В программе Вербицкого школьникам предлагается изучать тензорное произведение векторных пространств по Кострикину-Манину. Я вот думаю, если это дело ещё сверху отполировать категориями и функторами, оно понятней будет?

Так ведь правда понятнее

В категории коммутативных колец тензорное произведение

является копроизведением двух объектов.
Гораздо интереснее, что категория, двойственная к категории векторных пространств над фиксированным полем

, является дифференциальной категорией, где тензорное произведение дает аддитивную симметрическую моноидальную структуру (и это может быть обобщено до модулей над любым кольцом).
Для детей, чё.