Найти установившийся ток в контуре

[svv]

LLeonid3, Вы, скорее всего, как-то не так прочитали условие. Пила на входе продолжается до $+\infty$.

[мат-ламер]

LLeonid3 в сообщении #1637129 писал(а):

В контуре, в том числе и последовательном. как у автора, возникшие при импульсном возбуждении колебания продолжаются время, зависящее от потерь.

Возбуждение тут отнюдь не импульсное. Оно идёт всё время. Вы можете смотреть на эту схему как на некую линейную систему, которая преобразует входной сигнал (пилу) в выходной. Разные частоты преобразуются по разному. Можно рассматривать схему как некий фильтр (с определённой добротностью), настроенный на некую частоту.

[LLeonid3]

svv в сообщении #1637131 писал(а):

Пила на входе продолжается до $+\infty$.

Именно так я и прочитал и не понял о каких "разрывах" идёт речь в постах
Для ясности нарисовал графики при разных значениях потерь (R) в этом контуре.
https://disk.yandex.ru/i/KsE0Z-FqdZwgzQ
(Справа начальные участки для рассмотрения переходного процесса.

[EUgeneUS]

Poehavchij в сообщении #1636968 писал(а):

с источником
пилообразного напряжения

LLeonid3 в сообщении #1637160 писал(а):

Для ясности нарисовал графики при разных значениях потерь (R) в этом контуре.

Лучше бы Вы график пилообразного напряжения нарисовали. Для ясности.

[svv]

[LLeonid3]

svv, а где в формуле автора

Poehavchij в сообщении #1636968 писал(а):

$U(t) = (\frac{t}{\tau}- n)V$

пила?

EUgeneUS в сообщении #1637162 писал(а):

график пилообразного напряжения

Для вас сделаю обязательно

[svv]

LLeonid3
Там надо было догадаться (опираясь на слово «пила» и нижеследующее неравенство), что $n$ — целая переменная, а не константа, и она определяется значением $t$.

Дальше всё уже автоматически. Для каждого $t$ (в эпоху, когда входное напряжение уже «включилось») надо найти единственное $n$ такое, что выполняется неравенство

Poehavchij в сообщении #1636968 писал(а):

$n \tau \leqslant t < (n+1) \tau$

Иначе говоря, каждое $n$ постоянно на интервале $n \tau \leqslant t < (n+1) \tau$. Собственно, каждое $n$ — это один зуб пилы. И на этом интервале именно оно подставляется в формулу для напряжения:

Poehavchij в сообщении #1636968 писал(а):

$U(t) = (\frac{t}{\tau}- n)V$

Когда же этот интервал закончится (неравенство перестанет удовлетворяться), надо будет взять новое $n$.

Получается, что разность $\frac{t}{\tau}- n$ не может стать большой: как только она собирается стать $\geqslant 1$, переменная $n$ «перещёлкивается» в следующее целое значение, и разность опять спадает до нуля. Так вот и получается пила.

Скажете, что эти нюансы были прописаны не очень чётко? Или что то же можно было сформулировать проще (например, через функцию «дробная часть»)? Соглашусь.

[мат-ламер]

LLeonid3 в сообщении #1637171 писал(а):

svv, а где в формуле автора
Poehavchij в сообщении #1636968

писал(а):
$U(t) = (\frac{t}{\tau}- n)V$ пила?

Вы бы уже полностью цитировали. Там в этой строчке ещё кое-что есть.

[LLeonid3]

EUgeneUS, для ясности
https://disk.yandex.ru/i/wiWauoxjYJyN5Q
Без потерь контур в разносе, на третьем колебании уже амплитуда $100$ В, а успокаивается с нагрузкой ~$3$ Ом. Резонанс считал индуктивностью, а пила какая получилась.

svv в сообщении #1637175 писал(а):

Там надо было догадаться

Здесь правила строгие, за неудачную догадку бан получил, "но не обиделся, а приговаривал..." (с)Высоцкий

[svv]

LLeonid3
На графиках ещё подписи не совсем понятны. Про $n$ я уже объяснил, что это не константа. Но ещё у Вас написано tau = 0,5[s], а реальный период пилы этому совершенно не соответствует. $V$ тоже не соответствует — это же полная величина скачка, а у Вас это половина. Ну, и пила должна "стоять" на оси абсцисс, то есть $U(t)$ отрицательным не бывает.

[LLeonid3]

svv в сообщении #1637184 писал(а):

tau = 0,5[s], а реальный период пилы..

Но это же просто коэффициент, определяющий наклон (скорость нарастания напряжения) линии на графике.
При $t=0$ и $n\ne0$ напряжение равно $-nV$, т.е. отрицательно. Чтобы получилась симметрия (что всегда хорошо) относительно $0$ я и установил размах пилы до $+nV$
"Вот приедет барин..." автор, может и уточнит условия

[svv]

Помимо прочего, величина $\tau$ при фиксированных $L,R,C$ ещё и определяет, насколько гармоники, на которые раскладывается периодическая пила, будут близки или далеки от резонансной частоты контура.

LLeonid3 в сообщении #1637190 писал(а):

При $t=0$ и $n\ne0$ напряжение равно $-nV$, т.е. отрицательно.

Простите, пожалуйста... так Вы так и не поняли роли $n$?
Совсем просто: $\tau$ — период пилы, а $n$ — число полностью завершившихся периодов пилы в момент $t$ (считая, что началась пила в нулевой момент времени).

В интервале $0\leqslant t<\tau$ считаем $n=0$.
В интервале $\tau\leqslant t<2\tau$ считаем $n=1$.
В интервале $2\tau\leqslant t<3\tau$ считаем $n=2$.
И так далее.
Поэтому не может быть $n\neq 0$ при $t=0$.

[LLeonid3]

svv, принципиальной разницы нет, начинается "пила" с ноля или с отрицательного значения, период задан $\tau$ или выбран другой. Разве переходной период начала чуть отличается.
Что же касается "установившегося тока", его значения будут отличаться в одних и тех же точках разных периодов и, как вы правильно заметили, будут меняться с разностной частотой пилы и её гармоник и частоты контура, на никак не стремиться к $0$.
Вот ещё картинка по вашему пониманию "n":
https://disk.yandex.ru/i/et9jLZXLz-BnZg
(Автор не пояснит уже, пропал или ему не интересно )

[Poehavchij]

EUgeneUS
Прошу прощение за мое длительное отсутствие, но я вижу вам тут было с кем поговорить))
Так, про то что мне нужно применять два условия, это я понимаю
А вот уравнение, которое мы получаем для мнимой части Im, для обеих условий, когда приравниваем целиком комплексное число, просто бредовое и не имеет отношения к задаче ? Поэтому я в итоге получил противоречие
А, и еще хотел спросить, как мне в итоге должно было помочь для решения задачи тот факт, что напряжение на скачет именно на индуктивности (ну кроме того что бы лучше понять физически ситуацию, что я ценю конечно)

-- 24.04.2024, 17:25 --

LLeonid3
Рано Вы списали "барина" со счетов))
В этой задаче имеется ввиду интерпретация которую дал svv.
Это не техническая задача по радио/электротехнике, а скорее чисто математическая задача на теорию колебаний.

[EUgeneUS]

Poehavchij в сообщении #1637222 писал(а):

А вот уравнение, которое мы получаем для мнимой части Im, для обеих условий, когда приравниваем целиком комплексное число, просто бредовое и не имеет отношения к задаче ? Поэтому я в итоге получил противоречие

Не понял вопроса. Но в целом - да. Если Вы приравниваете два комплексных числа, то и получаете условие на равенство двух комплексных чисел. А нам надо другое.

Poehavchij в сообщении #1637222 писал(а):

А, и еще хотел спросить, как мне в итоге должно было помочь для решения задачи тот факт, что напряжение на скачет именно на индуктивности (ну кроме того что бы лучше понять физически ситуацию, что я ценю конечно)

Задачу можно рассматривать двумя способами:
1. Нахождение установившегося режима (установившегося тока).
Условие, что режим установившийся - что параметры (все токи и напряжения) периодически повторяются.
2. Нахождение переходного процесса при ненулевых начальных условиях.
Но для этого опять же нужно найти эти самые ненулевые начальные условия. И опять же из условия, что параметры в начале равны параметрам в конце (первого, в этом случае, периода).

То есть в любом случае нам нужны граничные условия. А чтобы их определить нам нужно понять, что может иметь разрыв на границе периода, а что не может. Ну и понимаем, что заряд и ток разрыва иметь не могут, а вот производная тока - может (потому что гладиолус индуктивность).

А вообще, то чем мы тут занимаемся - это закат Солнца вручную. Никто так такие задачи не решает.

Poehavchij в сообщении #1637222 писал(а):

Это не техническая задача по радио/электротехнике, а скорее чисто математическая задача на теорию колебаний.

Это задача из курса теории электрических цепей. Можете посмотреть учебник по теме, например, Бессонова.