Энтропия неравновесной самогравитирующей системы

[Anton_Peplov]

Определение энтропии для равновесной системы широко известно. В частности, энтропия имеет прямую связь с температурой: $dS = \frac{\delta Q}{T}$

Энтропия неравновесной системы - более сложный вопрос. В частности, где нет термодинамического равновесия, нет и температуры, и предыдущая формула утрачивает смысл.

У нас в детском саду энтропию неравновесной системы вводили так. Возьмем момент времени $t$ и вокруг него - короткий промежуток $\Delta t$. Пусть в системе нет дальнодействующих сил. Разобьем систему на части достаточно малые, чтобы в течение $\Delta t$ каждая из них находилась в локальном термодинамическом равновесии, но достаточно большие, чтобы их взаимодействием в течение $\Delta t$ можно было пренебречь. Тогда для каждой $i$-той части мы можем определить ее локальную энтропию $S_i$, и, пренебрегая взаимодействием частей, определить энтропию всей системы как сумму локальных энтропий: $S = \sum S_i$. Которая, естественно, будет функцией времени. И второй закон термодинамики говорит нам, что эта функция - возрастающая.

Однако этот подход не работает, когда существенна самогравитация. Например, в протозвездном облаке, из которого образовалось Солнце. Взаимодействием частей уже невозможно пренебречь.

Вопрос: есть ли общепринятый способ приписывания энтропии облаку самогравитирующего газа? Если да, то где о нем почитать? Желательно на русском языке, но в крайнем случае сгодится и английский.

Чем вызван вопрос. В научно-популярной книге Б. Грин. Ткань космоса встретил такое рассуждение. В эпоху первичного нуклеосинтеза космос был заполнен первичным газом почти равномерно. Равномерное заполнение пространства веществом с гравитационным притяжением – крайне маловероятная (отвечающая малому числу микросостояний), и, следовательно, низкоэнтропийная ситуация. Настолько, что даже образовавшееся спустя несколько циклов звездообразования Солнце остается заповедником низкой энтропии, только благодаря которому я и имею возможность писать здесь этих глупостев.

я читал в учебнике И. П. Базаров. Термодинамика. М.: Высшая школа, 1991 на с. 18, что для систем размером с галактику гравитация приводит к сменяющим друг друга большим флуктуациям без достижения равновесия. Что, кстати, убивает идею тепловой смерти Вселенной.

Книжка Грина - популярная и он мог позволять себе вольности. Но у него это не вскользь брошенное замечание, а целая подглава "Энтропия и гравитация". Вероятно, за ней все же стоит нечто большее чем фантазии. И я хочу понять что и где это искать.

Сознательно не касаюсь черных дыр, Большого взрыва и прочей экзотики. Мой вопрос - про банальное облако газа с ньютоновской гравитацией. Как определить его энтропию?

[Утундрий]

Под "детским садом", надо понимать, подразумевается первая часть статфизики ЛЛ. Посмотрите их же десятый том. Главы, посвящённые учёту кулоновского взаимодействия в плазме.

[amon]

Утундрий в сообщении #1644792 писал(а):

Главы, посвящённые учёту кулоновского взаимодействия в плазме.

Не работает. В плазме есть экранирование. Ответа на исходный вопрос я не знаю.

[Утундрий]

Я имел в виду саму технику учёта дальнодействующих сил в столкновительном интеграле.

[amon]

Утундрий в сообщении #1644799 писал(а):

Я имел в виду саму технику учёта дальнодействующих сил в столкновительном интеграле.

Эта техника не работает для гравитационного поля. Кулоновский интеграл столкновений расходится как на верхнем, так и на нижнем пределе. На нижнем пределе он обрезается радиусом экранирования, а на верхнем - логарифмом радиуса (точнее -угла рассеяния при прицельном расстоянии равном дебаевскому радиусу). В гравитации ни экранирования, ни электронейтральности нет, и расходимости обрезать нечем. Надо будет при случае астрофизиков спросить, как они выкручиваются.

[Ghost_of_past]

Anton_Peplov в сообщении #1644759 писал(а):

я читал в учебнике И. П. Базаров. Термодинамика. М.: Высшая школа, 1991 на с. 18, что для систем размером с галактику гравитация приводит к сменяющим друг друга большим флуктуациям без достижения равновесия. Что, кстати, убивает идею тепловой смерти Вселенной.

Основа этой идеи описывается в многих книгах. Например, в ЛЛ-5:

Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика. Статистическая физика. Часть I. § 8. Закон возрастания энтропии писал(а):

Прежде всего, если мы попытаемся применить статистику к миру как целому, рассматриваемому как единая замкнутая система, то мы сразу же столкнемся с разительным противоречием между теорией и опытом. Согласно результатам статистики вселенная должна была бы находиться в состоянии полного статистического равновесия. Точнее, должна была бы находиться в равновесии любая сколь угодно большая, но конечная ее область, время релаксации которой во всяком случае конечно. Между тем ежедневный опыт убеждает нас в том, что свойства природы не имеют ничего общего со свойствами равновесной системы, а астрономические данные показывают, что то же самое относится и ко всей доступной нашему наблюдению колоссальной области вселенной.

Выход из создающегося таким образом противоречия следует искать в общей теории относительности. Дело в том, что при рассмотрении больших областей вселенной важную роль начинают играть существующие в них гравитационные поля. Как известно, последние представляют собой не что иное, как изменение пространственно-временной метрики. При изучении статистических свойств тел метрические свойства пространства-времени можно в известном смысле рассматривать как «внешние условия», в которых эти тела находятся. Но утверждение о том, что замкнутая система должна в течение достаточно длительного времени перейти в состояние равновесия, разумеется, относится лишь к системе, находящейся в стационарных внешних условиях. Между тем общее космологическое расширение вселенной означает, что ее метрика существенно зависит от времени, так что «внешние условия» отнюдь не являются в данном случае стационарными. При этом существенно, что гравитационное поле не может быть само включено в состав замкнутой системы ввиду того, что при этом обратились бы в тождество законы сохранения, являющиеся, как мы видели, основой статистики. Благодаря этому в общей теории относительности мир как целое должен рассматриваться не как замкнутая система, а как система, находящаяся в переменном гравитационном поле; в связи с этим применение закона возрастания энтропии не приводит к выводу о необходимости статистического равновесия.

И важные уточнения есть у Зельдовича и Новикова: Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Строение и эволюция Вселенной. 1975. Глава 23. Физические процессы вблизи сингулярности и развитие теории тяготения. § 17. Осциллирующая Вселенная?

[warlock66613]

Anton_Peplov в сообщении #1644759 писал(а):

есть ли общепринятый способ приписывания энтропии облаку самогравитирующего газа?

Способ приписывания простой. Во-первых, делим систему на физически бесконечно малые объёмы и считаем энтропию как сумму по ним. То, что они взаимодействуют -- неважно, это учтётся при вычислении энтропии каждого объёма. Во-вторых, по классике определяем энтропию каждого объёма как $S = k_B \ln \Omega$, где $\Omega$ -- объём фазового пространства, соответствующий одночастичной функции распределения $\rho(\mathbf r, \mathbf p)$. Если применить это определение к идеальному газу в поле тяжести, то можно найти во-первых, что максимальной энтропией обладает распределение Максвелла -- Больцмана, а во-вторых получить известное выражение для энтропии идеального газа в равновесном состоянии. А вот как сделать аналогичную штуку для самогравитирующей системы я не знаю, но приписывается энтропия именно таким образом.

[Anton_Peplov]

Посоветовали книгу: У. Саслау. Гравитационная физика звездных и галактических систем. М.: Мир, 1989
Там среди прочего есть глава "Гравитация и термодинамика". При просмотре по диагонали не понял, как быть с энтропией. Надо вникать.

[SergeyGubanov]

warlock66613 в сообщении #1644843 писал(а):

$S = k_B \ln \Omega$, где $\Omega$ -- объём фазового пространства

Наверное надо рассмотреть случай искривлённого фазового пространства.

[pppppppo_98]

SergeyGubanov в сообщении #1644885 писал(а):

warlock66613 в сообщении #1644843 писал(а):

$S = k_B \ln \Omega$, где $\Omega$ -- объём фазового пространства

Наверное надо рассмотреть случай искривлённого фазового пространства.

Коли речь заходит ОТО ,то это мало чем поможет... В ОТО нет законов сохранения если касаться метрики. То есть у вас система может набирать или терять энергию из неоткуда (из особенностей движения в исправленной метрике).И Тогда смысл энтропии тоже теряется.

[Anton_Peplov]

В стартовом посте я явно указал, что гравитация ньютоновская. ОТО я совсем не знаю и касаться её не хочу.

[chislo_avogadro]

Ghost_of_past в сообщении #1644804 писал(а):

Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Строение и эволюция Вселенной. 1975. Глава 23. Физические процессы вблизи сингулярности и развитие теории тяготения. § 17. Осциллирующая Вселенная?

Или §14 "Статистическая физика и тяготение" в той же главе.

[пианист]

Anton_Peplov
Емнис, энтропия Тсалиса придумана примерно для таких задач.

[druggist]

warlock66613 в сообщении #1644843 писал(а):

То, что они взаимодействуют -- неважно, это учтётся при вычислении энтропии каждого объёма.

Не понимаю, как учтется? Фазовый объем каждой такой подсистемы пропорционален числу состояний подсистемы $\Gamma_i$. Тогда, если подсистемы независимы(взаимодействием можно пренебречь), то число состояний полной системы$\Gamma $ есть произведение $\Gamma_i$ из элементарной теории вероятностей, а полная энтропия(логарифм), соответственно, сумма энтропий подсистем, все хорошо- энтропия - аддитивная величина.

[warlock66613]

druggist в сообщении #1645490 писал(а):

как учтется?

Точно так же как учитывается внешний потенциал.