Найти установившийся ток в контуре

[Poehavchij]

Найти установившийся ток в контуре с источником
пилообразного напряжения $U(t) = (\frac{t}{\tau}- n)V$ при $n \tau \leqslant t < (n+1) \tau$
Собственно говоря, нахожу я его исходя из того что для установившегося тока должно быть по идее $q(\tau) = q(0), \dot{q}(\tau) = \dot{q}(0)$
Однако ничего адекватного не выходит + понятно, что методов решения может несколько, но нужен тот, в конечном ответе которого мы получим функцию тока как мнимую часть некоторой комплексной функции (см. ниже)

Где $\omega_0 =\frac{1}{\sqrt{LC}}, \lambda = \frac{R}{2L} $

[svv]

Poehavchij
Что такое $I(t)$?

Поясню вопрос. Обозначим через $U_L(t), U_R(t), U_C(t)$ падение напряжения в момент $t$ на соответствующих элементах. В моменты $t=n\tau$ происходит скачок напряжения $U$ на величину $-V$. Поскольку $U(t)=U_L(t)+U_R(t)+U_C(t)$, то в эти моменты хотя бы одно из напряжений $U_L,U_R,U_C$ тоже должно иметь скачок.

Контрольный вопрос: как Вы думаете, на каком именно элементе происходят скачки напряжения одновременно со скачками $U$?

Так вот, в силу этого в каждый момент $t=n\tau$ "скачет" производная тока по времени $\dot I$. Однако функция $I(t)$, заданная Вашей не набранной в $\TeX$ формулой , бесконечно дифференцируема (ну, насколько видят мои очки; там не всё видно чётко). Как Вы разрешите это противоречие? Что тогда такое у Вас $I(t)$?

[мат-ламер]

Poehavchij в сообщении #1636968 писал(а):

нахожу я его исходя из того что для установившегося тока должно быть по идее $q(\tau) = q(0), \dot{q}(\tau) = \dot{q}(0)$

Как-то ваша идея для меня отнюдь неочевидна. Ведь наша цепочка может вызвать сдвиг по фазе.

Poehavchij в сообщении #1636968 писал(а):

понятно, что методов решения может несколько, но нужен тот, в конечном ответе которого мы получим функцию тока как мнимую часть некоторой комплексной функции

Попробуйте решать через преобразование Фурье. А вы каким методом пробовали решать?

-- Вс апр 21, 2024 07:30:22 --

мат-ламер в сообщении #1636977 писал(а):

Как-то ваша идея для меня отнюдь неочевидна. Ведь наша цепочка может вызвать сдвиг по фазе.

Извиняюсь. Я не уловил смысл

Poehavchij в сообщении #1636968 писал(а):

для установившегося тока

То есть $q(0)$ - это не начальное условие. Это для установившегося тока. То есть, да, решение периодическое с периодом $\tau$ .

[Poehavchij]

svv
Ну, интуиция подсказывает что скачек должен быть на резисторе, конденсатор и индуктивность наверное должны плавно изменять напряжение
Что же касается Вашего вопроса, то вызван он моим офигительным навыком обрезания картинок, а вместе с ним и важной информации
Установившийся ток $I(t) = - \frac{1}{\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}}\frac{V}{L} Im(\frac{e^{\alpha t}}{1 - e^{\alpha \tau}} + \frac{1}{\alpha \tau})$
Где $ \alpha = -\lambda + i \sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2} $
Для $0 \leqslant t \leqslant \tau$. Для $n \tau \leqslant t \leqslant (n+1)\tau$ Нужно в формуле тока заменить $t^{'} = t - n \tau $

-- 21.04.2024, 10:43 --

мат-ламер
Ну, уравнение колебаний $\ddot{q} + 2 \lambda \dot{q} + \omega_0^2 q = Ut$
Тогда решение однородного $a e^{-\lambda t }\cos(\omega t + \alpha) = Re(A e^{\alpha t})$
Частное решение есть $\frac{Ut}{\omega_0^{2}} - 2 \lambda \frac{U}{\omega_0^2}$
Тогда решение уравнения $Re(A e^{\alpha t} + \frac{Ut}{\omega_0^{2}} - 2 \lambda \frac{U}{\omega_0^2})$
Теперь, я хочу получить условие $\dot{q}(0) = \dot{q}(\tau)$
Для этого дифференциирую $A e^{\alpha t} + \frac{Ut}{\omega_0^{2}} - 2 \lambda \frac{U}{\omega_0^2}$
Получу $A \alpha e^{\alpha t} + \frac{U}{\omega_0^{2}} $
И уравнение $A \alpha + \frac{U}{\omega_0^{2}} = A \alpha e^{\alpha \tau} + \frac{U}{\omega_0^{2}}$
ии.. выходит что $e^{\alpha \tau} = 0$
Значит что, значит я где то косячу

[мат-ламер]

Poehavchij
У меня сейчас нет времени решать задачу вашим методом. Вернусь к нему чуть позже. Пока предлагаю для общего развития ознакомиться с методом преобразования Фурье. Основы можно посмотреть в учебнике Колмогорова и Фомина "Элементы теории ..." (глава 8). В книге Баскакова "Радиотехнические цепи и сигналы" он идёт под названием спектрального метода (см. пар. 8.4). Возможно есть лучшие источники по данному методу.

[мат-ламер]

Poehavchij
С вашим методом я не разобрался и он вызывает у меня подозрение. Где вы его прочитали? Смотрите:

Poehavchij в сообщении #1636981 писал(а):

Тогда решение уравнения $Re(A e^{\alpha t} + \frac{Ut}{\omega_0^{2}} - 2 \lambda \frac{U}{\omega_0^2})$

Не проверял, но допустим. Ваше решение совершенно не зависит от $\tau$ . Эта константа показывает период возмущения (правой части уравнения). Уже что-то не так. Теперь вы это решение хотите как-то связать с этой константой. Естественно, кроме нулевого решения вы ничего не получите.

[Poehavchij]

мат-ламер
$\tau$ загнано в $U$

-- 21.04.2024, 13:47 --

Если быть точным $U = \frac{V}{L \tau}$
И да, вероятно мне это тоже надо было оговорить заранее) Ну или выбрать другое обозначение, Y например, а то путаница с напряжением может быть, хотя очевидно что его размерность другая

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1636993 писал(а):

С вашим методом я не разобрался и он вызывает у меня подозрение. Где вы его прочитали?

Вопрос остаётся.

Poehavchij в сообщении #1636996 писал(а):

$\tau$ загнано в $U$

Допустим. Вы получили решение, которое зависит от времени $t$ и константы $\tau$ . Ну, так и всё. Если вы не сделали ошибок (в чём я не уверен, но утверждать не берусь - не проверял), ответ есть и осталось его проверить, хотя бы подставив его в исходное уравнение.

[Poehavchij]

мат-ламер
Ну, этот я выдумал сам так что не удивительно что он у вас вызывает подозрение))

-- 21.04.2024, 15:58 --

мат-ламер
Так у меня вышло то что $\tau = 0$ что бред

[EUgeneUS]

Poehavchij в сообщении #1636996 писал(а):

Если быть точным $U = \frac{V}{L \tau}$
И да, вероятно мне это тоже надо было оговорить заранее) Ну или выбрать другое обозначение, Y например, а то путаница с напряжением может быть, хотя очевидно что его размерность другая

Конечно, нужно было выбрать другое обозначение и указать, чем оно равно. Или таскать весь агрегат $\frac{V}{L \tau}явно.

Более того, дальше тоже какая-то путаница имеется:

Poehavchij в сообщении #1636981 писал(а):

Тогда решение однородного $a e^{-\lambda t }\cos(\omega t + \alpha) = Re(A e^{\alpha t})$

Что такое $\alpha$? Это действительное число? Тогда справа берется действительная часть от действительного числа. Или это комплексное число? Тогда слева тоже комплексное число получается...

В общем, перепишите эти Ваши мысли аккуратнее, следя за обозначениями и аккуратно вводя их. А то телепатию включать лень.

[Poehavchij]

EUgeneUS
Ой, да, прошу прощения
мат-ламер
Ну, уравнение колебаний $\ddot{q} + 2 \lambda \dot{q} + \omega_0^2 q = Yt$, где $Y = \frac{V}{L \tau}$
Тогда решение однородного $ q_1(t) = a e^{-\lambda t }\cos(\omega t + \varphi) = Re(A e^{\alpha t})$, где $\alpha = - \lambda + i \sqrt{\omega_0 ^2 - \lambda^2}$, и где $A$ - некоторое комплексное число, и $\omega = \sqrt{\omega_0 ^2 - \lambda^2}$
Частное решение неоднородного есть $ q_2(t) = \frac{Yt}{\omega_0^{2}} - 2 \lambda \frac{Y}{\omega_0^2}$
Тогда решение уравнения $ q(t) = Re(A e^{\alpha t} + \frac{Yt}{\omega_0^{2}} - 2 \lambda \frac{Y}{\omega_0^2})$
Теперь, я хочу получить условие $\dot{q}(0) = \dot{q}(\tau)$
Для этого дифференциирую $A e^{\alpha t} + \frac{Yt}{\omega_0^{2}} - 2 \lambda \frac{Y}{\omega_0^2}$
Получу $A \alpha e^{\alpha t} + \frac{Y}{\omega_0^{2}} $
$ \dot{q}(0) = A \alpha + \frac{Y}{\omega_0^{2}} $
$\dot{q}(\tau) = A \alpha e^{\alpha \tau} + \frac{Y}{\omega_0^{2}} $
И уравнение $A \alpha + \frac{Y}{\omega_0^{2}} = A \alpha e^{\alpha \tau} + \frac{Y}{\omega_0^{2}}$
ии.. выходит что $e^{\alpha \tau} = 0$
Значит что, значит я где то косячу

[LLeonid3]

Если термин "установившийся ток" равен выражению "ток больше не изменяется", то решение простое:
$i = \frac{V}{R}$

[EUgeneUS]

Poehavchij
Сразу скажу, что этим путём можно получить ответ, но он будет выражен не так, как Вы привели в стартовом посте. Там, скорее всего операторный метод применяли.
Но правильный ответ получить можно.

Ваше дифф. уравнение описывает ситуацию, когда на контур подается линейно растущее напряжение.
Понятно, что "внутри" периода оно верное. И дальше собака порылась на границах периода, где напряжение терпит разрыв.

Вопросы:
1. Чем установившийся режим (про который речь в условиях) отличается от переходного процесса?
2. Может ли в этом контуре быть разрыв
а) в величине заряда от времени (в заряде на конденсаторе - так как весь заряд, суммарно прошедший через контур и есть заряд на конденсаторе).
б) в токе
в) в производной тока по времени

-- 21.04.2024, 16:59 --

LLeonid3 в сообщении #1637020 писал(а):

Если термин "установившийся ток" равен выражению "ток больше не изменяется", то решение простое:
$i = \frac{V}{R}$

-- 21.04.2024, 17:53 --

Poehavchij в сообщении #1637018 писал(а):

И уравнение $A \alpha + \frac{Y}{\omega_0^{2}} = A \alpha e^{\alpha \tau} + \frac{Y}{\omega_0^{2}}$
ии.. выходит что $e^{\alpha \tau} = 0$
Значит что, значит я где то косячу

Вообще-то, выходит, кстати, не $e^{\alpha \tau} = 0$, а $\alpha \tau = 0$, но тоже не стыкуется

[EUgeneUS]

Poehavchij в сообщении #1637018 писал(а):

Частное решение неоднородного есть $ q_2(t) = \frac{Yt}{\omega_0^{2}} - 2 \lambda \frac{Y}{\omega_0^2}$

Тут тоже неверно. Проверьте степени при $\omega_0$

[svv]

Poehavchij в сообщении #1636981 писал(а):

интуиция подсказывает что скачек должен быть на резисторе, конденсатор и индуктивность наверное должны плавно изменять напряжение

Нет, не угадали, хотя у меня там и подсказка была (производная тока). Но аналогичные вопросы 2а,2б,2в уважаемого EUgeneUS приведут Вас к правильному ответу.