Потенциальные силы

[realeugene]

Утундрий в сообщении #1668669 писал(а):

$\qquad r^2 \dot \theta=t_0-t.$

Ага, момент силы постоянен, так что момент импульса линеен по времени.

-- 06.01.2025, 05:55 --

$$m = 1$$

$$M = r^2 \dot \varphi$$

$$\dot M = -Fr = -1$$

$$M = M_0 - \left(t-t_0\right)$$

$$E = E_r + E_\varphi = \frac {\dot r^2} 2 + \frac {r^2\dot \varphi^2 } 2$$

$$\dot E = -Fr\dot\varphi$$

$$\dot \varphi = \frac M {r^2}$$

Дифференцируя и упрощая:

$$r^3\ddot r = M^2$$

Ничего, что общая физика?

[Утундрий]

(Оффтоп)

realeugene
Я называю ваш стиль решения "хаотическим". Набросать в кучу формул и определений, вроде бы подходящих к задаче, и как-то их друг с другом перекомбинировать. Иногда так действительно получается "решить" задачу, но чаще — нет.

[realeugene]

Утундрий в сообщении #1668673 писал(а):

Я называю ваш стиль решения "хаотическим".

Это решение не более и не менее хаотично, чем ваше. То, что момент импульса можно сразу проинтегрировать - повезло, конечно. Второе уравнение для энергии тоже чудесным образом упрощается.

Кстати, вы забыли про начальный момент импульса. Он не обязан был быть нулевым.

[drzewo]

Побалуемся еще некоторое время.

Теорема 1. Пусть $r(t)$ -- решение уравнения

$$\ddot r=\frac{t^2}{r^3}\qquad(*)$$

определенное на интервале $[0,T)$ и $\inf\{r(t)\mid t\in[0,T)\}\ge c>0$. Тогда $r(t)$ продолжаемо правее $T$.

Доказательство. Предположим противное. Тогда

$$r(t)+|\dot r(t)|\to \infty,\quad t\to T-.$$

По условию теоремы, функция $\ddot r(t)$ ограничена и положительна на $[0,T)$. Следовательно, $|\dot r(t)|$ тоже ограничена. Действительно, по по теореме Лагранжа

$$\dot r(t)-\dot r(0)=\ddot r(s)t,\quad s\in [0,t]\subset[0,T).$$

Следовательно, $r(t)\to \infty$. Но это противоречит ограниченности первой производной:

$$r(t)-r(0)=\dot r(s)t,\quad s\in [0,t]\subset[0,T).$$

ЧТД

Следствие. Положительное решение $r(t)$ либо определено на интервале $[0,\infty)$, либо найдется $T>0$ такое, что $r(t)\to 0,\quad t\to T-$.

[Утундрий]

realeugene в сообщении #1668675 писал(а):

вы забыли про начальный момент импульса. Он не обязан был быть нулевым.

Более того, я даже "забыл" что такое "момент импульса", а просто взял, да и проинтегрировал уравнения.

P. S. У $r(t)$ забавная асимптотика: при $t \to + \infty$ имеем $r \to \sqrt 2 \; t (\ln t)^{1/4}$.

[pppppppo_98]

Утундрий в сообщении #1668697 писал(а):

P. S. У $r(t)$ забавная асимптотика: при $t \to + \infty$ имеем $r \to \sqrt 2 \; t (\ln t)^{1/4}$.

ну если вам поверить относительно степени логарифма (я сам проверил только асимптотику дo степени t), то тогда $\theta\sim O(\sqrt{\ln{t}})$

[realeugene]

Утундрий в сообщении #1668697 писал(а):

Более того, я даже "забыл" что такое "момент импульса", а просто взял, да и проинтегрировал уравнения.

И абсолютно произвольную константу интегрирования, не имеющую отношения к времени старта, назвали символом $t_0$. Браво!

-- 06.01.2025, 14:38 --

drzewo в сообщении #1668696 писал(а):

Следствие. Положительное решение $r(t)$ либо определено на интервале $[0,\infty)$, либо найдется $T>0$ такое, что $r(t)\to 0,\quad t\to T-$

Из физики задачи это почти очевидно. Чтобы улететь на бесконечность за конечное время нужна бесконечная кинентическая энергия. Для этого тело должно намотать бесконечное количество кругов вокруг центра. Но ввиду ограниченности на конечном времени момента импульса, бесконечное количество кругов вокруг центра при ненулевом радиусе за конечное время тело намотать не может.

[Утундрий]

realeugene
Ваши реплики становятся всё более бессмысленными.

[realeugene]

Утундрий
Нет.

-- 06.01.2025, 15:16 --

Так как сила по условию направлена по окружности и по модулю $F=1/r$, это имеет два следствия:

1. Момент силы вообще не зависит от движения тела. Следовательно, момент импульса тела изменяется во времени с постоянной скоростью.
2. Работа силы равна количеству оборотов, которое тело сделало вокруг центра и не зависит от траектории. Эта работа равна изменению кинетической энергии тела.

[drzewo]

Как пишут тут (и считают асимптотики)
В уравнении (*) удобно сделать замену $t=e^s,\quad r=e^su(s)$. После чего мы получаем автономную систему с линейной вязкостью

$$u''+u'=\frac{1}{u^3}.$$

Можно еще понизить порядок $u'=p(u)$
откуда

$$p'=\frac{1-pu^3}{pu^3}.$$

При $u\to\infty$ имеем $p\sim \frac{1}{u^3}$ -- просто из разглядывания фазового портрета. Причем эта асимптотика годится для решений с $p(u_0)>0$ -- что накладывает ограничения на $\dot r(0)$ в исходной задаче.

[drzewo]

drzewo в сообщении #1668726 писал(а):

При $u\to\infty$ имеем $p\sim \frac{1}{u^3}$ -- просто из разглядывания фазового портрета. Причем эта асимптотика годится для решений с $p(u_0)>0$ -- что накладывает ограничения на $\dot r(0)$ в исходной задаче.

Таким образом, если при каком-то $t_0\ge 1$ выполнено $\dot r(t_0)>r(t_0)/t_0>0$ то имеет место асимптотика:

$$r(t)\sim \sqrt 2t\ln^{1/4}t,\quad t\to\infty,$$

которая была отмечена выше, без указания условий применимости.

[realeugene]

drzewo в сообщении #1668726 писал(а):

Причем эта асимптотика годится для решений с $p(u_0)>0$ -- что накладывает ограничения на $\dot r(0)$ в исходной задаче.

Очень странно, что есть какие-то жесткие ограничения с неравенствами. Прицелиться изначально так, чтобы траектория прошла через нуль, сложно. Для этого тело должно пройти через нуль по радиусу в единственный момент времени после запуска, когда его момент импульса обнуляется. Множество таких ведущих траекторию в нуль начальных условий нулевой меры. А во всех остальных случаях тело должно уйти на бесконечность, набирая бесконечные момент импульса и энергию, и странно, что асимптотика движения такого тела будет зависеть от каких-либо конечных начальных условий.

[pppppppo_98]

realeugene в сообщении #1668808 писал(а):

набирая бесконечные момент импульса и энергию

систеак консервативная - энергия сохраняется, поэтому как-то неонятно как набрать ее беконечно.

[drzewo]

Решений, приходящих в начало координат не существует.
Это следует из энергетического неравенства

$$H=\frac{1}{2}u'^2+\frac{1}{2u^2},\quad H'=-u'^2\le 0.$$

-- 07.01.2025, 15:15 --

асимптотика верна для всех решений

[realeugene]

pppppppo_98 в сообщении #1668883 писал(а):

систеак консервативная - энергия сохраняется, поэтому как-то неонятно как набрать ее беконечно.

И свободно падающее в поле постоянной силы тяжести тело тоже не может набрать бесконечную энергию?