2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Об одном свойстве пятимерного пространства
Сообщение14.01.2021, 21:28 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
По-моему, Ваше гораздо слабее. Для $\vec{f}=\vec{s}=\frac{1}{\sqrt5}(1,1,1,1,1)$ Ваше неравенство даёт: $\operatorname{LS}\leq\sqrt{13}-1.$
Но должен признаться, Вы на правильном пути! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном свойстве пятимерного пространства
Сообщение30.12.2022, 16:08 
Аватара пользователя


26/02/14
497
so dna
arqady в сообщении #1497534 писал(а):
Пусть $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=x^2+y^2+z^2+t^2+w^2=1.$ Докажите, что:

\begin{multline*}a(y+z-t-w)+b(z+t-w-x)+c(t+w-x-y)+d(w+x-y-z)+e(x+y-z-t)\leq\\
2\sqrt{5(1-ax-by-cz-dt-ew)}.\end{multline*}
Положим

$\sum\limits_{cyc}{f(a,b,c,d,e,x,y,z,t,w)}=f(a,b,c,d,e,x,y,z,t,w)+f(b,c,d,e,a,y,z,t,w,x)+$

$+f(c,d,e,a,b,z,t,w,x,y)+f(d,e,a,b,c,t,w,x,y,z)+f(e,a,b,c,d,w,x,y,z,t)$

Тогда нужно доказать:

$10\sum\limits_{cyc}{a^2}\sum\limits_{cyc}{(x-a)^2}\geq \left(\sum\limits_{cyc}{a(y+z-t-w)}\right)^2$

Используя неравенство Коши-Буняковского $\sum{p_i^2}\sum{q_i^2}\geq \left( \sum{p_iq_i} \right)^2$ имеем:

$10\sum\limits_{cyc}{a^2}\sum\limits_{cyc}{(x-a)^2}=\left(\sum\limits_{cyc}{(e+d-c-b)^2}+\sum\limits_{cyc}{(a-b+c)^2}+\sum\limits_{cyc}{(a+b+d)^2} \right)\sum\limits_{cyc}{(x-a)^2}\geq $

$\geq \sum\limits_{cyc}{(e+d-c-b)^2}\sum\limits_{cyc}{(x-a)^2} \geq \left( \sum\limits_{cyc}{(e+d-c-b)(x-a)}\right)^2=\left( \sum\limits_{cyc}{a(y+z-t-w)}\right)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном свойстве пятимерного пространства
Сообщение09.01.2023, 16:06 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Удалось найти максимальное значение левой части неравенства, оно равно: $\sqrt {5+2\sqrt 5}$. При этом не требуется даже находить сами векторы, дающие максимум, достаточно найти условие существования нетривиального решения системы линейных однородных уравнений Лагранжа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном свойстве пятимерного пространства
Сообщение10.01.2023, 19:49 
Аватара пользователя


26/02/14
497
so dna
Задачка попроще:

Для $a^2+b^2+c^2+x^2+y^2+z^2=2$ найти наибольшее значение выражения $a(x-y)+b(y-z)+c(z-x)$

mihiv существенны ли в Вашем решении условия $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=1$, $x^2+y^2+z^2+t^2+w^2=1$ ? (В смысле изменится ли ответ, если заменить их условием $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+x^2+y^2+z^2+t^2+w^2=2$ ). Так, например, в моей задаче ответ не меняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном свойстве пятимерного пространства
Сообщение10.01.2023, 20:56 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Rak so dna в сообщении #1576706 писал(а):
изменится ли ответ, если заменить их условием $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+x^2+y^2+z^2+t^2+w^2=2$ ). Так, например, в моей задаче ответ не меняется.

Да, действительно оказывается, ответ не изменяется. А в Вашей задаче ответ $\sqrt 3$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном свойстве пятимерного пространства
Сообщение11.01.2023, 11:03 
Аватара пользователя


26/02/14
497
so dna
mihiv в сообщении #1576714 писал(а):
А в Вашей задаче ответ $\sqrt 3$?
Да. Вот доказательство без Лагранжа:

$(a(x-y)+b(y-z)+c(z-x))^2=\frac{3}{4}\left(x^2+y^2+z^2+a^2+b^2+c^2\right)^2$

$-\frac{3}{4}(a(x+y)+b(y+z)+c(z+x))^2$

$-\frac{3}{4}(ab+bc+ca-xy-yz-zx)^2$

$ -\frac{1}{8}\left(2(a^2+z^2)-(x^2+y^2+b^2+c^2)\right)^2$
$-\frac{1}{8}\left(2(b^2+x^2)-(y^2+z^2+a^2+c^2)\right)^2$
$-\frac{1}{8}\left(2(c^2+y^2)-(x^2+z^2+a^2+b^2)\right)^2$

$-\frac{3}{4}(ab-ac+xz-yz)^2$
$-\frac{3}{4}(bc-ba+yx-zx)^2$
$-\frac{3}{4}(ca-cb+zy-xy)^2$

$-\frac{1}{12}(ax+2ay+by-bz-cx-2cz)^2$
$-\frac{1}{12}(by+2bz+cz-cx-ay-2ax)^2$
$-\frac{1}{12}(cz+2cx+ax-ay-bz-2by)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном свойстве пятимерного пространства
Сообщение14.01.2023, 18:16 
Аватара пользователя


26/02/14
497
so dna
Rak so dna в сообщении #1576737 писал(а):
Да. Вот доказательство без Лагранжа:...
Совсем простое решение может быть получено, если ввести подстановки $a\rightarrow a\sqrt3$, $b\rightarrow b\sqrt3$, $c\rightarrow c\sqrt3$:

$a(x-y)+b(y-z)+c(z-x)=\frac{\sqrt3}{2}(x^2+y^2+z^2+a^2+b^2+c^2)$

$-\frac{1}{2\sqrt3}(a+b+c)^2-\frac{1}{2\sqrt3}\sum\limits_{cyc}(x\sqrt3+c-a)^2$

Аналогично можно получить выражение и для $10$ переменных:

$\sum\limits_{cyc}a(y+z-t-w)=\frac{\sqrt{5+2\sqrt5}}{2}(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+x^2+y^2+z^2+t^2+w^2)$

$-\frac{1}{2\sqrt{5+2\sqrt5}}(a+b+c+d+e)^2-\frac{1}{2\sqrt{5+2\sqrt5}}\sum\limits_{cyc}\left(x\sqrt{5+2\sqrt5}+b+c-d-e\right)^2$

$-\frac{2\sqrt5-1}{19\sqrt{5+2\sqrt{5}}}\sum\limits_{cyc}\left(a-b-c+d-e\sqrt5\right)^2  -\frac{37+21\sqrt5}{4180\sqrt{5+2\sqrt5}}\sum\limits_{cyc}\left((2\sqrt5-4)b-(3-\sqrt5)(a+c)\right)^2$

$-\frac{2(71+29\sqrt5)}{1045\sqrt{5+2\sqrt5}}\sum\limits_{cyc}\left(a+d+(\sqrt5-2)(b+c-e)\right)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Об одном свойстве пятимерного пространства
Сообщение18.01.2023, 17:33 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Методом Лагранжа максимальное значение можно найти не только при $n=3,5$, но и при любом нечетном $n$. Задача сводится к нахождению наибольшего собственного значения некоторой матрицы размера $n\times n$. Приведу окончательный результат для $n=3$, для других $n$ все аналогично.
1.Рассмотрим $n$ векторов:$p_1=(0,1,-1), p_2=(-1,0,1), p_3=(1,-1,0) $ (координаты векторов равны коэффициентам перед $x,y,z$ в круглых скобках в выражении $S=a(y-z)+b(z-x)+c(x-y)\eqno (1)$).
2.Образуем скалярные произведения: $a_1=(p_1,p_1)=2, a_2=(p_1,p_2)=-1, a_3=(p_1,p_3)=-1$.
3.Найдем $A=\max \limits _kf(\varepsilon _k), \varepsilon _k=\exp (i\frac {2\pi k}n), k=1,\dots ,n, f(x)=a_1+a_2x+a_3x^2$( то есть максимальное значение полинома $f(x)$ на корнях степени $n$ из 1). В нашем случае $A=2-\exp (i\frac {2\pi }3)-\exp (i\frac {4\pi }3)=3$.
4.Максимальное значение (1) равно: $\sqrt A=\sqrt 3.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group