Берем пустое множество.
1)Оно состоит из натуральных чисел?
Это вопрос. О нем говорят, что оно "не содержит" ни одного элемента, но, как я понимаю, полагается, что оно "состоит" из элементов -- причем любой природы, -- то есть в том числе и из натуральных чисел.
Вот пустая тарелка. Можно сказать, что в ней нет орехов, а можно сказать, что в ней нет яблок. Или, если в ней только яблоки, можно сказать, что в ней нет орехов.
С точки зрения иррациональных чисел множество рациональных чисел это пустое множество иррациональных чисел.
У Вас есть три рубля, у меня ноль рублей, то есть у Вас непустое множество рублей, а у меня -- пустое множество рублей.
Я отвечу так: пустое множество
состоит из натуральных чисел, но при этом
не содержит ни одного натурального числа. Правильно? Или вместо слова "состоит" следует употреблять какое-то другое слово?
2)Оно ограничено сверху?
Если оно
состоит из всех натуральных чисел, то есть из
, то оно не ограничено сверху, но ограничено снизу. Если оно
состоит из элементов ограниченного сверху множества натуральных чисел, то оно ограничено и сверху, и снизу.
Но в том отношении, что оно
не содержит ни одного числа (или можно сказать: ни одно число ему
не принадлежит), не определено, ограничено оно сверху или нет, потому что (см. Фихтенгольц,
https://studfile.net/preview/4422204/page:4/, стр 26) множество
ограничено сверху, если для любого его элемента
существует такое число
, что
, а этого "любого его элемента" просто нет, и говорить не о чем.
3)Оно содержит вместе с каждым числом все меньшие?
Оно
не содержит ни одного числа. Но вот если бы Вы спросили: "
Состоит ли оно из всех элементов такого множества чисел, которое вместе с каждым числом содержит все меньшие?" -- я бы ответил, что
состоит, потому что оно
состоит из любого множества чисел.
Это как с красными крокодилами в этой комнате: на них можно вешать всех собак (то есть можно клеветать на отсутствующих).