то все 3 остатка будут равны 2.

Остаток 0 не встретился ни для одного из трёх чисел паттерна. Значит нет запрета для начального числа с остатком 2 по модулю 3, ибо ни одно из трёх чисел искомого кортежа на 3 делиться точно не будет, стало быть после всех проверок все эти три числа сохраняют шансы оказаться простыми.

Вывод: остаток 2 по модулю 3 разрешён.

По модулю 3 остался только один вопрос и только один остаток, который ещё не рассматривали. Отвечу и на него.

Dmitriy40 в сообщении #1675144 писал(а):

Пусть kan%3=0: kan+0, kan+6, kan+12 - какие будут остатки у каждого из трёх чисел?

Возьму $kan=51$:

$(51+0) \equiv 0 \mod 3$

$(51+6) \equiv 0 \mod 3$

$(51+12) \equiv 0 \mod 3$

Можно взять ещё какое-нибудь нечётное с остатком 0 по модулю 3, то есть число, которое делится на 3. Картина для таких чисел будет одна и та же:

$(69+0) \equiv 0 \mod 3$

$(69+6) \equiv 0 \mod 3$

$(69+12) \equiv 0 \mod 3$


Ответ: Если начальное число даёт остаток 3 по модулю 0, то все 3 остатка будут равны 0.

Остаток 0 сразу же встретился для первого же числа паттерна. Значит оно составное. Остальные числа можно было и не проверять.

Вывод: остаток 0 по модулю 3 запрещён.

И более глобальный вывод: остаток 0 запрещён и по другим простым модулям.

Итак, проверка по модулям 2 и 3 закончена. Разрешённые остатки для паттерна [0, 6, 12]:

По модулю 2 — 1;
По модулю 3 — 1, 2.

По модулю 5 пока не знаем. Продолжаю отвечать на вопросы Дмитрия. Которые как раз про модуль 5.

Dmitriy40 в сообщении #1675144 писал(а):

Пусть kan%5=0: kan+0, kan+6, kan+12 - какие будут остатки у каждого из трёх чисел?

Вспоминаем глобальный вывод: остаток 0 запрещён и по другим простым модулям.

У первого же числа остаток будет 0. А какие остатки по модулю 5 будут у двух других чисел — не колышет. То бишь такие числа как 55 и 65 сразу не подходят.

Следующий вопрос:

Dmitriy40 в сообщении #1675144 писал(а):

Пусть kan%5=1: kan+0, kan+6, kan+12 - какие будут остатки у каждого из трёх чисел?

$(61+0) \equiv 1 \mod 5$

$(61+6) \equiv 2 \mod 5$

$(61+12) \equiv 3 \mod 5$

Можно взять ещё какое-нибудь нечётное и не кратное трём с остатком 1 по модулю 5. Картина для таких чисел будет одна и та же:

$(91+0) \equiv 1 \mod 5$

$(91+6) \equiv 2 \mod 5$

$(91+12) \equiv 3 \mod 5$

А можно взять и любое натуральное с остатком 1 по модулю 5, пусть даже оно и будет делиться хоть на 2, хоть на 3, или даже и на 2 и на 3. Картина для таких чисел всё равно будет одна и та же:

$(66+0) \equiv 1 \mod 5$

$(66+6) \equiv 2 \mod 5$

$(66+12) \equiv 3 \mod 5$

Ответ: Если начальное число даёт остаток 1 по модулю 5, то два другие числа предполагаемого кортежа дают остатки 2 и 3 соответственно.

Остаток 0 не встретился ни для одного из трёх чисел паттерна. Значит нет запрета для начального числа с остатком 1 по модулю 5, ибо ни одно из трёх чисел искомого кортежа на 5 делиться точно не будет, стало быть после всех проверок все эти три числа сохраняют шансы оказаться простыми.

Вывод: остаток 1 по модулю 5 разрешён.

Господа, прошу продолжать. Осталось всего лишь три вопроса Дмитрия.

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1675278 писал(а):

прошу продолжать. Осталось всего лишь три вопроса Дмитрия.

Скопировал Ваш, Yadryara, фрагмент и изменил числа на нужные для ответа.

DemISdx в сообщении #1675153 писал(а):

Пусть kan%5=2: kan+0, kan+6, kan+12 - какие будут остатки у каждого из трёх чисел?

$(67+0) \equiv 2 \mod 5$

$(67+6) \equiv 3 \mod 5$

$(67+12) \equiv 4 \mod 5$

Берем иное нечётное и не кратное трём с остатком 2 по модулю 5. Картина для таких чисел получается одна и та же:

$(97+0) \equiv 2 \mod 5$

$(97+6) \equiv 3 \mod 5$

$(97+12) \equiv 4 \mod 5$

Аналогично, если взять любое натуральное с остатком 2 по модулю 5, пусть даже оно и будет делиться хоть на 2, хоть на 3, или даже и на 2 и на 3. Картина для таких чисел всё равно получается одна и та же, потому как (0,6,12) по модулю 5 дает прирост остатка по одной единице, т.е. а это (2,3,4) в конкретном случае. Следовательно, с остатком 3 будет запрет на начальное число по модулю 5:

$(12+0) \equiv 2 \mod 5$

$(12+6) \equiv 3 \mod 5$

$(12+12) \equiv 4 \mod 5$

Ответ: Если начальное число даёт остаток 2 по модулю 5, то два другие числа предполагаемого кортежа дают остатки 3 и 4 соответственно.

Остаток 0 не встретился ни для одного из трёх чисел паттерна. Значит нет запрета для начального числа с остатком 2 по модулю 5, ибо ни одно из трёх чисел искомого кортежа на 5 делиться точно не будет, поэтому после всех проверок все эти три числа сохраняют шансы оказаться простыми.

Вывод: остаток 2 по модулю 5 разрешён.

-- 18.02.2025, 10:06 --

DemISdx в сообщении #1675153 писал(а):

Пусть kan%5=3: kan+0, kan+6, kan+12 - какие будут остатки у каждого из трёх чисел?

$(93+0) \equiv 3 \mod 5$

$(99+6) \equiv 4 \mod 5$

$(105+12) \equiv 0 \mod 5$

Ответ: Если начальное число даёт остаток 3 по модулю 5, то два другие числа предполагаемого кортежа дают остатки 4 и 0 соответственно.

Встретился остаток 0. Значит имеется запрет для начального числа с остатком 3 по модулю 5.

Вывод: остаток 3 по модулю 5 запрещен.

Аналогично: остаток 4 по модулю 5 запрещен.

[Yadryara]

Evgeniy101 в сообщении #1675296 писал(а):

Скопировал Ваш, Yadryara, фрагмент и изменил числа на нужные для ответа.

Мой ник вручную набирали? Если кликнуть, то он будет выделен болдом и нужным цветом автоматически.

А ниже Вы ошиблись с цитированием. Вопрос был задан не Демисом, а Дмитрием.

Evgeniy101 в сообщении #1675296 писал(а):

Картина для таких чисел всё равно получается одна и та же, потому как (0,6,12) по модулю 5 дает прирост остатка по одной единице, т.е. а это (2,3,4) в конкретном случае.

Согласен.

Evgeniy101 в сообщении #1675296 писал(а):

Следовательно, с остатком 3 будет запрет на начальное число по модулю 5:

Не в том месте этот вывод, надо было чуть ниже. Да и зачем двоеточие. Вот такая формулировка мне больше нравится:

Остаток 3 по модулю 5 запрещён для начального числа искомого кортежа.

Вот здесь ниже об этом же:

Evgeniy101 в сообщении #1675296 писал(а):

Вывод: остаток 3 по модулю 5 запрещен.

НО. Вы начальное число-то зачем увеличили столь сильно?

Evgeniy101 в сообщении #1675296 писал(а):

$(93+0) \equiv 3 \mod 5$

$(99+6) \equiv 4 \mod 5$

$(105+12) \equiv 0 \mod 5$

Если уж начали с 93, то и надо было везде слева писать 93:

$(93+0) \equiv 3 \mod 5$

$(93+6) \equiv 4 \mod 5$

$(93+12) \equiv 0 \mod 5$

А если Вы стали прибавлять прибавки паттерна, тогда надо было их убирать и сразу писать результат без скобок:

$93 \equiv 3 \mod 5$

$99 \equiv 4 \mod 5$

$105 \equiv 0 \mod 5$

Но в этом случае уже хуже видно что именно Вы прибавляете к начальному числу.

Итак, проверка по модулям 2, 3 и 5 закончена. Разрешённые остатки для паттерна [0, 6, 12]:

По модулю 2 — 1;
По модулю 3 — 1, 2.
По модулю 5 — 1, 2.

По модулю 7 проверять пока не будем. Попробуем понять какова выгода от этих разрешённых остатков.

Итак, аналогичная просьба как и с паттером 12-42.

В натуральном ряду, начиная прямо с нуля найдите 12 минимальных чисел, которые годятся в качестве начального числа кортежа [0,6,12], то есть все такие числа, которые имеют именно такие остатки по модулям 2, 3, 5.

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1675317 писал(а):

В натуральном ряду, начиная прямо с нуля найдите 12 минимальных чисел, которые годятся в качестве начального числа кортежа [0,6,12], то есть все такие числа, которые имеют именно такие остатки по модулям 2, 3, 5.

Поспешил, насмешил я торопясь - это про предыдущий свой текст.

________________________________________________________________________________________
Если искать начало симметричных кортежей, то это затруднительно вручную, а начало всяких кортежей по предложенному паттерну легко найти.
О каких задание?

[Dmitriy40]

Не надо с нуля, начните с нечётного числа больше диаметра паттерна (наибольшего в паттерне, 12 или 42). Потому что раньше могут быть сингулярные кортежи, нам не интересные.

[Yadryara]

Evgeniy101 в сообщении #1675338 писал(а):

О каких задание?

Очевидно, что никто запутывать людей не собирается. Так что говорим по-прежнему о паттерне [0,6,12].

Dmitriy40 в сообщении #1675346 писал(а):

Не надо с нуля,

Нет, я настаиваю чтобы с нуля. Есть причина, озвучу позже. Ищем не весь кортеж, а только подходящее по трём модулям начальное число.

И первое такое число 1. Найдите ещё 11 чисел, пожалуйста.

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1675356 писал(а):

Evgeniy101 в сообщении #1675338 писал(а):

О каких задание?

Очевидно, что никто запутывать людей не собирается. Так что говорим по-прежнему о паттерне [0,6,12].

И первое такое число 1. Найдите ещё 11 чисел, пожалуйста.

Не понял ответ из первой строки.
Но поскольку число 1 по второй строке подходящее, то подходящими являются: (1,5,7,11,19,31,41,47,61,67,97,101)

[Yadryara]

Ну надо же как люди ухитряются не понимать друг друга. Я подытожил разрешённые остатки и сформулировал задачу:

Yadryara в сообщении #1675317 писал(а):

Разрешённые остатки для паттерна [0, 6, 12]:

По модулю 2 — 1;
По модулю 3 — 1, 2.
По модулю 5 — 1, 2.

[..]
В натуральном ряду, начиная прямо с нуля найдите 12 минимальных чисел, которые годятся в качестве начального числа кортежа [0,6,12], то есть все такие числа, которые имеют именно такие остатки по модулям 2, 3, 5.

Число 1 подходит? Проверяем:

$ 1 \equiv 1 \mod 2$

$ 1 \equiv 1 \mod 3$

$ 1 \equiv 1 \mod 5$

1 подходит. Все остатки разрешённые.

Число 5 подходит? Проверяем:

$ 5 \equiv 1 \mod 2$

$ 5 \equiv 2 \mod 3$

$ 5 \equiv 0 \mod 5$

5 не подходит!

Число 7 подходит? Проверяем:

$ 7 \equiv 1 \mod 2$

$ 7 \equiv 1 \mod 3$

$ 7 \equiv 2 \mod 5$

7 подходит. Все остатки разрешённые.

А 19 тоже не подходит, потому что даёт остаток 4 по модулю 5. Как числа 5 и 19 попали в Ваш список?

Дальше не смотрел.

[Dmitriy40]

11 тоже подходит.
Но как пропустили 17?

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1675373 писал(а):

А 19 тоже не подходит, потому что даёт остаток 4 по модулю 5. Как числа 5 и 19 попали в Ваш список?

С пятеркой попал на сингулярность (5,11,17).
19 конечно - это 17, т.к. к 19 + 6 = 25, а я подбирал подход к 23.

Dmitriy40 в сообщении #1675379 писал(а):

11 тоже подходит.
Но как пропустили 17?

Вот так и пропустил нужное, вставив запрещенное.

Теперь как искал.

Мысленно вырезал в картонке трафарет с окнами (0,6,12) и скользил по точкам нечетных чисел, где простые светятся, составные нет.
Как только светятся все три окна, так первое младшее число число подходящее.

Конечно, вопреки надежде, остатки не считал.

[Yadryara]

Итак. 12 кандидатов в начальные числа кортежей нашли? Перечислите их: 1, 7, 11, ... Посмотрите на них внимательно и попытайтесь их описать. Можно формулами.

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1675393 писал(а):

Итак. 12 кандидатов в начальные числа кортежей нашли? Перечислите их: 1, 7, 11, ... Посмотрите на них внимательно и попытайтесь их описать. Можно формулами.

Как понимаю:
$(0,6,12) + p$, где $p$ число из списка {1,7,11,17,31,41,47,61,67,97,101,131} представляют 12 наименьших кортежей по паттену (0,6,12), среди которых только один симметричный (41,47,53)/

Теперь интересна задача вычисления максимального модуля, который не позволяет перепрыгнуть через подходящие кортежи.

[Yadryara]

Evgeniy101 в сообщении #1675399 писал(а):

{1,7,11,17,31,41,47,61,67,97,101,131}

Ошибки. Какие числа пропущены?

Забудьте пока про паттерн. Смотрите на сами числа. Если не поможет, увеличьте их количество до 16 или до 20-ти.

[Dmitriy40]

Evgeniy101 в сообщении #1675399 писал(а):

Теперь интересна задача вычисления максимального модуля, который не позволяет перепрыгнуть через подходящие кортежи.

Это просто: Наименьшее Общее Кратное всех использованных модулей. Если все модули простые (или взаимно простые), то это просто их произведение, чем такие модули и удобны.
Но сначала разберитесь почему у Вас ошибки с начальными числами для модулей 2,3,5.
И про простоту чисел тоже пока забудьте, вопрос не о простоте, а только про остатки по модулям.

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1675404 писал(а):

Ошибки. Какие числа пропущены?

Забудьте пока про паттерн. Смотрите на сами числа. Если не поможет, увеличьте их количество до 16 или до 20-ти.

Ошибки из-за моего понимания не четко поставленной задачи, т.к. искал кортежи только с наличием простых чисел в каждом из трех мест по шаблону паттерна.

Dmitriy40 в сообщении #1675412 писал(а):

Но сначала разберитесь почему у Вас ошибки с начальными числами для модулей 2,3,5.
И про простоту чисел тоже пока забудьте, вопрос не о простоте, а только про остатки по модулям.

После забывания простоты и увеличения их количества числа такие:
$(1,7,11,17,21,27,31,37,41,47,51,57,61,67,71,77,81,87,91,97,101,107,111,117,121,127,131$

-- 18.02.2025, 21:13 --

Dmitriy40 в сообщении #1675412 писал(а):

Evgeniy101 в сообщении #1675399 писал(а):

Теперь интересна задача вычисления максимального модуля, который не позволяет перепрыгнуть через подходящие кортежи.

Это просто: Наименьшее Общее Кратное всех использованных модулей. Если все модули простые (или взаимно простые), то это просто их произведение, чем такие модули и удобны.

В примере использованы модули 2,3 и 5, следовательно, модуль для вычисления 30.
Как это демонстрируется на разбираемом паттерне (0,6,12), чтобы не перепрыгивать подходящие?