Произвольное вещественное число

[VladTs]

Добрый день! Прошу вас о помощи, т.к. чем дальше, тем больше я запутываюсь.

Вот часто можно встретить формулировку вроде "пусть икс - произвольное вещественное число из отрезка от $0$ до $1$". И я все больше запутываюсь, а можем ли мы за конечное число шагов выбрать произвольное вещественное число? Ведь обычно мы вещественные числа задаем в виде какого-то выражения, например суммы ряда, формулы, интеграла, итд.

Я точно не уверен, но интуиция мне подсказывает, что множество выражений, которые мы можем явно записать, и в которых стоят только алгебраические числа, а также те трансцендентные, которые мы уже ранее определили с помощью выражения через алгебраические (например пи можно задать в виде суммы ряда с рациональными членами $4\cdot(1-1/3+1/5-...)$, т.е. не через трансцендентные числа ), такое множество счетно (поправьте меня если я не прав). А отрезок $[0,1]$ имеет мощность континуума.

И если так, то что вообще значит фраза "выберем произвольное вещественное $x$ на отрезке $[0,1]$" ?

-- 02.08.2023, 07:13 --

Понятно, что множество сходящихся рядов вида $a_1+a_2+a_3+....$, где $a_i$ - рациональные, имеет мощность континуума. Но чтобы задать такой ряд, нам потребуется бесконечное количество шагов (не хочется аксиомой выбора пользоваться, т.к. надо же явный результат иметь, а не утверждение, что он существует). А если мы попробуем задавать $a_i$ не напрямую, а с помощью выражения, то мощность получаемого множества таких рядов будет счетной, если не ошибаюсь.

[VladTs]

Похоже интуиция меня не подвела. Почитал на тему вычислимых чисел. Они и правда образуют счетное плотное подмножество в $R$. Т.е. получается, что бОльшую часть чисел из $R$ мы предъявить в явном виде не можем, иначе они были бы вычислимы. Тогда тем более не понятно, что вообще значит "произвольный $x$ из $[0,1]$"

[Mikhail_K]

VladTs
То и означает, что в рассуждениях, следующих после фразы "пусть $x\in[0,1]$ произвольно", этот $x$ может быть как вычислимым, так и невычислимым.

Для того, чтобы делать утверждения про этот $x$, не обязательно уметь его вычислять. Например, хоть он вычислим, хоть невычислим, можно сказать что $x\cdot 0=0$, что $x\cdot 1=x$, что $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ и много других утверждений. Вычислимость $x$ в них никак не используется.

[epros]

VladTs в сообщении #1603597 писал(а):

Почитал на тему вычислимых чисел. Они и правда образуют счетное плотное подмножество в R.

Надо заметить, что в явном виде можно привести пример и невычислимого числа. Но это, конечно, не означает, что мы способны привести несчётное количество примеров. Так что фраза про "выберем число" может вовсе не подразумевать какого-то конкретного способа (процедуры) выбора, а просто является ссылкой на аксиому выбора, которая утверждает, что подобный выбор "возможен". Те, кто требуют указания конкретного способа выбора, называются конструктивистами и аксиому выбора не признают, как неконструктивную.

[vicvolf]

VladTs в сообщении #1603592 писал(а):

Вот часто можно встретить формулировку вроде "пусть икс - произвольное вещественное число из отрезка от 0 до 1". И я все больше запутываюсь, а можем ли мы за конечное число шагов выбрать произвольное вещественное число? Ведь обычно мы вещественные числа задаем в виде какого-то выражения, например суммы ряда, формулы, интеграла, итд.

Более часто в виде дроби, например десятичной. Таким образом, я хочу сказать, что действительное число не обязательно надо вычислять.

[epros]

vicvolf в сообщении #1603631 писал(а):

Более часто в виде дроби, например десятичной.

Не путайте с рациональным числом. Число $\pi$ не в виде дроби определяется, ибо знаков не хватит.

[vicvolf]

Цитата:

Я точно не уверен, но интуиция мне подсказывает, что множество выражений, которые мы можем явно записать, и в которых стоят только алгебраические числа, а также те трансцендентные, которые мы уже ранее определили с помощью выражения через алгебраические (например пи можно задать в виде суммы ряда с рациональными членами 4*(1-1/3+1/5-...), т.е. не через трансцендентные числа ), такое множество счетно (поправьте меня если я не прав). А отрезок [0,1] имеет мощность континуума.

Действительные числа состоят из рациональных, мощность множества которых счетна и иррациональных, мощность множества которых континуум.

epros в сообщении #1603633 писал(а):

vicvolf в сообщении #1603631 писал(а):

Более часто в виде дроби, например десятичной.

Не путайте с рациональным числом. Число $\pi$ не в виде дроби определяется, ибо знаков не хватит.

Я имел в виду бесконечную дробь, например десятичную.

[epros]

vicvolf в сообщении #1603635 писал(а):

Я имел в виду бесконечную дробь, например десятичную.

А я имел в виду, что бесконечную дробь нельзя записать на бумажке в качестве определения числа.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
- даже отдельные обозначения должны быть набраны как формулы. Не "отрезок [0, 1]", а "отрезок $[0, 1]$" (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.

[VladTs]

vicvolf в сообщении #1603631 писал(а):

действительное число не обязательно надо вычислять.

Если мы знаем, что мы не можем никак вычислить число, можем ли мы его выбрать?

Далее. Вот есть два невычислимых вещественных числа $x$ и $y$. Как для них выглядит операция сравнения, кто из них больше?

[Утундрий]

Для того, чтобы взять произвольное вещественное число нужно просто взять, да и взять произвольное вещественное число. А не под хостом у себя выкусывать.

[ozheredov]

Утундрий в сообщении #1603724 писал(а):

Для того, чтобы взять произвольное вещественное число нужно просто взять, да и взять произвольное вещественное число. А не под хостом у себя выкусывать.

Под хвостом тоже много вещественных чисел, так что можно и там выкусить.

-- 02.08.2023, 21:51 --

P.S.

Утундрий в сообщении #1603724 писал(а):

под хостом

А, хостом! Тогда может и нет...

[epros]

VladTs в сообщении #1603723 писал(а):

Если мы знаем, что мы не можем никак вычислить число, можем ли мы его выбрать?

Вот я выбираю такое число: $\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\Sigma(i)}$, где $\Sigma(i)$ - функция Busy beaver. Оно гарантированно невычислимо, при этом с точки зрения классической логики является "well defined", то бишь вполне однозначно определено как действительное число.

VladTs в сообщении #1603723 писал(а):

Далее. Вот есть два невычислимых вещественных числа $x$ и $y$. Как для них выглядит операция сравнения, кто из них больше?

Надо заметить, что и для двух вычислимых чисел операция сравнения вообще говоря неразрешима. Т.е. для некоторых пар чисел ответа на вопрос "равны ли они или одно из них больше" математика не знает, а возможно и не узнает никогда.

Кстати, есть примеры вычислимых чисел, для которых ни одна цифра их записи в форме десятичной дроби математике неизвестна.

[мат-ламер]

VladTs в сообщении #1603592 писал(а):

И я все больше запутываюсь, а можем ли мы за конечное число шагов выбрать произвольное вещественное число?

А оно нам надо - выбирать конкретное число?

VladTs в сообщении #1603592 писал(а):

Вот часто можно встретить формулировку вроде "пусть икс - произвольное вещественное число из отрезка от $0$ до $1$".

Это ещё не значит, что мы это число конкретно выбрали. У нас $x$ просто некий символ, который читатель при желании когда захочет может заменить на любое число из указанного промежутка. А то, может и не захочет.