Элементарная алгебра для отстающих

[Dedekind]

horda2501
Для начала запишите все выражения, где есть отрицательные степени, в виде дробей, как вот тут

horda2501 в сообщении #1623157 писал(а):

$2^{-1}=\frac{1}{2}$

[horda2501]

В случае первого примера должно быть $(\frac{1}{b+a})\cdot(\frac{1}{a+b})$, так? Однако, если перемножить, то должно быть $\frac{1}{(a+b)^2}$ Где же ошибка?

[Mikhail_K]

horda2501 в сообщении #1623153 писал(а):

Здравствуйте! Никак не могу понять как работать выражениями такого типа.

1) $(b^{-1}+a^{-1})\cdot(a+b)^{-1}$

2) $(x^{-2}-y^{-2}):(x-y)$

В первом выражении ведь одинаковые многочлены и всё должно свестись к $x^{-1}\cdot x^{-1}=x^{-2}$, но в ответах $\frac{1}{ab}$.

Отмечу здесь: $b^{-1}+a^{-1}$ - это не то же самое, что $(a+b)^{-1}$.
Аналогично тому, как $(1/2)\cdot 4$ не равно $1/(2\cdot 4)$. Разный порядок операций.
Или сначала $a$ и $b$ возводятся (по отдельности) в степень $-1$, а затем складываются.
Или сначала складываются, а потом результат возводится в степень $-1$.

Есть правило, что $(ab)^n=a^nb^n$. Например, $(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$.
Но правила $(a+b)^n=a^n+b^n$ нет. Так что $(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2$, а не $a^2+b^2$. Так что $(a+b)^{-1}\neq a^{-1}+b^{-1}$.

-- 20.12.2023, 19:50 --

horda2501 в сообщении #1623162 писал(а):

В случае первого примера должно быть $(\frac{1}{b+a})\cdot(\frac{1}{a+b})$, так?

Не так.
$b^{-1}+a^{-1}=\frac{1}{b}+\frac{1}{a}$, но $(a+b)^{-1}=\frac{1}{a+b}$. Почувствуйте разницу.

[horda2501]

Тут поняла, перепутала с правилом умножения членов с разными основаниями, но одинаковыми показателями степени. Но как же в итоге преобразовывается получившееся выражение $(\frac{1}{b}+\frac{1}{a})\cdot(\frac{1}{a+b})$ ?

[EUgeneUS]

horda2501
Приведите к общему знаменателю выражение в первых скобках.
Может что интересное получится

[horda2501]

Сразу же вопрос по второму выражению. Получается $(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2})\cdot(\frac{1}{x-y})$ Каким образом в ответе получается $-\frac{x+y}{x^2y^2}$ ?

-- 20.12.2023, 20:14 --

Всё, поняла! И в том, и в том выражении нужно было привести первый многочлен к дроби с общим знаменателем! На сегодня хватит. Надеюсь, что смогу остальные упражнения уже сама решить завтра.

-- 20.12.2023, 20:25 --

Ещё вот вопрос, постоянно сталкиваюсь. При преобразовании типа $\frac{p}{q}=-\frac{-p}{q}$ в числителе при наличии нескольких членов перемножается только один член (нужный), так? Вот как во втором примере, то есть. Там в числителе разность квадратов $(y-x)(y+x)$ и нужно для сокращения это преобразование. Соответственно, только первые скобки на -1 умножаются, а вторые остаются? И так с любым abc в числителе? То есть, например, в знаменателе -cba, а в числителе abc. Я выполняю преобразование типа $\frac{p}{q}=-\frac{-p}{q}$ и выбираю какой член сделать отрицательным по необходимости, так? То есть, можно получить в числителе и -cba и -acb, правильно?

[Mikhail_K]

horda2501 в сообщении #1623168 писал(а):

То есть, например, в знаменателе -cba, а в числителе abc. Я выполняю преобразовании типа $\frac{p}{q}=-\frac{-p}{q}$ и выбираю какой член сделать отрицательным по необходимости, так? То есть, можно получить в числителе и -cba и -acb, правильно?

$-p$ - это то же самое, что $(-1)\cdot p$.
Так что да, $-cba=(-1)cba=(-1)acb=-acb$. От перестановки сомножителей произведение не меняется.
Отсюда же следует и то, что $-(-p)=(-1)\cdot(-1)\cdot p=1\cdot p=p$ - на этом и основано "правило", что $\frac{p}{q}=-\frac{-p}{q}$.

Только не перепутайте со случаем, когда вместо $p$ стоит сумма. Например, $\frac{a+b}{q}=-\frac{-(a+b)}{q}=-\frac{-a-b}{q}$. Здесь, как видите, с минусом берутся все слагаемые в числителе, а не только какое-то одно. Можно было бы то же самое записать ещё так:
$\frac{a+b}{q}=(-1)\cdot(-1)\cdot\frac{a+b}{q}=(-1)\cdot\frac{(-1)(a+b)}{q}=-\frac{-a-b}{q}$.

Методический совет: не стоит специально запоминать "правила" типа $\frac{p}{q}=-\frac{-p}{q}$. Их таких слишком много, все не запомните. Лучше запоминайте, на чём они основаны. Тогда и вопросов меньше будет возникать, в каких ситуациях правило как применяется - Вы сможете сами это увидеть, вспомнив обоснование. Если не знаете, на чём основано какое-нибудь правило - посмотрите в учебник, там об этом точно рассказано.

[horda2501]

Такое вот выражение.
$((s^{-1}+t^{-1}):(\frac{1}{s^{-2}}-\frac{1}{t^{-2}}))^{-1}$
Далее у меня получается вот такое вот преобразование, очевидно ошибочное, но не пойму в чём именно.
$(\frac{(s+t)(t^2-s^2)}{(st)(st)^2})^{-1}$
Ответ: $st(s-t)$

Во-первых, я, видимо, неправильно "перевернула" второй множитель в скобках, так как, в таком случае разность квадратов можно было бы сократить (уже что-то близкое к ответу). Далее не ясно почему (s-t), а не наоборот. Нужна помощь В первую очередь вот что с такими делать моментами? В прошлом примере, вроде, получилось правильно, а тут не ясно. $(\frac{1}{s^{-2}}-\frac{1}{t^{-2}})$. Тут нужно перевернуть, так? Будет просто разность квадратов. А потом нужно ещё раз перевернуть, так как на этот член происходит умножение. Но ошибка явно тут. Что я не так понимаю?

[Mikhail_K]

horda2501
Распишите все свои рассуждения очень-очень подробно (формулами, не словами). Тогда можно будет сказать, где ошибка.

[horda2501]

Это не очень удобно из-за громоздкости выражения Ну и основной узкий момент я выделила. Ошибка, скорее всего, в моменте преобразования $(\frac{1}{s^{-2}}-\frac{1}{t^{-2}})$, так как, очевидно что нужным образом сократить не удаётся из-за "неправильного" расположения числителей и знаменателей. Для начала было бы хорошо увидеть правильное преобразование вот этого момента с отрицательными показателями в знаменателе. Возможно, тогда сразу всё встанет на свои места.

[Mikhail_K]

horda2501 в сообщении #1623346 писал(а):

Это не очень удобно из-за громоздкости выражения

А Вы всё-таки попробуйте.

horda2501 в сообщении #1623338 писал(а):

$(\frac{1}{s^{-2}}-\frac{1}{t^{-2}})$. Тут нужно перевернуть, так? Будет просто разность квадратов.

Да, верно.

horda2501 в сообщении #1623338 писал(а):

А потом нужно ещё раз перевернуть, так как на этот член происходит умножение. Но ошибка явно тут. Что я не так понимаю?

Вот это и распишите, на словах непонятно.

[wrest]

horda2501 в сообщении #1623338 писал(а):

Далее у меня получается вот такое вот преобразование, очевидно ошибочное, но не пойму в чём именно.

Ну если бы вы писали сюда выкладки, то возможно поняли бы мы в чем именно у вас пролема. А раз вы не пишете, нам остается только гадать...

[horda2501]

Ну смотрите. По факту у меня в тетради после самого примера вот что:
$((\frac{1}{s}+\frac{1}{t})\cdot(\frac{1}{s^2}-\frac{1}{t^2}))^{-1}$
А далее $(\frac{(s+t)(t^2-s^2)}{(st)(st)^2})^{-1}$
Тут становится очевидным, что я что-то делаю не так ведь
Ответ: $st(s-t)$

То есть, после первого шага я привожу получившиеся в результате работы со степенями и вроде бы правильные выражения к общему знаменателю, но сократить их не получится в согласии с ответом. Ведь общий для выражения показатель -1 лишь перевернет ВСЁ выражение, так? А это ничего не поменяет с точки зрения сокращения. Такая вот ситуация

[Mikhail_K]

horda2501 в сообщении #1623356 писал(а):

Ну смотрите. По факту у меня в тетради после самого примера вот что:
$((\frac{1}{s}+\frac{1}{t})\cdot(\frac{1}{s^2}-\frac{1}{t^2}))^{-1}$

Здесь уже есть ошибка.

И причина в том, что Вы слишком много пытаетесь делать в уме. Расписывать ход решения стоит подробнее.

horda2501 в сообщении #1623338 писал(а):

Тут нужно перевернуть, так? Будет просто разность квадратов.

Запишите, что получается после этого шага. Не спешите сразу "переворачивать во второй раз". Запись должна быть после каждого действия.

[horda2501]

$((\frac{1}{s}+\frac{1}{t}):(\frac{s^2}{1}-\frac{t^2}{1}))^{-1}$
Это минимальный шаг, так? И ошибка может быть только в переворачивании $(\frac{1}{s^{-2}}-\frac{1}{t^{-2}})$, вроде Или нет?