В программе Вербицкого школьникам предлагается изучать тензорное произведение векторных пространств по Кострикину-Манину. Я вот думаю, если это дело ещё сверху отполировать категориями и функторами, оно понятней будет? 

Так ведь правда понятнее 

 В категории коммутативных колец тензорное произведение 

 является копроизведением двух объектов.
Гораздо интереснее, что категория, двойственная к категории векторных пространств над фиксированным полем 

, является дифференциальной категорией, где тензорное произведение дает аддитивную симметрическую моноидальную структуру (и это может быть обобщено до модулей над любым кольцом). 
 Для детей, чё.