2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 ... 34  След.
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение28.07.2023, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
551
so dna
natalya_1 пожалуйста, вникните в мои три строчки рассуждений. Не спешите с ответом. Ну возьмём мы $m=5,$ тогда $a+a_1+a_2+a_3+a_4=\frac{c^2d}{cd-p}.$ Ваше равенство: $a+a_1+a_2=\frac{c^2d}{cd-p}$ будет иметь место только если $a_3+a_4=0,$ при этом неважно действительные ли числа $a_3,a_4$ или комплексные. В теореме Виета учитываются все корни, которых в вашем случае всегда ровно $m$. Вы где-то доказали, что сумма оставшихся $m-3$ корней равна нулю? Если нет, то ваше равенство $a+a_1+a_2=\frac{c^2d}{cd-p}$ для $m>3$ неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение28.07.2023, 17:56 


29/08/09
691
Rak so dna в сообщении #1602988 писал(а):
natalya_1 пожалуйста, вникните в мои три строчки рассуждений. Не спешите с ответом. Ну возьмём мы $m=5,$ тогда $a+a_1+a_2+a_3+a_4=\frac{c^2d}{cd-p}.$ Ваше равенство: $a+a_1+a_2=\frac{c^2d}{cd-p}$ будет иметь место только если $a_3+a_4=0,$ при этом неважно действительные ли числа $a_3,a_4$ или комплексные. В теореме Виета учитываются все корни, которых в вашем случае всегда ровно $m$. Вы где-то доказали, что сумма оставшихся $m-3$ корней равна нулю? Если нет, то ваше равенство $a+a_1+a_2=\frac{c^2d}{cd-p}$ для $m>3$ неверно.

Спасибо. Поняла, буду думать. Думаю, это можно доказать.
(вообще, я использовала следствие теоремы Безу)

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение28.07.2023, 19:29 


13/05/16
361
Москва
natalya_1 в сообщении #1602984 писал(а):
Поскольку значение третьей производной в точке $0$ не равно нулю только при $m=5$,
$0$ будет точкой перегиба только при $m=5$????

Третьи производные вообще не нужны для точки перегиба. Вам достаточно определить знак второй производной и все на этом

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение29.07.2023, 03:45 


29/08/09
691
Rak so dna
я тут подумала, мне, наверное, вообще не важно, какая сумма этих трёх корней ( Вы абсолютно правы: то. что я написала, - ошибка).
Доказательство должно работать без этого, завтра проверю и распишу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение29.07.2023, 20:31 


29/08/09
691
Rak so dna
Точка перегиба $k=\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$
Исходя из симметрии
$b+b_1+b_2=3k=\frac{3(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$.
Пока вроде всё хорошо (учтены комплексные корни).
А дальше
$3k+(3k+3(k-h))=3c$, $3k=\frac{c^2d}{cd-p}$,
$3(m-1)=2m$, $m=3$!!!!
Где ошибка? Я неправильно вычислил точку перегиба?
3.1.1.Найдём критические точки функции
$y=(cd-p)x^{m}-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$
$y'=m(cd-p)x^{m-1}-(m-1)c^2dx^{m-2}+(m-2)c^2px^{m-3}$
$y'=0$ если $x=0$ (при $x>3$и
$m(cd-p)x^2-(m-1)c^2dx+(m-2)c^2px=0$
$D=(m-1)^2c^4d^2-4m(m-2)(cd-p)c^2p=c^2((m-1)^2c^2d^2-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2)$
$x=\frac{(m-1)c^2d\mp{c\sqrt{(m-1)^2c^2d-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2}}}{2m(cd-p)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение30.07.2023, 00:45 


29/08/09
691
Rak so dna
Разобралась. :D

Точка перегиба $k=\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$
Исходя из симметрии
$b+b_1+b_2=3k=\frac{3(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$.
всё хорошо (учтены комплексные корни).
Ошибка была в том, что при $m>3$ $f_2(x)=f_1(x-q)$ (а не $f_2(x)=f_1(x-(k-h))$ как при $n=3$)
$3k+(3k+3(q))=3c$, $q=c-2k=\frac{mc^2d-mcp-(m-1)c^2d}{m(cd-p)}=\frac{c^2d-mcp}{m(cd-p)}$.

дальше всё получается

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение30.07.2023, 03:20 


29/08/09
691
Ферма утверждал, что уравнение $x^n+x'^n=z^n$ не имеет решений в рациональных числах.
Попробуем доказать обратное.

Предположим, что такое решение существует

при $x=a$, $x'=b$, $z=c$, $n=m$, где $a$, $b$, $c$ - целые положительные взаимно простые числа и $a>b$, то есть $a^m+b^m=c^m$. $m$- целое нечётное
положительное число $m>2$

1.1. $a^{n-2}+b^{n-2}=c^{n-2}+d$, где
$d$ - целое положительное число
$a^{n-1}+b^{n-1}=c^{n-1}+p$, где $p$- целое положительное число.


1.2. $a^{m-2}+b^{m-2}-c^{m-2}=d$,
$a^{m-1}+b^{m-1}-c^{m-1}=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $pa^{m-2}+pb^{m-2}-pc^{m-2}=a^{m-1}d+b^{m-1}d-c^{m-1}d$, $a^{m-2}(ad-p)+b^{m-2}(bd-p)=c^{m-2}(cd-p)

1.3. $a^{m-2}(ad-p)+b^{m-2}(bd-p)=c^{m-2}(cd-p)$, $a^m+b^m=c^m$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$c^{m}a^{m-2}(ad-p)+c^{m}b^{m-2}(bd-p)=a^{m}c^{m-2}(cd-p)+b^{m}c^{m-2}(cd-p)$ , следовательно,
$(cd-p)a^m-c^{2}da^{m-1}+c^{2}pa^{m-2}=-((cd-p)b^m-c^{2}db^{m-1}+c^{2}pb^{m-2})$ .

2.1.1 функция $y=(cd-p)x^m-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$, следовательно, между $a$ и $b$ существует точка ( назовем ее
$h$, значение функции в которой равно $0$.

2.1.3 Найдем все точки, значение функции в которых равно нулю.

$(cd-p)x^m-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}=0$.
$x=0$ или

$(cd-p)x^2-c^{2}dx+c^{2}p=0$
$D=c^4d^2-4(cd-p)c^2p$,
$x=\frac{c^{2}d\mp\sqrt{c^2(cd-2p)^2}}{2(cd-p)}$
отсюда
$x=c$ или $x=\frac{cp}{cd-p}$.
Поскольку $a<c$, $b>0$, $h=\frac{cp}{cd-p}$ -рациональное число.

3.1.1.Найдём критические точки функции
$y=(cd-p)x^{m}-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$
$y'=m(cd-p)x^{m-1}-(m-1)c^2dx^{m-2}+(m-2)c^2px^{m-3}$
$y'=0$ если $x=0$ (при $x>3$и
$m(cd-p)x^2-(m-1)c^2dx+(m-2)c^2px=0$
$D=(m-1)^2c^4d^2-4m(m-2)(cd-p)c^2p=c^2((m-1)^2c^2d^2-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2)$
$x=\frac{(m-1)c^2d\mp{c\sqrt{(m-1)^2c^2d-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2}}}{2m(cd-p)}$

$\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$ -
точка перегиба функции



функция $y=(cd-p)x^{m}-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$ является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$ и ее значение равно нулю в точках 0, h и с,
существует три действительные точки, в которых она принимает одинаковые отрицательные значения ($a$,$a_1$ и $a_2$) и три , в которых она принимает одинаковые положительные значения ($b$, $b_1$ и $b_2$).

$f(a)=f(a_1)=f(a_2)=-f(b)=-f(b_1)=-f(b_2)$


Очевидно, что может существовать два варианта расположения $h$ относительно $k$ - точки перегиба функции ($0<h<k$ и $k<h<\frac{c}{\sqrt{2}}$
и
три варианта расположения $a_2$, $b_1$, $b$, $a$ относительно друг друга:
1.$a_1<b<b_1<a_2<a<b_2$, 2. $a_1<b_1<b<a<a_2<b_2$, 3. $a_1<b_1<b<a_2<a<b_2$






Изображение


вариант $a_1<0<b<b_1<h<a_2<a<c$

4.Выполним параллельный перенос и графика f(x) ( график на рисунке чёрной плотной линии) параллельно оси $OX$ вверх на расстояние $-2f(k)$ (удвоенное значение функции $f(x)$ в точке перегиба $k$ взятое с противоположным знаком) $f_1(x)=f(x)-2f(k)$. Получившийся график $f_1(x)$ на рисунке обозначен жёлтым цветом.

Затем выполним параллельный перенос графика $f_1(x)$ параллельно оси $OY$ вправо на расстояние $q$,
так, чтобы $f_2(0)=f(0)=f_2(c)=f(c)=f(h)=f_2(h_1)=0$
$f_2(x)=f_1(x-q)$
Получившийся график $f_2(x)$ на рисунке обозначен красным цветом.

В результате этих двух последовательных параллельных переносов
получаем симметрию относительно $\frac{c}{2}$:

точка $b$ симметрична точке $a'$ ,
точка $b_1$ симметрична точке $a_2''$
точка $b_2$ симметрична точке $a_1'$
точка $a$ симметрична точке$b'$
точка $a_1$ симметрична точке $b_2'$
точка $a_2$ симметрична точке $b_1'$
точка $h_1$ симметрична точке $h$
$f_2(a')=f_2(a_1')=f_2(a_2'')=f(a)=f(a_1)=f(a_2)$,
$f_2(b')=f_2(b_1'')=f_2(b_2')=f(b)=f(b_1)=f(b_2)$.



$b+b_1+b_2=3k=\frac{3(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$.

$3k+(3k+3(q))=3c$, $q=c-2k=\frac{mc^2d-mcp-(m-1)c^2d}{m(cd-p)}=\frac{c^2d-mcp}{m(cd-p)}$.









5.Выполним параллельный перенос графика $f_2(x)$ параллельно оси $OY$ влево на расстояние $h_1-h$
$f_3(x)=f_2(x+(h_1-h))$

Получим точки $b_1'$
( $b_1'=b_1''-(h_1-h)$, $f_3(b_1')=f_2(b_1'')=f(b)$)
и $a_2'$
($a_2'=a_2''-(h_1-h)$, $f_3(a_2')=f_2(a_2'')=f(a)$)





6.$f_2(h_1)=f(h)=f(0)=f_2(0)=f(c)=f_2(c)=0$, $h_1=h+2(k-h)+q$
$b+b_1+b_2=a+a_1+a_2=3k$,
$b'+b_1''+b_2'=a'+a_1'+a_2''=3k+((2(k-h)+q))$.
$b'+(b_1'+(2(k-h)+q))+b_2'=3k+((2(k-h)+q))$ , следовательно,
$b'+b_1'+b_2'=b+b_1+b_2$
Аналогично
$a'+a_1'+a_2'=a+a_1+a_2$

отсюда
$b-b'=(b_1'-b_1)+(b_2'-b_2')$
$a-a'=(a_1'-a_1)+(a_2'-a_2)$

7.$a+b'=c$,
$b+a'=c$
$a+b=c+d$, следовательно $a-a'=b-b'=d$

8.$b_1+a_2'=b_1+a_2''-(2(k-h)+q)=2h$,
$b_2+a_1=c-(b_2'-b_2)$;
$a+b=c+(a-a')=c+d$
$(a_2'-a_2)+(b_2'-b_2)=d$.

Далее

$b_2'-b_1'=b_2'-(b_1''-(2(k-h)+q))$,
$b_2'-b_1'=(c-a_1)-(2h-a_2)=(a_2-a_1)+(c-2h)=(a_2-a_1)+\frac{c(cd-3p)}{cd-p}=b_2-b_1$,
$(b_2'-b_2)=(b_1'-b_1)=\frac{d}{2}$.
Отсюда
$a_1+b_2=c-\frac{d}{2}$- рациональное число,
$a_2+b_1=2h-\frac{d}{2}$- рациональное число.


9. $a_1+b_2$ - рациональное число


Завтра закончу

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение30.07.2023, 10:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
551
so dna
natalya_1 в сообщении #1603185 писал(а):
Точка перегиба $k=\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$
Почему вы занулили дискриминант?

natalya_1 в сообщении #1603185 писал(а):
Исходя из симметрии
Какой симметрии?

natalya_1 в сообщении #1603185 писал(а):
$b+b_1+b_2=3k$.
Вы приравняли сумму трёх корней уравнения $f(x)=f(b)$ к утроенному корню уравнения $f''(x)=0$. Зачем вы так с ним? Что он вам сделал плохого?

natalya_1 в сообщении #1603207 писал(а):
получаем симметрию относительно $\frac{c}{2}$:

точка $b$ симметрична...
Что вы называете точками? На плоскости точка задаётся двумя числами: $(x_0,y_0)$ Что такое "точка $b$" ? Это $(b,f(b))$ или $(b,f_1(b))$ или $(b,0)$ или ещё что-то?

Пожалейте форум. Не надо при очередном копипасте тащить пункты $1.1,~1.2,~1.3,~2.1.1,~2.1.3.$ Все они заменяются двумя строчками:
"Пусть $p=a^{m-1}+b^{m-1}-c^{m-1},~d=a^{m-2}+b^{m-2}-c^{m-2}.$ Рассмотрим многочлен $f(x)=(cd-p)x^m-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}.$ Легко проверить, что $f(a)=-f(b),$ а его корни: $0,~c,~h=\frac{cp}{cd-p}.$"

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение30.07.2023, 10:13 


13/05/16
361
Москва
Rak so dna в сообщении #1603219 писал(а):
Какой симметрии?

natalya_1 прикрепила картинку. На ней видна эта симметрия, как я понял

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение30.07.2023, 10:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
551
so dna
Antoshka ну объясните словами, раз вы это видите, как на этой картинке увидеть, что $b+b_1+b_2=3k.$ Тем более, что в случае $m>3$ это, очевидно, неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение30.07.2023, 17:05 


29/08/09
691
Rak so dna в сообщении #1603222 писал(а):
Antoshka ну объясните словами, раз вы это видите, как на этой картинке увидеть, что $b+b_1+b_2=3k.$ Тем более, что в случае $m>3$ это, очевидно, неверно.

Мне для этого надо ввести дополнительные обозначения на картинке. Под рукой нет сканера.
Я исходила из того, что смотрела на график $f(x)$ (на рисунке он чёрным цветом):
Поскольку $k$ - точка перегиба, существует симметрия относительно $k$.
Попробую на словах: $f(b)+f(a'')'=2f(k)$, $f(b_1)+f(a_2'')'=2f(k)$, $f(b_2)+f(a_1''')=2k$.

Следовательно,
$(f(b)+f(b_1)+f(b_2))+(f(a''')+f(a_1''')+f(a_2'''))=6k$
Это не так?
Точка $(b, f(b))$ симметрична $(a''', f(a'''))$
Точка $(b_1, f(b_1))$ симметрична $(a_2''', f(a_2'''))$
Точка $(b_2, f(b_2))$ симметрична $(a_1''', f(a_1'''))$




Rak so dna в сообщении #1603219 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1603185 писал(а):
Точка перегиба $k=\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$
Почему вы занулили дискриминант?

"

Потому что две критические точки симметричны относительно точки перегиба



Rak so dna в сообщении #1603219 писал(а):


точка $b$ симметрична...
Что вы называете точками? На плоскости точка задаётся двумя числами: $(x_0,y_0)$ Что такое "точка $b$" ? Это $(b,f(b))$ или $(b,f_1(b))$ или $(b,0)$ или ещё что-то?

Это $(b,f(b))$

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение30.07.2023, 17:32 


13/05/16
361
Москва
natalya_1 в сообщении #1603257 писал(а):
Поскольку $k$ - точка перегиба, существует симметрия относительно $k$.

Так точка перегиба - это точка, в которой график переходит с одной стороны касательной на другую. Симметрии там может вообще не быть

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение30.07.2023, 17:45 


29/08/09
691
Antoshka в сообщении #1603264 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1603257 писал(а):
Поскольку $k$ - точка перегиба, существует симметрия относительно $k$.

Так точка перегиба - это точка, в которой график переходит с одной стороны касательной на другую. Симметрии там может вообще не быть

Но у нас симметрия есть, потому что критические точки симметричны относительно точки перегиба:

3.1.1.Найдём критические точки функции
$y=(cd-p)x^{m}-c^{2}dx^{m-1}+c^{2}px^{m-2}$
$y'=m(cd-p)x^{m-1}-(m-1)c^2dx^{m-2}+(m-2)c^2px^{m-3}$
$y'=0$ если $x=0$ (при $x>3$и
$m(cd-p)x^2-(m-1)c^2dx+(m-2)c^2px=0$
$D=(m-1)^2c^4d^2-4m(m-2)(cd-p)c^2p=c^2((m-1)^2c^2d^2-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2)$
$x=\frac{(m-1)c^2d\mp{c\sqrt{(m-1)^2c^2d-4m(m-2)cdp+4m(m-2)p^2}}}{2m(cd-p)}$

$\frac{(m-1)c^2d}{2m(cd-p)}$ -
точка перегиба функции

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение30.07.2023, 18:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
551
so dna
natalya_1 в сообщении #1603257 писал(а):
Поскольку $k$ - точка перегиба, существует симметрия относительно $k$.
Попробую на словах: $b+a'''=2k$, $b_1+a_1'''=2k$, $b_2+a_2'''=2k$.

Следовательно,
$(b+b_1+b_2)+(a'''+a_1'''+a_2''')=6k$, $(b+b_1+b_2)=(a'''+a_1'''+a_2''')=3k$.
Это не так?

Это на самом деле крутое геометрическое рассуждение (правда у вас на картинке нет никаких $a''',a_1''',a_2'''$ ). Если это вы придумали, то мои поздравления. Но оно верно лишь для кубических многочленов, поэтому всё это проходит лишь для $m=3.$

natalya_1 в сообщении #1603257 писал(а):
Потому что две критические точки симметричны относительно точки перегиба
Даже если это и так (в случае $m=3$), то это не повод занулять дискриминант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства теоремы ферма 3
Сообщение30.07.2023, 18:11 


29/08/09
691
Rak so dna в сообщении #1603272 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1603257 писал(а):
Поскольку $k$ - точка перегиба, существует симметрия относительно $k$.
Попробую на словах: $b+a'''=2k$, $b_1+a_1'''=2k$, $b_2+a_2'''=2k$.

Следовательно,
$(b+b_1+b_2)+(a'''+a_1'''+a_2''')=6k$, $(b+b_1+b_2)=(a'''+a_1'''+a_2''')=3k$.
Это не так?

Это на самом деле крутое геометрическое рассуждение (правда у вас на картинке нет никаких $a''',a_1''',a_2'''$ ). Если это вы придумали, то мои поздравления. Но оно верно лишь для кубических многочленов, поэтому всё это проходит лишь для $m=3.$

Спасибо за замечание, значит, буду думать дальше, как быть с со степенями $n>3$.
Но получается, для $n=3$ моё доказательство работает?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 508 ]  На страницу Пред.  1 ... 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 ... 34  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group