Гармонический осциллятор и принцип наименьшего действия

[realeugene]

amon в сообщении #1654589 писал(а):

Бывает локальный и глобальный.

Ещё нужно определить норму. Какие функции считать близкими? Ограничение производной в дополнение к ограничению отклонения сужает множество функций, по которому рассматривается экстремум. И, например, в задачах оптимального управления нередко оно слишком ограничивающее требование.

Если норма считается только как максимальное по модулю отклонение траектории - это называется "сильный экстремум", а если как сумма модулей максимального отклонения траектории и скорости - то "слабый экстремум".

amon в сообщении #1654589 писал(а):

Точка стационарности - точка, где выполнено необходимое условие экстремума $\frac{\delta S}{\delta x(t)}=0.$

Опять же, если вариационная производная в точке не существует, но в первом порядке малости по норме вариации траектории изменение действия нулевое, можно ли говорить об экстремуме?

[drzewo]

(Оффтоп)

amon
Вы все очень правильно пишите, но без толку. Задача вашего собеседника состоит в том что бы оправдать чушь, которую он уже понаписал У меня он давно в игнор-листе.

[Red_Herring]

realeugene в сообщении #1654591 писал(а):

Опять же, если вариационная производная в точке не существует, но в первом порядке малости по норме вариации траектории изменение действия нулевое, можно ли говорить об экстремуме?

Такого не бывает.

[realeugene]

Red_Herring в сообщении #1654598 писал(а):

Такого не бывает.

Да, вы правы, не то спросил. При занулении вариации действия в первом порядке малости по норме вариации траектории вариационная производная существует и равна нулю по определению.

-- 14.09.2024, 16:47 --

(Оффтоп)

drzewo
Вы выглядите математиком-пуристом, пытающимся применять математику к физике, но не понимая при этом саму физику.

-- 14.09.2024, 17:23 --

amon в сообщении #1654589 писал(а):

Экстремум это максимум или минимум. Бывает локальный и глобальный. Точка стационарности - точка, где выполнено необходимое условие экстремума $\frac{\delta S}{\delta x(t)}=0.$

Хм... Максимум - это экстремум, ОК. Необходимое условие экстремума - зануление вариационной производной, ОК. Для рассмотренного лагранжиана с $U(x)=|x|$, при использовании нормы для слабого экстремума (с включением в норму вариации траектории модуля скорости), точка $x=0$ является точкой локального максимума. Но написанное вами необходимое условие экстремума для этой точки не выполняется, так как вариационная производная в этой точке вообще не существует и зануляться не может.

А знаете, вру. Можно двигаться туда-сюда со сколь угодно малой скоростью, но с максимальной ампилитудой, меньшей квадрата максимальной скорости, повышая частоту колебаний, и действие можно будет сделать положительным. $x=0$ - не точка максимума и в смысле слабого экстремума, а всё так же неизвестно что.

Это для лагранжиана $L=\dot x^2 + |x|$ траектория $x=0$ является глобальным минимумом, для которого не выполняется необходимое условие экстремума.

[realeugene]

realeugene в сообщении #1654576 писал(а):

В механике можно бегать очень быстро туда-сюда-обратно вблизи траектории, чтобы получить любое значение кинетической энергии при сколь угодно малых отклонениях координаты. Как при этом можно получить не минимум я не очень понимаю.

Продолжаю не понимать. Что мешает при положительно-определённой квадратичной форме кинетической энергии за счёт увеличения частоты фрикций построить последовательность стремящихся к точке максимума даже по норме слабого экстремума функций с монотонно убывающим на них действием? Какой-то не максимальный максимум получается, если в любой $\varepsilon$-окрестности существует точка с большим значением функционала.

[Утундрий]

realeugene в сообщении #1654617 писал(а):

Продолжаю не понимать. Что мешает при положительно-определённой квадратичной форме кинетической энергии за счёт увеличения частоты фрикций...

Может хватит уже насиловать функциональный анализ?

[realeugene]

Утундрий в сообщении #1654620 писал(а):

Может хватит уже насиловать функциональный анализ?

Угу.

- А вот соседу 75, он говорит, что ежедневно...
- Ну, и вы говорите.

[reterty]

Настоятельно рекомендую ТС рассмотреть вместо гармонического осциллятора с изломом плавный потенциал Потенциал Вудса — Саксона https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0 ... 0%BD%D0%B0 и на нем апробировать принцип стационарности действия.
Муся Каганов неоднократно мне заявлял о том, что "Природа всегда СГЛАЖИВАЕТ И РАЗМЫВАЕТ все математические сингулярности".

[Theoristos]

reterty: и какой должен быть результат столь настоятельного совета?

В смысле "сглаженности" на выходе из ямы, потенциалы такого рода в этой ветке поминались.
Траектории заходящие туда получаются вполне отвечающие принципу стационарности, вопрос разве что в существовании нескольких вариантов для заданных начальной-конечной точки - то говорят "начальная скорость не важна, фиксируется только начальное и конечное положение", то вылазит доп. сортировка по начальной скорости.

А при $r\to 0$ производная потенциала получается ненулевая, так что это тот самый $|x|$ от realeugene, только чуток замаскированный.
... и к тому же с дополнительной шляпой, если учитывать, что система не одномерная, а трёхмерная.

-- Вс сен 15, 2024 06:52:48 --

drzewo в сообщении #1654564 писал(а):

с изломом получается все тоже самое что и без излома, топологически эквивалентная система получается, о чем вам уже говорил amon

Ну так, и каково решение минимизирующее действие?

[reterty]

Theoristos в сообщении #1654712 писал(а):

reterty: и какой должен быть результат столь настоятельного совета?

В смысле "сглаженности" на выходе из ямы, потенциалы такого рода в этой ветке поминались.
Траектории заходящие туда получаются вполне отвечающие принципу стационарности, вопрос разве что в существовании нескольких вариантов для заданных начальной-конечной точки - то говорят "начальная скорость не важна, фиксируется только начальное и конечное положение", то вылазит доп. сортировка по начальной скорости.

А при $r\to 0$ производная потенциала получается ненулевая, так что это тот самый $|x|$ от realeugene, только чуток замаскированный.
... и к тому же с дополнительной шляпой, если учитывать, что система не одномерная, а трёхмерная.

Ok. Возьмите $U(x)=1-\operatorname{sech}(x)$

[realeugene]

(Оффтоп)

reterty в сообщении #1654703 писал(а):

Муся Каганов неоднократно мне заявлял

Это кто?

-- 15.09.2024, 10:37 --

reterty
Если вы настаиваете на том, что умеете правильно любить негладкие потенциалы в классической механике - вы тоже это можете тут продемонстрировать на упоминавшемся тут примере с модулем. Сам автор этого утверждения про то, что разрывы нужно любить, а не сглаживать, слился.

[reterty]

realeugene в сообщении #1654729 писал(а):

(Оффтоп)

reterty в сообщении #1654703 писал(а):

Муся Каганов неоднократно мне заявлял

Это кто?

-- 15.09.2024, 10:37 --

reterty
Если вы настаиваете на том, что умеете правильно любить негладкие потенциалы в классической механике - вы тоже это можете тут продемонстрировать на упоминавшемся тут примере с модулем. Сам автор этого утверждения про то, что разрывы нужно любить, а не сглаживать, слился.

Муся Каганов он же Моисей Исаакович Каганов https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0 ... 0%B8%D1%87

Увы, я приемлю лишь гладкие потенциалы

[drzewo]

reterty в сообщении #1654703 писал(а):

Муся Каганов неоднократно мне заявлял о том, что "Природа всегда СГЛАЖИВАЕТ И РАЗМЫВАЕТ все математические сингулярности".

Это верно до известной степени. Но есть объективные вещи: ударные волны в газовой динамике, удары в классической механике. Посмотрите первый том МСС Седова, как он конструирует решения уравнений газовой динамики с разрывами. Эти решения согласуются с экспериментом, сами понимаете каким. За это он академика и получил. Вот пока там гладкие решения искали прогресса не было.

[Утундрий]

drzewo в сообщении #1654799 писал(а):

есть объективные вещи: ударные волны в газовой динамике, удары в классической механике. Посмотрите первый том МСС Седова, как он конструирует решения уравнений газовой динамики с разрывами. Эти решения согласуются с экспериментом, сами понимаете каким. За это он академика и получил. Вот пока там гладкие решения искали прогресса не было.

Мягко говоря, ерунда. И структура ударной волны и взаимодействие упругих сред прекрасно описываются в терминах достаточно гладких функций.

[drzewo]

Утундрий в сообщении #1654800 писал(а):

Мягко говоря, ерунда.

ну значит разговор закончился не начавшись