Симметричные кортежи из последовательных простых чисел

[Yadryara]

Dmitriy40, да, тоже подумал что надо на всякий случай проговорить.

Итак, числа имеющие различные остатки по модулю 2 имеют свои названия в языке:

Числа имеющие остаток 0 по модулю 2 называются чётными;
Числа имеющие остаток 1 по модулю 2 называются нечётным.

Других остатков по модулю 2 не бывает: целое число яблок мы либо разделим поровну между двумя людьми (остаток 0) либо 1 яблоко всё же останется.

Один кортеж, который начинается с простого числа 47 мы уже нашли. Может ли другой, бо́льший кортеж начинаться с чётного числа? Ну нет конечно, чётные числа больше чем 2 не могут быть простыми по определению.

Стало быть остаётся проверить, может ли другой кортеж, бо́льший чем 47, начинаться с нечётного числа. Обозначим начальное число предполагаемого кортежа kan (от слова кандидат). Тогда два других числа кортежа в полном соответствии с паттерном будут равны

kan + 6 и kan + 12.

Очевидно, что они тоже всегда будут нечётными, если kan является нечётным числом? Если согласны, то так и запишем:

По модулю 2 разрешён только остаток 1.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1675064 писал(а):

Обозначим начальное число предполагаемого кортежа kan (от слова кандидат). Тогда два других числа кортежа в полном соответствии с паттерном будут равны
kan + 6 и kan + 12.

Тут стоило сразу добавить и обычную запись кортежа в виде
kan+0, kan+6, kan+12
В которой чётко виден и паттерн [0,6,12] и длина кортежа (и паттерна) - три числа/элемента. Уже без деления на начальное число кандидата и прочие (два), они ведь все равноправны, просто самое левое меньше прочих.

[DemISdx]

Dmitriy40 в сообщении #1675071 писал(а):

Yadryara в сообщении #1675064 писал(а):

Обозначим начальное число предполагаемого кортежа kan (от слова кандидат). Тогда два других числа кортежа в полном соответствии с паттерном будут равны
kan + 6 и kan + 12.

Тут стоило сразу добавить и обычную запись кортежа в виде
kan+0, kan+6, kan+12
В которой чётко виден и паттерн [0,6,12] и длина кортежа (и паттерна) - три числа/элемента. Уже без деления на начальное число кандидата и прочие (два), они ведь все равноправны, просто самое левое меньше прочих.

Да. Мне такое уточнение понятнее.

[Yadryara]

Отлично. А теперь попробуйте провести аналогичные рассуждения для этого же паттерна, для модуля 3.

[DemISdx]

Yadryara в сообщении #1675113 писал(а):

Отлично. А теперь попробуйте провести аналогичные рассуждения для этого же паттерна, для модуля 3.

Честно говоря не совсем понимаю.
Т.к. если используем значение из патерна [0,6,12],
то каждое из чисел 0,6,12 по отдельности в значении по модулю 3 дает нам по 0 на выходе (т.е. получаем нечто такое:[0,0,0]).
(Мне думается, что меня не туда понесло...)

[Dmitriy40]

DemISdx
По модулю 3 возможны ровно три разных остатка 0, 1, 2.
Смотрим на число kan:
Пусть kan%3=0: kan+0, kan+6, kan+12 - какие будут остатки у каждого из трёх чисел?
Пусть kan%3=1: kan+0, kan+6, kan+12 - какие будут остатки у каждого из трёх чисел?
Пусть kan%3=2: kan+0, kan+6, kan+12 - какие будут остатки у каждого из трёх чисел?
Вспоминаем что числа kan+0, kan+6, kan+12 нам нужны простыми, а значит если любое из них даёт остаток 0 по модулю 3 (т.е. делится на 3), то такой вариант нам не подходит. Какие варианты kan%3 остаются подходящими?

-- 17.02.2025, 13:35 --

Для модуля 3 не так интересно как для больших, потому сразу ...
Аналогично и для модуля 5, остатков 5 разных: 0, 1, 2, 3, 4.
Смотрим на kan:
Пусть kan%5=0: kan+0, kan+6, kan+12 - какие будут остатки у каждого из трёх чисел?
Пусть kan%5=1: kan+0, kan+6, kan+12 - какие будут остатки у каждого из трёх чисел?
Пусть kan%5=2: kan+0, kan+6, kan+12 - какие будут остатки у каждого из трёх чисел?
Пусть kan%5=3: kan+0, kan+6, kan+12 - какие будут остатки у каждого из трёх чисел?
Пусть kan%5=4: kan+0, kan+6, kan+12 - какие будут остатки у каждого из трёх чисел?
Вспоминаем что числа kan+0, kan+6, kan+12 нам нужны простыми, а значит если любое из них даёт остаток 0 по модулю 5 (т.е. делится на 5), то такой вариант нам не подходит. Какие варианты kan%5 остаются подходящими?

[Yadryara]

DemISdx в сообщении #1675143 писал(а):

Т.к. если используем значение из патерна [0,6,12],
то каждое из чисел 0,6,12

А, вот Дмитрий уже написал. Так что не буду много говорить.

Демис, не эти крошечные чётные числа надо проверять по модулям! Чтоб не путаться, надо проверять нечётные числа больше чем 47. Паттерн это то же самое что шаблон разностей. Не путайте же Вы вслед за Евгением паттерн и кортеж.

И Дмитрий не пояснил: $x\%y$ — операция нахождения остатка от деления $x$ на $y$.

[DemISdx]

Dmitriy40 в сообщении #1675144 писал(а):

DemISdx
По модулю 3 возможны ровно три разных остатка 0, 1, 2.
Смотрим на число kan:
Пусть kan%3=0: kan+0, kan+6, kan+12 - какие будут остатки у каждого из трёх чисел?
Пусть kan%3=1: kan+0, kan+6, kan+12 - какие будут остатки у каждого из трёх чисел?
Пусть kan%3=2: kan+0, kan+6, kan+12 - какие будут остатки у каждого из трёх чисел?
Вспоминаем что числа kan+0, kan+6, kan+12 нам нужны простыми, а значит если любое из них даёт остаток 0 по модулю 3 (т.е. делится на 3), то такой вариант нам не подходит. Какие варианты kan%3 остаются подходящими?

Получается только вариант 3, т.к. 47%3=2, 53%3=2, 59%3=2 (Если я правильно понял вопрос.)

Цитата:

-- 17.02.2025, 13:35 --

Для модуля 3 не так интересно как для больших, потому сразу ...
Аналогично и для модуля 5, остатков 5 разных: 0, 1, 2, 3, 4.
Смотрим на kan:
Пусть kan%5=0: kan+0, kan+6, kan+12 - какие будут остатки у каждого из трёх чисел?
Пусть kan%5=1: kan+0, kan+6, kan+12 - какие будут остатки у каждого из трёх чисел?
Пусть kan%5=2: kan+0, kan+6, kan+12 - какие будут остатки у каждого из трёх чисел?
Пусть kan%5=3: kan+0, kan+6, kan+12 - какие будут остатки у каждого из трёх чисел?
Пусть kan%5=4: kan+0, kan+6, kan+12 - какие будут остатки у каждого из трёх чисел?
Вспоминаем что числа kan+0, kan+6, kan+12 нам нужны простыми, а значит если любое из них даёт остаток 0 по модулю 5 (т.е. делится на 5), то такой вариант нам не подходит. Какие варианты kan%5 остаются подходящими?

Получается 2, 3, 4, т.к. 47%5=2, 53%5=3, 59%5=4 (Если я правильно понял вопрос.)

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1675016 писал(а):

Допустим, у нас стоит задача найти 10 штук симметричных кортежей из последовательных простых чисел по паттерну 3-12, то есть [0, 6, 12].

А чего мудрить. Давайте посмотрим глазками на ряд последовательных простых чисел, небось увидим там какие надо.

Ну да, вот один есть уже в первой сотне:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 ...

Как будем дальнейшие искать? Дальше уже 3-значные числа, уже утомительнее. Не утомимся глазками проверять? Может лучше как-то автоматизировать? А как, например?

Силюсь постигнуть логику действий, которые замечательно приводят к нужному результату у вас с Дмитрием.

Порой есть кажимость, что ухватился за жарптицу, но обжегшись об отсутствие стройной теории, только примеры. Замечательные примеры, но за деревьями леса не видать.

Например, здесь начали по паттерну (0,6,12) с 47. Бесспорно можно, однако почему пропущены начала с 5, с 7, с ..., с 31, ведь (31, 37, 43) под тем же шаблоном светится простыми числами?

Или в самом начале, где Вы показывали из 11 вычитаем 5, получаем 6 и манипулируем уже этой шестеркой, и это приводит к успеху.
Дмитрий так же мне упомянул эти показатели.
А почему?

[DemISdx]

Yadryara в сообщении #1675146 писал(а):

DemISdx в сообщении #1675143 писал(а):

Т.к. если используем значение из патерна [0,6,12],
то каждое из чисел 0,6,12

А, вот Дмитрий уже написал. Так что не буду много говорить.

Демис, не эти крошечные чётные числа надо проверять по модулям! Чтоб не путаться, надо проверять нечётные числа больше чем 47.

Именно только больше??? Или все таки стартовое число (47) и больше?
Последовательность же выглядит как 47,53,59...

Цитата:

Паттерн это то же самое что шаблон разностей.

Это я пока еще помню.

Цитата:

Не путайте же Вы вслед за Евгением паттерн и кортеж.

Надеюсь, что не путаю.

Цитата:

И Дмитрий не пояснил: $x\%y$ — операция нахождения остатка от деления $x$ на $y$.

Да. Этот момент мне вроде понятен.

-- 17.02.2025, 15:11 --

Evgeniy101 в сообщении #1675154 писал(а):

Например, здесь начали по паттерну (0,6,12) с 47. Бесспорно можно, однако почему пропущены начала с 5, с 7, с ..., с 31, ведь (31, 37, 43) под тем же шаблоном светится простыми числами?

Т.к возможно Вы пропустили 41. А это уже нарушение условия последовательности.
Как я понимаю...

[Yadryara]

DemISdx в сообщении #1675155 писал(а):

Т.к возможно Вы пропустили 41. А это уже нарушение условия последовательности.
Как я понимаю...

Совершенно верно! Вот я прям ждал что Демис Евгения поправит.

Evgeniy101, Вы название темы не забываете?

DemISdx в сообщении #1675155 писал(а):

Именно только больше??? Или все таки стартовое число (47) и больше?
Последовательность же выглядит как 47,53,59...

Ну так мы этот кортеж уже нашли! Ищем следующий — так нагляднее. Стартуйте с числа 49.

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1675161 писал(а):

Evgeniy101, Вы название темы не забываете?

О, да!

Слона-то я и не заметил!

[DemISdx]

Yadryara в сообщении #1675161 писал(а):

Ну так мы этот кортеж уже нашли! Ищем следующий — так нагляднее. Стартуйте с числа 49.

А почему с 49?
Не понял.
Может опечатка от 59?
А учитывая, что кортеж "обнаружен" (его границы установлены), то логично вообще продолжать с 61.
Вроде как...

[Dmitriy40]

Yadryara
Постараюсь Вам не мешать, мои объяснения похоже слишком широко шагают, сразу в общем виде, а надо ещё подробнее, с конкретными числами и примерами, у меня видимо терпения не хватит на такую простоту, мне проще сразу формулами, так что дерзайте.

DemISdx в сообщении #1675167 писал(а):

А учитывая, что кортеж "обнаружен" (его границы установлены), то логично вообще продолжать с 61.

Нет - кортежи могут и перекрываться, потому надо со следующего нечётного числа (а лучше следующего простого если оно известно). Например перекрываются кортежи (251,257,263) и (257,263,269) - паттерн один и тот же, (0,6,12).

-- 17.02.2025, 15:50 --

DemISdx в сообщении #1675153 писал(а):

Получается только вариант 3, т.к. 47%3=2, 53%3=2, 59%3=2 (Если я правильно понял вопрос.)

Не только, я просил не для kan=47, а для любого натурального kan. Так что лучше не буду мешать Антону разъяснить подробнее.

[Yadryara]

Надеюсь, понятно. На самом деле не важно откуда стартовать. В процессе это станет ясно. Главное чтобы полный набор остатков рассмотреть. Для определённости возьму $kan=49$ и буду последовательно отвечать на вопросы Дмитрия:

Dmitriy40 в сообщении #1675144 писал(а):

Пусть kan%3=1: kan+0, kan+6, kan+12 - какие будут остатки у каждого из трёх чисел?

$ (49+0) \equiv 1 \mod 3$

$(49+6) \equiv 1 \mod 3$

$(49+12) \equiv 1 \mod 3$

или возьму ещё какое-нибудь нечётное с остатком 1 по модулю 3:

$(67+0) \equiv 1 \mod 3$

$(67+6) \equiv 1 \mod 3$

$(67+12) \equiv 1 \mod 3$


Ответ: Если начальное число даёт остаток 3 по модулю 1, то все 3 остатка будут равны 1. Остаток 0 не встретился ни для одного из трёх чисел паттерна.

Вывод: остаток 1 по модулю 3 разрешён.

Теперь надо ответить на другие вопросы Дмитрия.