Это вновь возвращает нас к вопросу о корректности применения аналитических методов в геометрии - допустимо ли вообще аналитическое доказательство в геометрии?
Для этого нужно проверить, что в аналитической модели геометрии выполняются все аксиомы геометрии.
Следует ли это понимать, что никто этим не озадачивался?
Цитата:
Естественно, придётся проверить и пятый постулат ("доказать" его, в вашей терминологии).
Наберусь наглости и поправлю Вас: следует доказать, что аналитическое (читай, информационное) описание 5-го постулата соответствует, т.с., его "визуальности".
Цитата:
После этого мы будем знать, что всё, что можно доказать геометрически, можно доказать и аналитически.
Боюсь, что этого не случится никогда - примерно по тем же причинам, по каким нельзя из длины волны фотона 660 нм аналитически вывести красный цвет.
Цитата:
...нужно пройти обратный путь: от геометрии к алгебре; в частности, нужно построить геометрическую модель поля действительных чисел. Это вполне возможно.
Осмелюсь предположить, что и здесь речь не будет идти о собственно геометрии. Боюсь, что это будет всё то же чисто аналитическое описание, но с использованием математического аппарата, пригодного в отношении геометрии. Вы вполне сможете назвать эту модель геометрической, но не по объективным, а, скорее, по ассоциативным причинам:
Цитата:
А это моё личное дело. Мне они показались вполне геометрическими, и этого достаточно.
Цитата:
К тому же, линия, которую Вы рисуете на бумаге, имеет весьма отдалённое отношение к геометрической прямой: рисунок является физическим объектом, а геометрическая прямая, которую Вы воображаете — это абстрактная логическая конструкция, существующая исключительно в вашей психике. Отождествлять их категорически противопоказано.
Это расхожее заблуждение. Прямую можно не только увидеть, но и вообразить. При этом в обоих случаях мы будем иметь дело не с реальностью, а с её моделью в Сознании. Мысленная абстракция в этом плане ничем не отличается от того, что возникает в Сознании от чувственного созерцания. И это касается вообще восприятия. Мы в этом смысле отделены от реальности "файрволлом" восприятия. Это, кстати, поняли ещё древние. А Беркли на основании такого "расклада" вообще утверждал, что все сущее существует лишь в его сознании, является плодом его воображения. Его никто не смог опровергнуть (а Курт Гёдель позже объяснил, почему). Геометрия относится к этой проблеме тем, что имеет дело с протяженностями, кои является в нашем сознании как феномен. И то, что этому феномену соответствует в реальности - большой вопрос (но уже философский, а не математический). Мы же изучаем лишь информационно-описательную часть построения этого феномена посредством математики, которая в самих феноменах не нуждается, и потому позволяет заглянуть глубже той "ватерлинии", с которой начинается "видимая часть" (простите за аллегорию).
Цитата:
все "визуальные" геометрические примеры и интерпретации на данную тему (к моему удивлению) оказались некорректными, ибо зависели от наблюдателя (выбора системы отсчета)
??? Пример привести сможете?
Тут ничего сложного. Все примеры и графические интерпретации (обычно приводят интерпретации Пуанкаре и Клейна) представляют примеры пространств с внутренней анизотропией, которая таковой является лишь для нас, как внешнего наблюдателя - находящегося вне этого пространства и имеющего евклидово восприятие. Дальше продолжать нужно? В той же модели Пуанкаре дуги являются бесконечными прямыми лишь для внутреннего наблюдателя. Но для него самого его мир вообще продолжает оставаться евклидовым. И для нас, кстати, тоже - просто сжатый по определенному закону и относительно евклидового пространства.
Отсюда, как я понимаю, растут ноги у теории относительности - сама геометрия оказывается относительной априори, ибо зависит от наблюдателя. Евклидову геометрию мы принимаем за условное "начало координат" вынужденно, "по умолчанию" - ввиду евклидовых же законов построения феномена протяженности в нашем Сознании. Но это заведомо субъективная "система координат", а все примеры и интерпретации "геометрии Лобачевского" (и им подобные) приводятся, как заданные относительно евклидового пространства. Поэтому в отношении "геометрии Лобачевского" можно говорить только о математическом аппарате, его применимости - для этого есть основания. А собственно геометрии, как бы и нет...
Цитата:
И это замечательно. Если мы обнаружили некие объекты и отношения между ними, которые удовлетворяют аксиомам геометрии, то мы получаем полное право называть всё это геометрией и использовать весь аппарат геометрии. Именно благодаря этой неопределённости природы исходных понятий математика имеет столь широкую область применения. Представьте себе, что для счёта яблок требовались бы числа "яблочной" природы, а для счёта гаек — числа "гаечной" природы, и между ними не было бы ничего общего…
Важны свойства объектов и отношений, а не их "природа".
Позволю себе коротко резюмировать: математика позволяет оперировать понятиями, суть которых остается не объяснённой.
Несомненно, это большое достоинство математики. Но к ответу на поставленный в теме вопрос это не приближает...
Цитата:
Однако, современное состояние математики таково, что в ней вполне можно обойтись без использования геометрических понятий, ограничившись чисто математической терминологией.
Откуда взялось противопоставление геометрической и математической терминологии? Геометрическая терминология является вполне математической, поскольку используется в математике.
Нет никакого противопоставления. Геометрическая терминология присутствует в математике исторически - по факту происхождения математики из геометрии. Но математика вполне может обойтись и без геометрических терминов (алгоритмические языки в пример).
Цитата:
Из этого должен последовать вывод, что математика (и вообще, логика) в принципе не содержит в себе возможности объяснить, почему постоянство разности двух линейных функций с равными коэффициентами при X визуально будет выглядеть именно так, как мы это видим и называем параллельностью...
Путаете физический мир с его абстрактными логическими моделями.
Повторятся не буду, про физический мир сказано выше - что он воспринимается Сознанием через построение моделей.
Цитата:
В связи с "конечномерностью" ещё один "философский вопрос":
- может ли конечномерное пространство существовать самостоятельно - не как составляющее пространства большей мерности? Например, может ли плоскость существовать "сама по себе" - без содержания в пространстве 3-х и большей мерности?
В каком смысле "существовать"? В физическом мире никаких плоскостей нет. Плоскости существуют исключительно как абстрактные логические конструкции в человеческой психике. И почему бы этим абстрактным "плоскостям" не существовать "самим по себе"? Впрочем, вполне возможно, что в вашей психике они действительно "сами по себе" не существуют.
Плоскость задается в трёхмерной системе координат. Если её нет, нельзя про плоскость сказать, что она плоскость. Про неё в этом случае вообще ничего нельзя сказать. Полагаю, что в этом случае её и не может быть - без "среды", частью которой она и является...
, где 
- фиксированная точка, 
- направляющий вектор, 
- параметр; то есть, говоря проще, прямая - результат сдвига некоторой точки на любые расстояния в некотором фиксированном направлении и в противоположном ему; а параллельные прямые получаются при сдвиге разных точек по одним и тем же направлениям), а с другой стороны - прийти к линейным функциям гораздо быстрее, чем если стартовать с евклидовых аксиом.