Выразить объём параллелепипеда в произвольном базисе

[Alexander__]

Пожалуйста, подскажите правильно ли решена задача.

---

Выразить неориентируемый объём $V$ параллелепипеда, натянутого на векторы $\vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3}$ трехмерного пространства через длины $a_1,a_2,a_3$ его ребер и плоские углы $\alpha_1=\overline{\vec{a_2} \vec{a_3}}$, $\alpha_2=\overline{\vec{a_3} \vec{a_1}}$, $\alpha_3=\overline{\vec{a_1} \vec{a_2}}$.

---

Построим ортонормированный базис $\textbf{e}$. Например, найдём $\vec{e_3}$ (аналогично вычисляются $\vec{e_1},\vec{e_2}$):

$$\vec{e_3}=\frac{[\vec{a_1},\vec{a_2}]}{|[\vec{a_1},\vec{a_2}]|}=\frac{[\vec{a_1},\vec{a_2}]}{a_1 a_2 \sin{\alpha_3}}$$

Далее найдём координаты, например, $\vec{a_1}$ в базисе $\textbf{e}$:

$$ Pr_{\vec{e_1}} \vec{a_1} = \left( \vec{a_1}, \frac{[\vec{a_2},\vec{a_3}]}{a_2 a_3 \sin{\alpha_1}} \right) = \frac{(\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3})}{a_1 a_3 \sin{\alpha_2}} $$

$\vec{e_2}$ и $\vec{e_3}$ содержат $\vec{a_1}$ в векторном произведении, поэтому проекции на них равны нулю. Итак,

$$ \vec{a_1} = \textbf{e} \begin{bmatrix} \frac{(\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3})}{a_2 a_3 \sin{\alpha_2}} \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$

Аналогично для векторов $\vec{a_2}$ и $\vec{a_3}$.

Ориентированный объём в произвольном базисе находится ($V(\textbf{e}) = 1$, т.к. базис ортонормированный):

$$ V(\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}) = \begin{vmatrix} \frac{(\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3})}{a_2 a_3 \sin{\alpha_1}} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{(\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3})}{a_1 a_3 \sin{\alpha_2}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3})}{a_1 a_2 \sin{\alpha_3}} \\ \end{vmatrix} \cdot V(\textbf{e}) = \frac{(\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3})^3}{a_1^2 a_2^2 a_3^2 \sin{\alpha_1} \sin{\alpha_2} \sin{\alpha_3}}$$

[nnosipov]

Alexander__ в сообщении #1543456 писал(а):

Пожалуйста, подскажите правильно ли решена задача.

У Вас в ответе фигурируют не только длины ребер и углы. По-видимому, в задаче имелось в виду использование матрицы Грама.

[Null]

Alexander__ в сообщении #1543456 писал(а):

Построим ортонормированный базис $\textbf{e}$. Например, найдём $\vec{e_3}$ (аналогично вычисляются $\vec{e_1},\vec{e_2}$):

$$\vec{e_3}=\frac{[\vec{a_1},\vec{a_2}]}{|[\vec{a_1},\vec{a_2}]|}=\frac{[\vec{a_1},\vec{a_2}]}{a_1 a_2 \sin{\alpha_3}}$$

Не похоже на ортонормированный базис.

[мат-ламер]

Alexander__ в сообщении #1543456 писал(а):

Пожалуйста, подскажите правильно ли решена задача.

Извините, ваше решение просто нет времени разбирать. Просто пришла такая мысль. В ортогонормированном базисе объём параллелепипеда выражается через смешанное произведение. При переходе к произвольному базису объём искажается пропорционально определителю матрицы перехода.

Хотя в заголовке говорится про произвольный базис, но из текста задачи этого не видно. Может речь идёт об стандартном ортонормированном базисе? Возможно я не понял условие.

-- Сб дек 18, 2021 23:52:40 --

мат-ламер в сообщении #1543464 писал(а):

В ортогонормированном базисе объём параллелепипеда выражается через смешанное произведение.

Извиняюсь. это верно для любого базиса.

[novichok2018]

Кстати, это начало пути к классической задаче о выражении объёма многогранника через его характеристики. Длинная история, классики решали, насколько я помню (это важное уточнение) окончательную формулу получил Сабитов из МГУ относительно недавно.

[мат-ламер]

Поясню свою мысль из предыдущего поста. К сожалению решение топик-стартера не разобрал. Поэтому не знаю, правильный ответ получился или нет. Но даже. если правильный, то, во-первых, он усложнён. Ибо объём параллелепипеда тривиальным образом выражается через смешанное произведение. А, во-вторых, это смешанное произведение (которое присутствует в ответе топик-стартера) ещё надо найти. Его можно подсчитать либо непосредственно, исходя из данных задачи. Либо через определитель матрицы Грама (матрицы попарных скалярных произведений).

[zykov]

Хорошо известно, что детерминант даёт объём параллелепипеда.

[Alexander__]

Null в сообщении #1543463 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1543456 писал(а):

Построим ортонормированный базис $\textbf{e}$. Например, найдём $\vec{e_3}$ (аналогично вычисляются $\vec{e_1},\vec{e_2}$):

$$\vec{e_3}=\frac{[\vec{a_1},\vec{a_2}]}{|[\vec{a_1},\vec{a_2}]|}=\frac{[\vec{a_1},\vec{a_2}]}{a_1 a_2 \sin{\alpha_3}}$$

Не похоже на ортонормированный базис.

Мда.. Простая проверка действительно показывает, что векторы даже не ортогональные:

$$ ([a_2,a_1],[a_2,a_3]) = (a_2,a_1,[a_2,a_3]) = |bac-cab| = a_1 (a_2,[a_2,a_3]) - a_2 (a_1, [a_2,a_3]) = - a_2 (a_1, a_2,a_3) $$

Я в голове держал биортогональный базис ([1], с.42):



Видимо, тут имелось ввиду, что исходный базис ортогональный?

[1] Д. В. БЕКЛЕМИШЕВ. КУРС АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. УЧЕБНИК. Издание тринадцатое, исправленное

[xagiwo]

Alexander__ в сообщении #1543580 писал(а):

Видимо, тут имелось ввиду, что исходный базис ортогональный?

Нет. Вы знаете определение биортогонального базиса?

[Alexander__]

nnosipov в сообщении #1543458 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1543456 писал(а):

Пожалуйста, подскажите правильно ли решена задача.

У Вас в ответе фигурируют не только длины ребер и углы. По-видимому, в задаче имелось в виду использование матрицы Грама.

Да, точно. "...в случае трёхмерного пространства определитель Грама трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения...". Определитель писать не буду, запишу сразу ответ:

$$ a_1 a_2 a_3 \sqrt{ 1+2 \cos{\alpha_1} \cos{\alpha_2} \cos{\alpha_3} -\cos^2{\alpha_1} - \cos^2{\alpha_2} - \cos^2{\alpha_3} } $$

-- 19.12.2021, 19:26 --

xagiwo в сообщении #1543582 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1543580 писал(а):

Видимо, тут имелось ввиду, что исходный базис ортогональный?

Нет. Вы знаете определение биортогонального базиса?

Оттуда же:



т.е. (другими словами оттуда же) это взаимные векторы. Я проглядел, что скалярное произведение векторов из 2х разных базисов. Тогда биортогональные базисы для решения вообще не причём.