2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.
 
 Уравнение в частных производных
Сообщение25.11.2008, 10:09 
Здравствуйте.
Помогите разобраться с задачей...

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial V} {\partial t}=9\frac {\partial^2 V} {\partial x^2}+2V-1+2t+(4{t-t^3}){e^{2t}{x}},\\
V|_{t=0}=-5x+2sin(\frac {5\pi{x}} 4),\\
V|_{x=0}=-t , {\frac {\partial V} {\partial x}}|_{x=2}=-5e^{2t}\end{array} \right. $$

Для начала вроде бы нужно сделать замену экспоненциальную $$V=e^{\lambda{x}+\mu{t}}\cdot{U}$$,только я не понимаю какую точно и ,то есть от чего мы тогда избавимся,от $2V$ ?

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 10:20 
А каким способом предполагалось решать?

Если методом Фурье, то на $2V$ вообще не надо обращать внимания -- какая разница, появится это слагаемое в соответствующей задаче Штурма-Лиувилля или нет.

А вот от чего точно надо избавляться, так это от неоднородностей в граничных условиях. Т.е. надо сочинить функцию (чем проще, тем лучше), от которой требуется лишь одно -- выполнение граничных условий. И вычесть эту функцию из искомой. (Соответственно, в дифференциальном уравнении придётся пересчитать неоднородность, но это на свойства задачи принципиально не влияет.)

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 10:26 
Да,методом Фурье.
Нам говорили,что нужно делать такую экспоненциальную замену,если есть переменные $V,V_X$.
А избавляться от неоднородности в краевых условиях-это я знаю,но сказали что потом...Вот я и не пойму,получается можно и не делать ее..

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 10:31 
Чтобы избавиться от $V$ сделайте замену $V(t,x)=u(t,x)e^{\alpha t}$ и выберите $\alpha$ из условия, чтобы не было соответствующего слагаемого.

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 10:44 
что, кстати, эквивалентно моей рекомендации: добавление экспоненты к решению сводится к соответствующему сдвигу собственных чисел...

 
 
 
 Re: Уравнение в частных производных
Сообщение25.11.2008, 10:55 
Вот я сделала такую замену $$V=u(t,x)e^{2t}$$

Получилось такое уравнение(как я понимаю надо было так изменить начальные условия $?$)

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial u} {\partial t}=9\frac {\partial^2 u} {\partial x^2}+e^{-2t}(2t-1)+(4{t-t^3})x,\\
u|_{t=0}=-5x+2sin(\frac {5\pi{x}} 4),\\
u|_{x=0}=-te^{-2t} , {\frac {\partial u} {\partial x}}|_{x=2}=-5\end{array} \right. $$

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 10:59 
только перекиньте экспоненту в числитель (в знаменателе она неприлична) и исправьте граничное условие в нуле

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 11:10 
Теперь избавляемся от неоднородности

$1.U=U(t,x)$

$U|_{x=0}=-t$
$U|_{x=2}=-5$

$U(x,t)=a(t)x+b(t)$

Получилось ,что $$U(t,x)=(\frac{t-5} 2)x-t$$

То есть замена: $$u=U+(\frac{t-5} 2)x-t$$ $?$

Конечно с этими заменами все буквы перепутались...

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 11:21 
господь с Вами. Во-первых, Вы так и не исправили левое граничное условие. Во-вторых, испортили правое (там была производная).

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 11:31 
ewert писал(а):
Во-вторых, испортили правое (там была производная).

Не поняла..

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 11:33 
Да просто внимательнее посмотрите на условия задачи.

(про экспоненту я не это имел в виду, а всего лишь что ${1\over e^{2t}}=e^{-2t}$)

 
 
 
 Re: Уравнение в частных производных
Сообщение25.11.2008, 11:39 
С учетом замены $$V=u(x,t)e^{2t
}$$$$\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial u} {\partial t}=9\frac {\partial^2 u} {\partial x^2}+e^{-2t}(2t-1)+(4{t-t^3})x,\\
u|_{t=0}=-5x+2sin(\frac {5\pi{x}} 4),\\
u|_{x=0}=-te^{-2t} , {\frac {\partial u} {\partial x}}|_{x=2}=-5\end{array} \right. $$

Теперь правильно?

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 11:41 
Да.

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 11:46 
Теперь избавляемся от неоднородности

$1.U=U(t,x)$

$U|_{x=0}=-te^{-2t}$
$$\frac {\partial U} {\partial x}|_{x=2}=-5$$

$U(x,t)=a(t)x+b(t)$

Получилось ,что $$U(t,x)=-5x-te^{-2t}$$

То есть : $$u=v-5x-te^{-2t}$$
(Извиняюсь за такую невнимательность..)

 
 
 
 
Сообщение25.11.2008, 11:56 
а кто производную справа брать будет?

 
 
 [ Сообщений: 115 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group