Докажите утверждение про компланарность векторов

[Alexander__]

Докажите утверждение:

$$([a,b], [b,c], [c,a]) = (a,b,c)^2$$

Верно ли что тройки векторов $[a,b]$, $[b,c]$, $[c,a]$ и $a, b, c$. -- компланарны одновременно?

---

Насколько я понял тут, в доказательстве нигде не используется компланарность. Поэтому тождество верно для любой тройки векторов $a,b,c$, не обязательно компланарны.

Но постановка как будто намекает, что из первого утверждения следует второе. Пожалуйста, подскажите что я проглядел?

[artempalkin]

Alexander__ в сообщении #1555401 писал(а):

Но постановка как будто намекает, что из первого утверждения следует второе. Пожалуйста, подскажите что я проглядел?

Вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

При этом левая часть равна нулю тогда и только тогда, когда равна нулю правая.

Поэтому особо вариантов не остается :)

[Alexander__]

artempalkin в сообщении #1555404 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1555401 писал(а):

Но постановка как будто намекает, что из первого утверждения следует второе. Пожалуйста, подскажите что я проглядел?

Вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

При этом левая часть равна нулю тогда и только тогда, когда равна нулю правая.

Поэтому особо вариантов не остается :)

Понятно. В целом думал также. Благодарю, что прояснили, что ничего не упустил.

[svv]

Alexander__, я увидел эту Вашу тему и думаю, что следующее рассуждение будет Вам интересно.

Пусть $(a,b,c)\neq 0$. Введём векторы
$p=\dfrac{[b,c]}{(a,b,c)},\; q=\dfrac{[c,a]}{(a,b,c)},\; r=\dfrac{[a,b]}{(a,b,c)}$
Легко проверить, что
$\begin{bmatrix}(p,a)&(p,b)&(p,c)\\(q,a)&(q,b)&(q,c)\\(r,a)&(r,b)&(r,c)\end{bmatrix}=E$,
то есть тройки $p,q,r$ и $a,b,c$ — взаимные базисы.
Матрица в левой части равна произведению матриц из декартовых компонент:
$\begin{bmatrix}p_x&p_y&p_z\\q_x&q_y&q_z\\r_x&r_y&r_z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_x&b_x&c_x\\a_y&b_y&c_y\\a_z&b_z&c_z\end{bmatrix}=E$
Переходя к определителям, получим:
$(p,q,r)(a,b,c)=1$,
откуда следует исходное утверждение.

[Alexander__]

svv в сообщении #1555505 писал(а):

Alexander__, я увидел эту Вашу тему и думаю, что следующее рассуждение будет Вам интересно.

Пусть $(a,b,c)\neq 0$. Введём векторы
$p=\dfrac{[b,c]}{(a,b,c)},\; q=\dfrac{[c,a]}{(a,b,c)},\; r=\dfrac{[a,b]}{(a,b,c)}$
Легко проверить, что
$\begin{bmatrix}(p,a)&(p,b)&(p,c)\\(q,a)&(q,b)&(q,c)\\(r,a)&(r,b)&(r,c)\end{bmatrix}=E$,
то есть тройки $p,q,r$ и $a,b,c$ — взаимные базисы.
Матрица в левой части равна произведению матриц из декартовых компонент:
$\begin{bmatrix}p_x&p_y&p_z\\q_x&q_y&q_z\\r_x&r_y&r_z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_x&b_x&c_x\\a_y&b_y&c_y\\a_z&b_z&c_z\end{bmatrix}=E$
Переходя к определителям, получим:
$(p,q,r)(a,b,c)=1$,
откуда следует исходное утверждение.

Как обычно, здорово вы всё сделали! Верно я понял, что другую тему вы написали вдохновившись биортогональным базисом?

[svv]

Да, совершенно верно.

[Alexander__]

Есть вторая часть задачи:

Докажите, что если векторы $[a,b],[b,c],[c,a]$ компланарны, то они коллинеарны.

---

Если векторы компланарны $[a,b],[b,c],[c,a]$, то $([a,b],[b,c],[c,a])=0$. Ввиду доказанного утверждения $(a,b,c)=0$. Это значит, что они компланарны. Но я не понимаю откуда следует коллинеарность?

[svv]

Итак, Вы показали, что если $[a,b],[b,c],[c,a]$ компланарны, то все векторы $a,b,c$ лежат в одной плоскости. А как, согласно определению, будут направлены их векторные произведения?

[Alexander__]

svv в сообщении #1557083 писал(а):

Итак, Вы показали, что если $[a,b],[b,c],[c,a]$ компланарны, то все векторы $a,b,c$ лежат в одной плоскости. А как, согласно определению, будут направлены их векторные произведения?

Перпендикулярно этой плоскости. Т.е. они коллинеарны. Благодарю за помощь!