2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... 14  След.
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение04.10.2023, 16:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9152
Цюрих
Да, пардон, не посмотрел. Ну тогда по процитированному моему определению, независимо от того, согласен ли с ним Geen:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение04.10.2023, 16:44 


21/04/19
1232
mihaild в сообщении #1612410 писал(а):
Вот как раз по определению Geen.

Вы имеете в виду это:

Geen в сообщении #1611516 писал(а):
Мне как-то больше нравится "равномощно собственному подмножеству" :D

?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение04.10.2023, 17:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9152
Цюрих
Нет, я имею в виду процитированное Вами и приписанное Geen
mihaild в сообщении #1611509 писал(а):
Отрезок натурального ряда - это множество, состоящее из натуральных чисел, ограниченное сверху и вместе с каждым числом содержащее все меньшие

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение04.10.2023, 17:11 


21/04/19
1232
Да, конечно, это не могло быть "равномощно собственному подмножеству".

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение04.10.2023, 22:03 


21/04/19
1232
mihaild в сообщении #1612426 писал(а):
Нет, я имею в виду процитированное Вами и приписанное Geen
mihaild в сообщении #1611509 писал(а):
Отрезок натурального ряда - это множество, состоящее из натуральных чисел, ограниченное сверху и вместе с каждым числом содержащее все меньшие

С этим определением какая-то мистика: я хорошо помню, что цитировал Вас (из сообщения #1611509), а в цитате стоит Geen!

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение04.10.2023, 22:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9152
Цюрих
Vladimir Pliassov в сообщении #1612479 писал(а):
С этим определением какая-то мистика: я хорошо помню, что цитировал Вас
Это происходит если выделить текст в одном сообщении, а нажать кнопку "вставка" в другом. Можно даже вот такой эффект получить:
mihaild в сообщении #1612426 писал(а):
Как подсвечивать синтаксис?

Как вставлять картинки

(и я тег цитаты не правил, просто выделил текст и нажал "вставка")

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение05.10.2023, 09:03 


21/04/19
1232
1.

mihaild в сообщении #1612483 писал(а):
Это происходит если выделить текст в одном сообщении, а нажать кнопку "вставка" в другом.

Правда, я попробовал -- получается! Значит, можно приписать что угодно кому угодно. Теперь придется следить еще и за этим!

2.

Итак, имеем два определения отрезка натурального ряда:

Цитата:
Отрезком $N$ натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа $a$, т. е $N =\{x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$.

https://kto.guru/matematika/802-teoreti ... hisla.html

и

mihaild в сообщении #1611509 писал(а):
Отрезок натурального ряда - это множество, состоящее из натуральных чисел, ограниченное сверху и вместе с каждым числом содержащее все меньшие.

Вы утверждаете, что

mihaild в сообщении #1612019 писал(а):
Если пользоваться вот этим определением: ...
Цитата:
Отрезком $N$ натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа $a$, т. е $N =\{x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$

То пустое множество не является отрезком натурального ряда. Потому что если раскрыть такую запись чуть подробнее, то получится "Множество $N$ является отрезком натурального ряда тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число $a$, что $N =\{x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$". И для пустого множества такого числа не существует

Вы также утверждаете, что при втором определении

mihaild в сообщении #1611509 писал(а):
Пустое множество считается отрезком натурального ряда.

Чем же они отличаются? Тем, что в первом определении в явном виде присутствует точная верхняя граница $a$ множества $N$, а во втором она в явном виде отсутствует? Но, по-моему, она, хотя и в неявном виде, но присутствует в нем, поскольку в нем сказано, что множество $N$ (обозначим его так же как в первом определении) ограничено сверху, что означает, что оно имеет точную верхнюю границу (см. Фихтенгольц, https://studfile.net/preview/4422204/page:4/, стр 27). Я думаю, что эта граница может быть только натуральным числом и принадлежит $N$, являясь его наибольшим элементом (это надо доказать, но с доказательством у меня возникли проблемы, об этом позже), таким образом, она представляет собой то же самое, что и $a$ из первого определения.

Или различие этих определений в чем-то другом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение05.10.2023, 09:25 


22/10/20
1194
Vladimir Pliassov, так Вы проверьте, что по второму определению пустое множество является отрезком натурального ряда.

Берем пустое множество.

1)Оно состоит из натуральных чисел?
2)Оно ограничено сверху?
3)Оно содержит вместе с каждым числом все меньшие?

Ответьте на эти вопросы и, желательно, подробно и строго. Я имею в виду, что очень желательно в ответе явно прописать, что означают все эти словесные обороты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение05.10.2023, 10:57 


21/04/19
1232
EminentVictorians в сообщении #1612514 писал(а):
Берем пустое множество.

1)Оно состоит из натуральных чисел?

Это вопрос. О нем говорят, что оно "не содержит" ни одного элемента, но, как я понимаю, полагается, что оно "состоит" из элементов -- причем любой природы, -- то есть в том числе и из натуральных чисел.

Вот пустая тарелка. Можно сказать, что в ней нет орехов, а можно сказать, что в ней нет яблок. Или, если в ней только яблоки, можно сказать, что в ней нет орехов.

С точки зрения иррациональных чисел множество рациональных чисел это пустое множество иррациональных чисел.

У Вас есть три рубля, у меня ноль рублей, то есть у Вас непустое множество рублей, а у меня -- пустое множество рублей.

Я отвечу так: пустое множество состоит из натуральных чисел, но при этом не содержит ни одного натурального числа. Правильно? Или вместо слова "состоит" следует употреблять какое-то другое слово?

EminentVictorians в сообщении #1612514 писал(а):
2)Оно ограничено сверху?

Если оно состоит из всех натуральных чисел, то есть из $\mathbb N$, то оно не ограничено сверху, но ограничено снизу. Если оно состоит из элементов ограниченного сверху множества натуральных чисел, то оно ограничено и сверху, и снизу.

Но в том отношении, что оно не содержит ни одного числа (или можно сказать: ни одно число ему не принадлежит), не определено, ограничено оно сверху или нет, потому что (см. Фихтенгольц, https://studfile.net/preview/4422204/page:4/, стр 26) множество $\{x\}$ ограничено сверху, если для любого его элемента $x$ существует такое число $M$, что $x\leqslant M$, а этого "любого его элемента" просто нет, и говорить не о чем.

EminentVictorians в сообщении #1612514 писал(а):
3)Оно содержит вместе с каждым числом все меньшие?

Оно не содержит ни одного числа. Но вот если бы Вы спросили: "Состоит ли оно из всех элементов такого множества чисел, которое вместе с каждым числом содержит все меньшие?" -- я бы ответил, что состоит, потому что оно состоит из любого множества чисел.

Это как с красными крокодилами в этой комнате: на них можно вешать всех собак (то есть можно клеветать на отсутствующих).

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение05.10.2023, 11:16 


22/10/20
1194
Vladimir Pliassov в сообщении #1612521 писал(а):
Я отвечу так: пустое множество состоит из натуральных чисел, но при этом не содержит ни одного натурального числа. Правильно?
Правильно. Но вместо рассуждений про тарелки и пустое множество иррациональных чисел, достаточно было просто сказать, что оборот "множество $A$ состоит из элементов множества $B$" при переводе на строгий математический язык расшифровывается как $A \subset B$. В нашем случае $\varnothing \subset \mathbb N$, т.е. ответ "да, состоит".

Vladimir Pliassov в сообщении #1612521 писал(а):
Если оно состоит из всех натуральных чисел, то есть из $\mathbb N$, то оно не ограничено сверху,
"Оно" - это пустое множество. Вы уверены, что пустое множество состоит из всех натуральных чисел?

Vladimir Pliassov в сообщении #1612521 писал(а):
Если оно состоит из элементов ограниченного сверху множества натуральных чисел
Множество натуральных чисел ограничено сверху? Если что, когда говорят "множество натуральных чисел", имеют в виду вполне конкретное бесконечное множество: $\mathbb N = \{1, 2, 3, ...\}$. Если Вы хотите рассмотреть не $\mathbb N$, а какое-то его подмножество, так и говорите "подмножество множества натуральных чисел". Так понятнее будет.

Vladimir Pliassov в сообщении #1612521 писал(а):
Но вот если бы Вы спросили: "Состоит ли оно из всех элементов такого множества чисел, которое вместе с каждым числом содержит все меньшие?" -- я бы ответил, что состоит, потому что оно состоит из любого множества чисел.
Вы в каждой второй строчке про это "состоит" пишете. "Состоит" = "является подмножеством". Вот и все.

Vladimir Pliassov в сообщении #1612521 писал(а):
Оно не содержит ни одного числа.
Да. Но я так и не понял, оно содержит вместе с каждым числом все меньшие или нет?

В общем, пока Вы ответили только на первый вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение05.10.2023, 11:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
К этому надо привыкнуть. Каждый элемент пустого множества - это натуральное число, но также это человек с двумя головами, который побывал на Луне, и уже умер, но ещё не родился. Это называется "vacuous truth".

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение05.10.2023, 12:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
Vladimir Pliassov в сообщении #1612521 писал(а):
а этого "любого его элемента" просто нет, и говорить не о чем.

Такое "рассуждение" в корне не верно. И главное, вместо ответа (вполне конкретного - истина или ложь) на вопрос, начинается "размахивание руками".

-- 05.10.2023, 12:03 --

Кстати, иногда, как "определение" пустого множества, можно встретить $\varnothing=\{x|x\ne x\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение05.10.2023, 13:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10855
EminentVictorians в сообщении #1612525 писал(а):
В нашем случае $\varnothing \subset \mathbb N$, т.е. ответ "да, состоит".

Добавлю, что дело тут не во множествах, а в логическом законе Ex falso quodlibet: $\bot \to p$ - из ложного утверждения следует что угодно. В данном случае ложное утверждение $\bot$ для любого $x$ формулируется как $x \in \varnothing$, а следующее из него утверждение $p$ для того же $x$ - это $x \in \mathbb{N}$. Итого: $\forall x~x \in \varnothing \to x \in \mathbb{N}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение05.10.2023, 14:42 


21/04/19
1232
epros в сообщении #1612537 писал(а):
Добавлю, что дело тут не во множествах, а в логическом законе Ex falso quodlibet: $\bot \to p$ - из ложного утверждения следует что угодно. В данном случае ложное утверждение $\bot$ для любого $x$ формулируется как $x \in \varnothing$, а следующее из него утверждение $p$ для того же $x$ - это $x \in \mathbb{N}$. Итого: $\forall x~x \in \varnothing \to x \in \mathbb{N}$.

Опираясь на этот закон, можно очень легко решить эту задачу:

EminentVictorians в сообщении #1612514 писал(а):
Берем пустое множество.

1)Оно состоит из натуральных чисел?
2)Оно ограничено сверху?
3)Оно содержит вместе с каждым числом все меньшие?

Берем произвольные объекты $x, y, z, \ldots \; ,$ ложно утверждаем что они суть элементы пустого множества, из этого по закону Ex falso quodlibet делаем вывод: да на все три вопроса.

Но из того же ложного утверждения по закону Ex falso quodlibet можем сделать и другие выводы: нет на все три вопроса или на некоторые да, на некоторые нет. Или я ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]
Сообщение05.10.2023, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9152
Цюрих
Vladimir Pliassov в сообщении #1612552 писал(а):
Но из того же ложного утверждения по закону Ex falso quodlibet можем сделать и другие выводы: нет на все три вопроса или на некоторые да, на некоторые нет
Не можем.
Все вопросы имеют примерно вид "верно ли, что для произвольного $x \in \varnothing$ выполнено $P(x)$". Первый и третий в точности такой: в первом берем $P(x) := x \in \mathbb N$, в третьем $P(x) := \forall y: y \leq x \rightarrow y \in \varnothing$. В третьем сверху еще один квантор существования - "верно ли, что существует $a \in \mathbb N$, такой что для произвольного $x \in \varnothing$ выполнено $P(x, a)$.
На абсолютно все вопросы такого вида ответ положительный.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 207 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... 14  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group