Элементарная алгебра для отстающих

[electron2501]

Здравствуйте! Та задача была помечена как "сложная". Я их пока в очень редких случаях трогаю, только для задела на будущее, так сказать. Чтобы постепенно начинать понимать уровень ученика "отличника". В целом на данном этапе цель достигнуть уровня "хорошист". Для этого нужно усваивать хотя бы базовые понятия, как известно. Вот с базовым непониманием я сейчас столкнулась. Прошу помочь и не смеяться, ведь все когда-то начинали, а также не забывать, что способности у всех тоже разные Заранее благодарю!

Итак, тема параграфа "$y=f(x)$". На данном этапе это кажется немного запутанным. Совсем простые упражнения я решила. Там где нужно брать некое значение аргумента и подставлять его в заданное значение функции, находя её, собственно. Но далее пошли усложнённые упражнения, где обнаружились недостатки понимания происходящего. На примере.

Задание: "Дана функция $y=f(x)$, где $f(x)=x^2$. При каких значениях х выполняется равенство: д) f(x)=8x; e) f(3x)=225"

Как это понимать? В д), например, ответ 0 и 8, а в е) -5 и 5.

[Sinoid]

electron2501 в сообщении #1609363 писал(а):

f(x)=8x

Вместо $f(x)$ подставляете $x^2$ и решаете полученное уравнение. Всё.

[gefest_md]

electron2501 в сообщении #1609363 писал(а):

Дана функция $y=f(x)$, где $f(x)=x^2$.

Если проходили множества, то эту функцию можно задать и как множество упорядоченных пар так.
$f=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}\times \mathbb{R}\mid y=x^2\right\}$
Это множество имеет свойство, что каждому $x$ соответсвует ровно один $y.$ Поэтому это множество имеет особое название - функция. Поэтому можно использовать запись $y=f(x),$ $y$ однозначен.

С другой стороны множество
$P=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}\mid y^2=x\right\}$
не является функцией, потому что некоторому $x$ соответсвуют несколько $y.$ Например, пары $(4,2)$ и $(4,-2)$ обе принадлежат множеству $P.$

Функции можно задавать на разных множествах. Например, множество пар
$\left\{(1,1),(2,4),(3,9)\right\}$
это тоже функция $x^2$, но заданная на множестве определения $\{1,2,3\}.$

$f(a)=8a$ означает тогда, что пара $(a,8a)$ принадлежит множеству $f.$

[electron2501]

Не понимаю. В первом примере ещё видится смысл. А во втором как? Тут же тогда должно быть $3x\cdotx^2=225$, чтобы получился ответ 5. А как же вариант ответа -5?

Хм, множества был параграф в предыдущем учебнике. Я его плохо помню. Нужно будет повторить. А есть ещё какие-либо объяснения таких примеров или только через множества можно понять?

[gefest_md]

electron2501 в сообщении #1609431 писал(а):

Тут же тогда должно быть $3x\cdotx^2=225$,

$f(3b)=225$ означает, что пара $(3b,225)$ принадлежит множеству $f.$ По определению множества $f$ должно быть $225=(3b)^2.$

electron2501 в сообщении #1609431 писал(а):

А есть ещё какие-либо объяснения таких примеров или только через множества можно понять?

В строгих учебниках функции определяются через множества.

[wrest]

electron2501 в сообщении #1609431 писал(а):

А во втором как? Тут же тогда должно быть $3x\cdotx^2=225$

Должно быть $(3x)^2=225$
Можно думать в два шага
1. $t^2=225 \to t=\pm 15$
2. $t=3x \to \pm 15 = 3x \to x=\pm 5$

[electron2501]

Хм... мне перестали быть хоть сколько-нибудь понятны объяснения... Это всегда означает, что пропущено нечто базовое. Видимо, это тот самый параграф о множествах. Я его толком не изучала, так как эта серия учебников структурирована так, что в них в конце отдельной главой идут темы по типу "это мостик между математикой и информатикой". Посчитала, что нужно пока на математике как таковой остановиться. Теперь вот стало очевидным, что это было неправильное решение. Вернусь к этому параграфу и разберу его прежде чем продолжать дальше

[Dedekind]

Да не нужны тут никакие множества. Проще думать так. Функция - это ящик со входом и выходом. Она берет всё, что мы дали ей на вход, производит с этим некоторые операции и выплёвывает результат на выходе.
Например, в записи $f(x)=x^2$ символ $x$ символизирует то, что подаётся на вход, а возведение в квадрат - это та операция, которую производит ящик над входом, чтобы получить выход.
Тогда запись $f(3x)$ означает, что мы подаём на вход функции не $x$, а $3x$. Но это ничего не меняет, операция остаётся все той же: возведение в квадрат. То есть, $f(3x)=(3x)^2$. Как бы заменяем в исходном выражении функции все места, где есть $x$, на новый вход $3x$.
А потом просто нужно приравнять это тому, что указано в задании $(3x)^2=225$ и решить получившееся уравнение.

[gefest_md]

Dedekind в сообщении #1609538 писал(а):

Функция - это ящик со входом и выходом. Она берет всё, что мы дали ей на вход, производит с этим некоторые операции и выплёвывает результат на выходе.

Нужно точно описать этот ящик. Из расплывчатого определения ящика не сразу понятно существование $f(x)$ (ящик может сломаться) и его единственность (ящик может дать подряд два значения на выходе для одного входа). Учащемуся приходится представить себе правильно работающую машину.

[electron2501]

Dedekind, очень хорошее и понятное объяснение Мне нравятся образность и простота в объяснении сложных вещей. Но как показывает практика, такие объяснения не всегда лучшее решение в долгосрочной перспективе. Поэтому пройду тот пропущенный параграф с множествами и попытаюсь понять объяснение предложенное Гефестом и Врестом, так как я там не поняла ни слова, а это уже совсем серьёзное упущение, нельзя так оставлять.

[electron2501]

Хм, я прочла от и до тот пропущенный параграф и выполнила задания к нему. Он очень простой и общий, с элементарными примерами вроде "множество прямоугольников принадлежит множеству четырёхугольников" и подобное. В текущем учебнике 7 класса это понятие вообще не упоминается ни разу. Поэтому вряд ли ученик должен рассуждать в этих терминах на данном этапе. Рассуждения такого типа как предложенные выше явно не уровня учащегося 7 класса, по крайней мере обычного "хорошиста". Так что попробую с аналогией "ящиков" пока что. Так же уважаемый Гефест упомянул, что "в строгих учебниках функции определяются через множества". В данном учебнике (а он весьма неплохой, по нему приятно заниматься, видно даже мне что хорошо продуман более-менее) определения функции как такового нет вообще (ну так чтобы курсивом или чёрными буквами). Я сразу на это обратила внимание. Там в нужный момент только говориться, что, мол, "функция это выражение одной переменной через другую". Так я это пока для себя и запомнила.

[gefest_md]

electron2501 в сообщении #1609659 писал(а):

В текущем учебнике 7 класса это понятие вообще не упоминается ни разу.

Оно есть в учебнике Макарычев и др., Алгебра 7 класс, углубленный уровень. В нём рассматриваются обычные множества и подмножества. Поэтому дальше функция определяется как определённое соответствие между множествами. Соответствие это множество упорядоченных пар, как было выше $P.$ А функция это особое соответствие.

[electron2501]

Учебник по которому я занимаюсь авторства Мордковича и идёт без классификации "углублённый уровень". Конечно, если вдумываться, то в нём есть некоторые "мутные" места как следствие упрощения (то же отсутствие определения функции), но чтобы настолько... Процитированные вами определения явно подразумевают более высокий уровень понимания. Даже не знаю что делать теперь. Конечно, хочется понимать всё как можно лучше, однако, с учётом того, что у меня и на базовом уровне постоянные трудности, возможно, не стоит спешить пока. (Я не хочу думать, что эти трудности из-за того, что обычные учебники изначально не для ускорения понимания).

[gefest_md]

electron2501 в сообщении #1609712 писал(а):

Учебник по которому я занимаюсь авторства Мордковича и идёт без классификации "углублённый уровень".

Есть ещё учебник для 7 класса Мордковича, Николаева. Он углублённого уровня. Но в нём тоже нет темы про множества; функция $x^2$ рассматривается без понятия множества. Строгое определение функции вводится в учебнике для 9 класса. Хочу сказать, что если углублённый уровень, то ещё не значит, что там про множества.

[Dedekind]

electron2501
Забейте вообще на эти множества. Пока не дойдете до 11 класса (хоть по углубленному, хоть не по углубленному) - не нужно оно Вам. Я имею в виду определение функции через множества. С самим понятием множества стоит ознакомиться для общего развития, но не более.