Вопросы по математическим основам квантовой механики

[pppppppo_98]

Geen в сообщении #1622050 писал(а):

Вам, всё же, стоит с математики начать? - линал, матан, диффуры, ТФКП, урматы....

не наш путь - я уже предлагал, отложить пока Км, до твердого владения выше названным - не хочет.... и тему бы лучше переименовать в начала дифференциальных уравнений

[B3LYP]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1622047 писал(а):

Вы ведь ищете выражение для $\psi(x).$ Значит, в правильном ответе для $\psi(x)$ в правой его стороне должно быть выражение, зависящее от $x,$ но не от $\psi(x).$

Да, сорри. Ещё раз заново:


$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2(\psi (x))}{dx^2}+U(x) \psi (x)=E \psi (x)$

$U(x)=0$ при x<0 и x>a; $U(x)=U_0$ при x от 0 до a.
Предположим, $E<U_0$, т.е. изучаем туннельный эффект.

$\frac{d^2(\psi (x))}{dx^2}=-\frac{2m E}{\hbar^2}\psi (x)$

Этому равенству удовлетворяет синус/косинус или экспонента от минус единицы. Итого имеем:

$\psi (x)=A e^{\frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i x}+B e^{- \frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i x}$

Поскольку мы имеем два участка где потенциальная энергия нулевая, можно написать:

$\psi (x)=A e^{\frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i x}+B e^{- \frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i x}$

При x<0

$\psi (x)=C e^{\frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i x}+D e^{- \frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i x}$
При x>a

Примем
$G=U_0-E$
G>0

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2(\psi (x))}{dx^2}+(U(x)-E) \psi (x)=0$

$\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2(\psi (x))}{dx^2}=G \psi (x)$

$\frac{d^2(\psi (x))}{dx^2}=\frac{2m G}{\hbar^2}\psi (x)$

Этому уравнению удовлетворяет обычная, не комплексная экспонента:

$\psi (x)=K e^{\frac{\sqrt{2m G}}{\hbar} x}+L e^{- \frac{\sqrt{2m G}}{\hbar} x}$

И ещё раз мой вопрос: правильно ли я понимаю, что мы не пишем например для x<0

$\psi (x)=A e^{\frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i x}+B e^{- \frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i x}+H \sin(\frac{\sqrt{2m E}}{\hbar} x)$

Потому что всегда можно выразить H через A и B, точнее можно поменять A и B чтобы H стал равен нулю. Всё так?

[Cos(x-pi/2)]

B3LYP в сообщении #1622101 писал(а):

можно поменять A и B чтобы H стал равен нулю. Всё так?

Конечно же так.

Вам тут люди верно пишут про необходимость изучения математики до изучения КМ. Потому что недостаточное знание математики будет на каждом шагу мешать вникать в собственно КМ.

Ваш вопрос про синус - он из математики, притом чуть ли не из школьной; т.е. на такой вопрос Вы можете сами себе уверенно ответить элементарной выкладкой.

Вот как бы я с этим разбирался на вашем месте (все студенты во все времена примерно так же справляются с подобными вопросами):

Прежде всего, чтобы не писать по нескольку раз одно и то же выражение ${\frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}$ обозначим его одной буквой. В учебниках для него обычно выбирают букву $k$

$$k={\frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}$$

Выражение это называют величиной "волнового вектора". Это функция от $E>0$ c положительными значениями: $k>0.$ Размерность величины $k$ есть $[\text{длина}]^{-1}.$

Тогда обсуждаемое Вами равенство

B3LYP в сообщении #1622101 писал(а):

правильно ли я понимаю, что мы не пишем например для x<0

$\psi (x)=A e^{\frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i x}+B e^{- \frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i x}+H \sin(\frac{\sqrt{2m E}}{\hbar} x)$

запишется так:

$\psi (x)=A e^{ikx}+B e^{-ikx}+H \sin(kx).$

Ответ на вопрос виден из известного в математике тождества, которым синус выражается через две экспоненты:

$\sin(kx)=\frac{1}{2i}e^{ikx}-\frac{1}{2i}e^{-ikx}.$

Приведя подобные члены с экспонентами, имеем:

$\psi (x)=\left(A +\frac{H}{2i}\right)\,e^{ikx}+\left(B -\frac{H}{2i}\right)e^{-ikx}.$

На этом этапе решения задачи о туннелировании коэффициенты $A,B,H$ ещё никак не определены - они произвольны, и поэтому пока столь же произвольны появившиеся здесь в круглых скобках их комбинации. Можно обозначить их как новые произвольные коэффициенты со штрихами: $A',B',$ а можно и ещё проще поступить - обозначить их прежними буквами $A,B$ без всяких штрихов

$\left(A +\frac{H}{2i}\right)$ есть новое $A,$

$\left(B -\frac{H}{2i}\right)$ есть новое $B.$

Тогда:

$\psi (x)=A e^{ikx}+B e^{-ikx}.$

(Подробнее)

На вопрос почему вообще имеем здесь такую ситуацию, что можно решение $\psi(x)$ записывать и через экспоненты и через синусы-косинусы в любых сочетаниях, отвечает математическая теория дифференциальных уравнений. Одномерное стационарное у.Ш. это обыкновенное дифф. уравнение второго порядка, притом линейное и однородное.

Математика учит нас, что обыкновенное дифф. уравнение второго порядка, притом линейное и однородное, имеет два (не меньше и не больше) линейно независимых частных решения. Они могут быть выбраны по-разному; обозначим какой-нибудь их выбор так: $\psi_1(x)$ и $\psi_2(x).$ Тогда общее решение $\psi(x)$ есть линейная комбинация линейно независимых частных решений с произвольными коэффициентами $C_1,C_2:$

$$\psi(x)=C_1\psi_1(x)+C_2\psi_2(x).$$

Любые частные решения могут быть выражены линейными комбинациями любых двух линейно независимых решений. Говоря по-простому о смысле понятия "линейная независимость", можно сказать так: никакая функция из набора линейно независимых функций не может быть выражена линейной комбинацией остальных функций из этого набора. И наоборот: функция, линейно зависимая по отношению к данному набору функций, может быть представлена линейной комбинацией линейно независимых функций.

В нашем примере двумя линейно независимымыми функциями являются, в частности, $\cos(kx), \sin(kx).$ Другой выбор: $e^{ikx},e^{-ikx}.$ Какой выбор удобнее для дальнейших вычислений, и как выбрать коэффициенты линейной комбинации? Ответ зависит от "граничных условий", которым следует подчинить решение $\psi(x).$ Условия эти диктуются и математикой, и физическим смыслом задачи.

В задаче о туннелировании по физическому смыслу предпочтительно рассматривать частные решения, отдельно описывающие движение частицы "направо" (в положительном направлении оси $x,$ т.е. с положительным импульсом $p_x>0)$ и "налево" (c $p_x<0).$ Два таких частных решения в областях с равным нулю потенциалом это $e^{ikx}$ - состояние с импульсом $p_x=\hbar k>0$ и $e^{-ikx}$ - состояние с импульсом $p_x=-\hbar k<0.$

Физически разумно считать, что источник частиц находится только в одном месте, например, слева от барьера (где-то при $x \to -\infty).$ Он как бы вне поля зрения, и не описывается уравнением Шредингера, но его наличие именно там (слева от барьера) надо учесть в граничных условиях: амплитуда волны налетающей на барьер слева будет отличной от нуля и произвольной: она определяется "светимостью" источника - плотностью потока вероятности, им создаваемым. При этом амплитуду волны, налетающей на барьер справа налево, надо своими руками приравнять нулю.

А остальные амплитуды предстоит вычислять из оставшихся граничных условий - дальше пойдёт самый хлопотный и важный этап решения задачи: надо "сшить" выражения $\psi,$ а также $\frac{d\psi}{dx},$ на границах областей. Ведь математика здесь требует, чтобы волновая функция и её первая производная были всюду непрерывны, а иначе (если не позаботиться об указанной непрерывности) слагаемое с $\frac{d^2\psi}{dx^2}$ в у.Ш. может выдать на границах областей какие-нибудь бесконечности, и тем самым у. Ш. в этих точках окажется не выполненным.

Заключительный этап задачи (когда до него дойдёт дело) самый познавательный в плане изучения КМ - через получившиеся амплитуды надо будет найти выражения для вероятностей туннелирования частицы и отражения, и проанализирвать, как они зависят от параметров задачи - от энергии частицы $E,$ от высоты и протяжённости барьера, от массы частицы. (В частности, тогда станет понятно, почему в макромире мы обычно не наблюдаем туннельного эффекта).

[B3LYP]

Продолжаю смотреть Дэйва. Возьмём участок где x<0:

$\psi (x)=A e^{\frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i x}+B e^{- \frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i x}$

И далее Дэйв объявляет: поскольку мы знаем что частица движется слева направо, мы можем отбросить B:

$\psi (x)=A e^{\frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i x}$

Я это не понимаю. Вообще, вот возьмём задачу для свободного движения частицы. Стационарное уравнение Шредингера это частный случай нестационарного. Решение для свободного движения будет вроде таким:

$\psi (x,t)=(A e^{\frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i x}+B e^{- \frac{\sqrt{2m E}}{\hbar}i x}) \cdot e^{-\frac{i E t}{\hbar}}$

Я правильно написал? И где тут движение слева направо или наоборот? Где отображение факта, что в прошлом частица была слева, а в будущем будет справа?

[pppppppo_98]

B3LYP в сообщении #1622248 писал(а):

Я это не понимаю. Вообще, вот возьмём задачу для свободного движения частицы. Стационарное уравнение Шредингера это частный случай нестационарного. Решение для свободного движения будет вроде таким

Уважаемый. Вам не обойтись википедией и ютюбом. Я вам об этом уже наверное в третий раз говорю. Итак рассматриваем одномерный случай. Рассматриваем асимптотику - пренебрегаем взаимодействием (силы короткодействующие) . Гамильтониан условно $\hat{H}=\frac{\hat{\vec{p}}^2}{2 m}$. Обращаю внимание на квадрат в операторе импульса. Стало быть две вещи отсюда следует: 1) операторы импульса и энергии коммутируют; 2) одному собственному значению оператора энергии соответствует - 2 собственных значения соответствующим разным знакам (собственное значение вырожден), но одинаковым модулям импульса - движение вправо и влево.( В этом легко убедится - среднее значение оператора импульса - это поток) . Дейв накладывает краевое условие - он хочет рассматривать случай падающей справа частицы, что бы посчитать амплитуду преодоления барьера, если барьер симметричный (часто-густый модельный случай) этого достаточно , второе решение получаестся просто симметричным отображением . В случае несимметричного все будет несколько сложнее появится некоторая унитарная S матрица - и амплитуды прохождения слева и справа в принципе будут отличаться.

Все сказанное можно обобщить на случай размерности больше 1. Вместо лево/право появится сходящаяся волна ( падающая на рассеивающий центр), и расходящаяся (рассеянная)

[DimaM]

B3LYP в сообщении #1622248 писал(а):

И где тут движение слева направо или наоборот? Где отображение факта, что в прошлом частица была слева, а в будущем будет справа?

Слагаемое с $\exp(ikx-i\omega t)$ соответствует плоской монохроматической волне, идущей вправо, а слагаемое с $\exp(ikx+i\omega t)$ -- такой же волне, идущей влево.

[B3LYP]

DimaM в сообщении #1622260 писал(а):

Слагаемое с $\exp(ikx-i\omega t)$ соответствует плоской монохроматической волне, идущей вправо, а слагаемое с $\exp(ikx+i\omega t)$ -- такой же волне, идущей влево.

Да, так вроде чуть понятнее, но по-прежнему не догоняю, где тут движение в целом. Если волновая функция в данном случае - бесконечная синусоида в пространстве, осциллирующая также во времени, то с одной стороны, действительно через промежуток времени $\delta t$ вся функция сдвинется чуть вправо, но также если $\delta t=2 \pi / w$, то ничего не изменится. Где математическое отображения движения в глобальном плане (в прошлом частица была слева, в будущем будет справа)? Или может это пока слишком для меня сложно и можно отложить данную тему на потом?

(Оффтоп)

Извините не нагуглил, как в латехе указать дельту треугольником?

pppppppo_98 в сообщении #1622259 писал(а):

Уважаемый. Вам не обойтись википедией и ютюбом. Я вам об этом уже наверное в третий раз говорю. Итак рассматриваем одномерный случай. Рассматриваем асимптотику - пренебрегаем взаимодействием (силы короткодействующие) . Гамильтониан условно $\hat{H}=\frac{\hat{\vec{p}}^2}{2 m}$. Обращаю внимание на квадрат в операторе импульса. Стало быть две вещи отсюда следует: 1) операторы импульса и энергии коммутируют; 2) одному собственному значению оператора энергии соответствует - 2 собственных значения соответствующим разным знакам (собственное значение вырожден), но одинаковым модулям импульса - движение вправо и влево.( В этом легко убедится - среднее значение оператора импульса - это поток) . Дейв накладывает краевое условие - он хочет рассматривать случай падающей справа частицы, что бы посчитать амплитуду преодоления барьера, если барьер симметричный (часто-густый модельный случай) этого достаточно , второе решение получаестся просто симметричным отображением .

Подскажите, где на ютубе посмотреть, как определить что операторы импульса и энергии коммутируют и откуда берётся показанное вами соотношение. У Дэйва этого нет.

[пианист]

(Оффтоп)

B3LYP в сообщении #1622280 писал(а):

как в латехе указать дельту треугольником?

Такую $\Delta$?

\Delta

[Dedekind]

B3LYP в сообщении #1622280 писал(а):

Подскажите, где на ютубе посмотреть, как определить что операторы импульса и энергии коммутируют.

А что тут определять? Оператор кинетической энергии - это дважды примененный оператор импульса (с точностью до множителя). Соответственно, не имеет значения, в каком порядке их применять: сначала два раза применить оператор импульса от оператора кинетической энергии, а потом собственно оператор импульса, или сначала собственно оператор импульса, а потом два раза его же от оператора кинетической энергии.
Посмотрите вот эти курсы, тут, как мне кажется, разжевывают подробнее.
https://www.youtube.com/playlist?list=P ... vryrSEVLPr
https://www.youtube.com/playlist?list=P ... VBOlk-4lYx

[pppppppo_98]

Походу ветку надо переименовывать ... Вычеркнуть квантовой механики, и оставить математические основы.


ЗЫ

Проверить что оператор энергии в представленной мной форме коммутирует с оператором импульса - пускай это будет вам домашним заданием ( обычно его выполняют правда на 1 курсе).. где в Ютюбе этот факт узнать я вам не подскажу ибо не знаю- квантовую механику изучал по книге бытия нумер 3.

[DimaM]

B3LYP в сообщении #1622280 писал(а):

Или может это пока слишком для меня сложно и можно отложить данную тему на потом?

Очень на то похоже. Может, вам про волны чего почитать для начала (например, третий том БКФ)?
У меня в прошлом сообщении ошибка вкралась:

DimaM в сообщении #1622260 писал(а):

слагаемое с $\exp(ikx+i\omega t)$

Правильно будет "слагаемое с $\exp(-ikx-i\omega t)$".

[B3LYP]

Если мы имеем такое УШ

$\psi (x,t)=C e^{-i k x-iwt}$

То правильно ли я понял, что скорость частицы будет w/k?
Я не помню уравнения Максвелла; может быть тут надо вспомнить их, поскольку в них хотя бы есть скорость света?

[pppppppo_98]

B3LYP в сообщении #1622497 писал(а):

То правильно ли я понял, что скорость частицы будет w/k?

Все что можно сказать об этом фазовая скорость волны по вашей фразе $v=\frac{\omega}{k}$.

[Cos(x-pi/2)]

B3LYP в сообщении #1622497 писал(а):

правильно ли я понял, что скорость частицы будет w/k?
Я не помню уравнения Максвелла; может быть тут надо вспомнить их, поскольку в них хотя бы есть скорость света?

Неправильно поняли. И уравнения Максвелла со скоростью света не имеют отношения к нерелятивистской квантовой механике.

B3LYP, чтобы в приведённом Вами примере волновой функции частицы разобраться со скоростью частицы, ответьте себе последовательно на три вопроса.

1. Пусть в классической механике в задаче об одномерном движении частицы известна масса частицы $m$ и её импульс $p_x.$ (Вернее, $p_x$ это проекция импульса на координаную ось $x,$ т.е. это число со знаком: если частица движется в направлении увеличения координаты $x,$ то $p_x>0,$ а при движении в противоположном направлении будет $p_x<0.)$

Вопрос: как в классической механике скорость частицы $v_x$ выражается через $p_x$ и $m?$


2. У нормированной волновой функции $\psi$ должен быть нормировочный множитель $C.$ В Вашем примере волновая функция $\psi$ с нормировочным множителем есть

$$\psi(x,t)=Ce^{-ikx-i\omega t},$$

так что

$$\int \psi^{*}\psi\,dx=1.$$

(Оставим на потом нюансы типа того, как в данном примере выбрать область интегрирования или доопределить волновую функцию, чтобы интеграл сходился. Пока просто предполагайте, что указанное нормировочное равенство заведомо выполняется.)

Вопрос: какой здесь получится ответ для среднего значения импульса $\langle p_x \rangle,$ которое Вы легко можете вычислить аналогично тому, как Вы раньше уже вычисляли средний импульс (с другой волновой функцией) в этом сообщении?


3. Полученным таким образом выражением $\langle p_x \rangle$ воспользуйтесь, чтобы написать выражение для средней скорости $\langle v_x \rangle$ частицы по тому же алгоритму, как в пункте 1. (Почему здесь можно пользоваться формулой классической механики, связывающей скорость, импульс и массу частицы, поймёте когда-нибудь потом, когда убедитесь, что в КМ действует принцип соответствия между КМ и классической механикой. Одним из проявлений принципа соответствия является тот факт, что для квантовомеханических средних величин выполняются те же равенства, что и для величин в классической механике.)

Итак, вот третий вопрос: какое же здесь получается выражение для $\langle v_x \rangle ?$

[B3LYP]

Ок.

$$\psi(x,t)=Ce^{-ikx-i\omega t}$$

$$\psi(x)=Ce^{-ikx}$$

$P= \int_{-\infty}^{\infty}((Ce^{-ikx})^*(-i \hbar) \frac{d(Ce^{-ikx})}{dx}dx)= \int_{-\infty}^{\infty}((Ce^{-ikx})^*(-i \hbar) (-ik Ce^{-ikx})dx)= -\hbar C^2 \int_{-\infty}^{\infty}((e^{-ikx})^* e^{-ikx}dx)$

Пока правильно?
Подскажите, как попроще представить первую экспоненту в сопряжённом видео, есть ли для этого простая формула, или надо выписывать двучлен (а после перемножения - четырёхчлен).
Как в моём интеграле корректно избавляться от бесконечностей - я тоже пока не понимаю.