p-адические числа и сумма Рамануджана

[B3LYP]

Надеюсь, я не пишу что-то сильно неправильное с точки зрения модераторов форума. В математике есть такой ряд Рамануджана:

$1+2+3+4+5...=-\dfrac{1}{12}$

https://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_⋯

Эта сумма используется для расчёта эффекта Казимира (см. по ссылке). Этот эффект заключается во взаимном притяжении проводящих незаряженных пластин под действием квантовых флуктуаций в вакууме. Отрицательный знак этой суммы как раз означает что пластины притягиваются. Тут ещё написано, что эта сумма используется в теории струн, точнее в первоначальной теории бозонных струн, а не в версии теории струн от Хокинга.

Если не путаю, сумму Рамануджана можно вывести с использованием p-адических чисел:

https://youtu.be/6F3iVO01Ul4

Хочу предложить такую мысль. Сейчас всем понятно, что в геометрии работает и обычная эвклидова геометрия, и геометрии Лобачевского/Римана. Они в чём-то совпадают, в чём-то противоречат друг другу, и обе могут быть использованы для каких-то задач. Может быть, и в алгебре грядет такое разделение? Т.е. есть “стандартная ” алгебра, в которой ряд Рамануджана однозначно неправилен, и “неэвклидова” алгебра, в которой всё это выполняется и которую лучше описывают p-адические числа.

[Anton_Peplov]

Всё гораздо проще.
Сложение - это операция над двумя числами (читай над любым конечным набором чисел). Обобщить ее на бесконечный числовой ряд можно многими различными способами. Нет ничего удивительного, что
1) разные способы иногда ведут к разным результатам, т.е. один и тот же ряд имеет разные суммы в разных смыслах
2) разные методы суммирования полезны в разных задачах.
Кроме классического метода суммирования рядов, восходящего к Коши, и метода Рамануждана, есть и всякие другие.

[Утундрий]

Надеяться можно, вот только тема эта не только не нова, но и достаточно хорошо разработана. Приложений же у неё, грубо говоря, нуль. Нет, есть, конечно, всякие мутные рассуждения о неархимедовости пространства на планковских масштабах, что-то там в биологии, ещё что-то в (не к ночи буде помянута) психологии... Но пока что вся эта теория лежит мёртвым грузом. И если вдруг где-то и пригодится, то всяко не в задачах "суммирования" расходящихся рядов. И.м.х.о., разумеется.

[Dedekind]

Утундрий в сообщении #1599742 писал(а):

что-то там в биологии

А что именно в биологии Вам на эту тему встречалось?

[B3LYP]

Можно взять ряд

$1+x+x^2+x^3+x^4+...{12}$

Его сумма будет, если не путаю, \dfrac{1}{1-x}$ для x<1. Помню раньше я знал как выводится эта сумма, а сейчас забыл и туплю. Ну ладно. Для x>1 получатся как бы ерунда. Можно ли утверждать, что выражения

$1+2+4+8+16...=-1$

и

$1+2+3+4+5...=-\dfrac{1}{12}$

"верны в одинаковой степени", и их оба можно получить с помощью p-адических чисел по одинаковой схеме?
Ещё вопрос - от каких аксиом Пеано надо отказаться, чтобы эти выражения ничему не противоречили?

[Mikhail_K]

B3LYP в сообщении #1600147 писал(а):

Ещё вопрос - от каких аксиом Пеано надо отказаться, чтобы эти выражения ничему не противоречили?

Эти выражения и так ничему не противоречат. В аксиомах Пеано фигурирует операция "прибавления единицы", через неё можно определить операцию сложения двух чисел. Арифметика, основанная на аксиомах Пеано, просто не знает операцию сложения бесконечного количества слагаемых, и ничего не говорит о значениях бесконечных сумм.

[B3LYP]

Mikhail_K в сообщении #1600161 писал(а):

Эти выражения и так ничему не противоречат. В аксиомах Пеано фигурирует операция "прибавления единицы", через неё можно определить операцию сложения двух чисел. Арифметика, основанная на аксиомах Пеано, просто не знает операцию сложения бесконечного количества слагаемых, и ничего не говорит о значениях бесконечных сумм.

Я это не очень понимаю. Очевидно, можно сказать что выражение

$1+2+3+4+5...=-\dfrac{1}{12}$

противоречит здравому смыслу. Я думал, в математике такие моменты разобраны по полочкам и всё это можно чётко сформулировать.

[Null]

B3LYP в сообщении #1600200 писал(а):

противоречит здравому смыслу. Я думал, в математике такие моменты разобраны по полочкам и всё это можно чётко сформулировать.

Да, погуглите суммирование расходящихся рядов. Разные методы есть и у них разные свойства. Здравый смысл не работает. Бесконечность она такая.

[Anton_Peplov]

B3LYP в сообщении #1600200 писал(а):

Очевидно, можно сказать что выражение

$1+2+3+4+5...=-\dfrac{1}{12}$

противоречит здравому смыслу.

А теорема Римана о том, что перестановкой слагаемых в условно сходящемся ряде можно получить любую сумму, не противоречит "здравому смыслу"? А парадокс Банаха-Тарского, если уж на то пошло?
"Здравый смысл" - это банальная интуиция, т.е. бессознательно обобщенный опыт. На опыте мы никогда не имеем дела с бесконечностью, поэтому к ней "здравый смысл" не применим.

[B3LYP]

Null в сообщении #1600204 писал(а):

Да, погуглите суммирование расходящихся рядов. Разные методы есть и у них разные свойства. Здравый смысл не работает. Бесконечность она такая.

Вы имеете в виду условно-расходящиеся?
Например ряд $1-1+1-1+1-1...$ может дать любую сумму, в зависимости от того как комбинировать члены. Мне кажется, тут проще сказать, что этот ряд - это разница двух бесконечностей, а если из бесконечности вычесть бесконечность, можно получить любое число от минус бесконечности до плюс бесконечности. Выглядит всё просто.

Anton_Peplov в сообщении #1600227 писал(а):

А парадокс Банаха-Тарского, если уж на то пошло

Интересно, значит шар можно разрезать на конечное число частей и сложить из них два новых шара? Сколько должно быть этих частей? А для круга на плоскости это работает?

[Mikhail_K]

B3LYP в сообщении #1600348 писал(а):

Вы имеете в виду условно-расходящиеся?
Например ряд $1-1+1-1+1-1...$ может дать любую сумму, в зависимости от того как комбинировать члены. Мне кажется, тут проще сказать, что этот ряд - это разница двух бесконечностей, а если из бесконечности вычесть бесконечность, можно получить любое число от минус бесконечности до плюс бесконечности. Выглядит всё просто.

Ваша проблема в том, что Вы думаете, будто бесконечные суммы, хоть $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots$, хоть $1-1+1-1+1-1+\ldots$, хоть $1+2+3+4+\ldots$, объективно чему-то равны. На самом деле, вне соответствующих теорий это просто бессмысленные записи. Понятно, что значит сложить два слагаемых, а что значит сложить бесконечно много слагаемых - непонятно.

А раз записи бессмысленные, значит, мы свободны придавать им тот смысл, какой хотим. Вот чему равно $1@2$? На этот вопрос нельзя ответить, потому что непонятно, что это за операция - $@$. Но если я её как-нибудь определю, например скажу, что $x@y=xy+x+y$ (или каким угодно другим способом), то после этого я уже смогу сосчитать $1@2$.

Так же и с бесконечными суммами. И если для сходящихся рядов есть стандартное определение (через предел), то для расходящихся стандартного определения нет, и в разных теориях суммы расходящихся рядов определяются по-разному. Конечно, при этом стараются, чтобы определение хоть как-то соответствовало интуитивному понятию "суммы", но иногда это соответствие бывает очень косвенное.

Можете заглянуть в учебник Фихтенгольца "Курс дифференциального и интегрального исчсиления", том 2, глава 11 "Бесконечные ряды с постоянными членами", параграф 9 "Суммирование расходящихся рядов". Про сумму Рамануджана там, кажется, ничего не говорится, но вот про ряд $1-1+1-1+\ldots$ говорится. И если ему придавать значение, то конечно оно будет не каким угодно, а точно определённым.

B3LYP в сообщении #1600348 писал(а):

А для круга на плоскости это работает?

Для круга не работает.

[EminentVictorians]

Mikhail_K в сообщении #1600351 писал(а):

Для круга не работает.

Интересно, а он только при $n = 3$ работает, или при любом $n \geqslant 3$? Там же в любой размерности больше или равной 3, не существует инвариантной относительно конгруэнтности конечно аддитивной меры (в отличие от размерностей 1 и 2). Поэтому интуитивно кажется, что можно брать любую размерность $n \geqslant 3$.

[B3LYP]

Mikhail_K в сообщении #1600351 писал(а):

Ваша проблема в том, что Вы думаете, будто бесконечные суммы, хоть $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots$, хоть $1-1+1-1+1-1+\ldots$, хоть $1+2+3+4+\ldots$, объективно чему-то равны. На самом деле, вне соответствующих теорий это просто бессмысленные записи. Понятно, что значит сложить два слагаемых, а что значит сложить бесконечно много слагаемых - непонятно.

Вы что хотите сказать, что чисел $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots$ или 1.1111111... не существует?
Если не путаю, такое направление в математике называется финитизмом, и это разновидность конструктивизма, в котором любое число - это алгоритм (поправьте меня если не очень правильно пишу).
Вот ещё интересно: какие-нибудь математики пытались описать, есть ли разница между числами 10 и 9.(9)? Или считается что это фигня/псевдонаука?

[Mikhail_K]

B3LYP в сообщении #1600377 писал(а):

Вы что хотите сказать, что чисел $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots$ или 1.1111111... не существует?

Ну прочитайте внимательно, что я написал, не пытаясь это как-то классифицировать. Не надо приплетать здесь финитизм и конструктивизм. Я не хочу сказать, что эти числа не существуют, я хочу сказать, что любая запись бессмысленна, пока ей не дано определение. И это очень важно понять, если хочется говорить о сумме расходящихся рядов. С точки зрения одного определения, сумма расходящегося ряда не существует, с точки зрения другого - существует; а с точки зрения какого-нибудь третьего, она тоже существует, но может быть равна чему-то другому. Нельзя спрашивать, чему равна сумма расходящегося ряда, не сказав вначале, каким определением вы пользуетесь.

Применительно к суммам вида $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots$ все математики пользуются одним определением, а применительно к расходящимся рядам - определения могут быть разные.

[B3LYP]

Mikhail_K в сообщении #1600161 писал(а):

Эти выражения и так ничему не противоречат. В аксиомах Пеано фигурирует операция "прибавления единицы", через неё можно определить операцию сложения двух чисел. Арифметика, основанная на аксиомах Пеано, просто не знает операцию сложения бесконечного количества слагаемых, и ничего не говорит о значениях бесконечных сумм.

Попробую ещё раз сформулировать свою мысль. В математике есть понятие аподиктической очевидности, это самоочевидная истина, которую не надо доказывать. Интересно анализировать/разбирать эти очевидности. Мне показалось, для этого и придуманы аксиомы Пеано: с их помощью можно доказать, что $2+2=4$, и это делается не для того, чтобы убедиться в этом равенстве, а потому что такое разложение по полочкам полезно в теоретическом плане.
Возможно, справедливо утверждение, что все аподиктические очевидности это аксиомы, например пятая аксиома Эвклида. Но если её убрать, можно получить нестандартную геометрию, другую систему аксиом с другими свойствами. Может и в математике так же? От каких аксиом в математике надо отказаться, чтобы сумма Рамануджана не была очевидно неверной?