Множества и объекты

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1521966 писал(а):

xagiwo в сообщении #1521958 писал(а):

Может, рассказать ТСу про связанные/свободные переменные?

Рассказывайте. Это лучше, чем невнятные "постоянные" и "переменные" в невнятных обсуждениях типа того, какие значения может принимать $x$ в формуле $x\in\{x\}$.

А вот, между прочим, я так и не понял, какие значения он может принимать в этой формуле. У меня в молодости был один знакомый, который говорил: "Ты не так живёшь!" - Я спрашивал: "А как надо жить? -- "Тебе ещё объяснять?"

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov
Мне всё это обсуждение кажется недостаточно внятным, поэтому я не очень хочу его комментировать.
Скажу лишь, что в формулу $x\in\{x\}$ можно подставить вместо $x$ любой объект <который в принципе может быть элементом множества>, и она будет верной.
Можно сказать, что справедливо $\forall x,\,x\in\{x\}$.
Можно, конечно, зафиксировать $x$, тогда $\{x\}$ будет фиксированным множеством, а $x\in\{x\}$ верным утверждением. Тогда вместо $x$ уже не нужно ничего подставлять.

[tolstopuz]

Надо различать определения и утверждения. Определения вводят новые символы, утверждения говорят что-то о существующих.

«Пусть $x\in\mathbf{Z}$» вводит новый символ $x$.
«Пусть $X=\{a,b,c\}$» вводит сразу четыре новых символа - множество $X$ из трёх элементов и имена этих трёх элементов. Чему равны $a$, $b$ и $c$, не оговаривается, потому что их свойства дальше использоваться не будут, только тот факт, что они различны, поэтому, если читателю зачем-то необходимо, он может сам придумать для них значения, например, $1,2,3$ или $\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}$.
«$x\in\{x\}$» не вводит нового символа, а утверждает что-то о ранее введённом символе $x$. Вот там, ранее, и надо искать информацию о том, какие значения может принимать $x$.

[Vladimir Pliassov]

beroal в сообщении #1521989 писал(а):

В выражении $\exists e(\phi)$ ($\phi$ — какая-нибудь логическая формула, например, $e\in A$), $e$ всегда переменная. Синтаксис не разрешает использовать там литерал или выражение.

Кстати, $\exists e(\phi)$ может писаться как $(\exists e)\phi$ или $(\exists e)(\phi)$. А я предпочитаю писать его как $\exists e, \phi$.

Спасибо, все понятно. Немного смущает только то, что не разрешается использовать при $\exists$ выражение, в том смысле, что мне это и в голову не приходило, а теперь я думаю, как бы можно было это себе представить.

[xagiwo]

Я, кажеця, проследил хронологию преступления:

1. Приходит tolstopuz и задаёт множество $X$ вместе с его элементами $a, b, c, d, e$
   tolstopuz в сообщении #1521650 писал(а):

   Пусть $X=\{a,b,c,d,e\}$

2. С муками Vladimir Pliassov формулирует некоторое достаточное условие неравенства двух множеств, имея ввиду заданное tolstopuzом $e$:
   Vladimir Pliassov в сообщении #1521924 писал(а):

   $$e\notin A, e\in E\to A\ne E,$$

3. Приходит Pphantom и предлагает использовать кванторы.
4. Vladimir Pliassov ставит квантор над $e$, а никто и не против.
5. Vladimir Pliassov не понимает, что значит $e$.

-- 09.06.2021, 22:47 --

Короче, либо мы забываем про то, что множество $X$ и $a, b, c, d, e$ у нас вообще были и считаем, что вне формулы $\exists e \,(e \notin A, e \in E)$ буква $e$ не встречается нигде(то есть совсем нигде), и тогда это формула значит просто "мы можем подставить что-то вместо $e$ так, чтобы выражение $e \notin A, e \in E$ стало истинным" и всё, вроде, хорошо

Либо мы оставляем $X, a, b, c, d, e$ и не пишем $\exists e \,(e \notin A, e \in E)$ вообще и заменяем его чем-нибудь вроде $\exists t \,(t \notin A, t \in E)$.

Предлагаю второй вариант.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1522005 писал(а):

«Пусть $X=\{a,b,c\}$» вводит сразу четыре новых символа - множество $X$ из трёх элементов и имена этих трёх элементов. Чему равны $a$, $b$ и $c$, не оговаривается, потому что их свойства дальше использоваться не будут, только тот факт, что они различны, поэтому, если читателю зачем-то необходимо, он может сам придумать для них значения, например, $1,2,3$ или $\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}$.

Это Вы меня проверяете? $a, b, c$ не обязательно различны.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1522022 писал(а):

Это Вы меня проверяете? $a, b, c$ не обязательно различны.

Ну, я выше говорил так: из утверждения $X=\{a,b,c\}$ логически не следует различность $a,b,c$, но она может подразумеваться автором.
tolstopuz это конкретизирует, когда именно такое происходит: если автор пишет "Пусть $X=\{a,b,c\}$" (т.е. объекты $X,a,b,c$ никогда ранее не упоминались и впервые вводятся этой фразой), то он обычно подразумевает, что $a,b,c$ различны.
Пожалуй, это вопрос соглашений, и в таком соглашении есть резон.
Важно здесь то, что если равенство $X=\{a,b,c\}$ записано в другом контексте, то в нём, понятное дело, $a,b,c$ не обязательно различны.

-- 09.06.2021, 23:17 --

К слову, само слово "пусть" в математическом тексте свидетельствует, что он записан не абсолютно строго, и поэтому в нём могут подразумеваться какие-то неформальные соглашения.

Абсолютно строгий математический текст (на уровне мат.логики) не содержит слов вообще, только символы.
Такие тексты всем хороши, кроме одного: их невозможно читать.
Поэтому математики работают всё-таки с читаемыми текстами, где есть слова и неформальные соглашения. Эти соглашения, обычно, даже не требуется формулировать, их понимание приходит с опытом.

[Vladimir Pliassov]

Я опять дал маху.

[xagiwo]

Vladimir Pliassov в сообщении #1521948 писал(а):

Достаточно. Тогда в выражении

$$(\exists e \; \; e\notin A, e\in E)\to A\ne E$$

$e$ это постоянный объект?

А у Вас останется этот вопрос, если заменить это выражение на $(\exists t \; \; t\notin A, t\in E)\to A\ne E$? Просто если нет, то достаточно сказать, что нехорошо засовывать сразу после квантора что-то, что имеет определённый смысл вне этого квантора — это то же самое, что написать $\exists 2 \; \;2\cdot2=4$. Не понятно, что в таком случае вообще значит квантор.

[tolstopuz]

xagiwo в сообщении #1522017 писал(а):

Приходит tolstopuz и задаёт множество $X$ вместе с его элементами $a, b, c, d, e$

tolstopuz в сообщении #1521650 писал(а):

Пусть $X=\{a,b,c,d,e\}$

Все намного смешнее. Началось с поста ТС:

Vladimir Pliassov в сообщении #1520409 писал(а):

Пусть нам дана совокупность $M$ множеств $X, Y$: $M=\{X, Y\}$, где $X=\{a, b, c\},\; Y=\{d, e, f, g\}$, и при этом $c=d$.

Мы все хором убеждали его, что надо сначала определить $a,b,c,d,e,f,g$, и когда почти убедили, я нашел в "Топологии без слез" аналогичный пример.

[xagiwo]

tolstopuz
Но это уже слабо связано с текущей ситуацией. Я-то к тому, что никто, кажется, не заметил, что ТС поставил квантор там, где ему лучше бы не быть и из-за этого могло возникнуть недопонимание.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1522022 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1522005 писал(а):

«Пусть $X=\{a,b,c\}$» вводит сразу четыре новых символа - множество $X$ из трёх элементов и имена этих трёх элементов

Это Вы меня проверяете? $a, b, c$ не обязательно различны.

Вы опять ходите по кругу.

Vladimir Pliassov в сообщении #1521835 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1521650 писал(а):

Цитата:

Пусть $X=\{a,b,c,d,e\}$ и $\mathcal{T}_2=\{X,\emptyset,\{a\},\{c,d\},\{a,c,e\},\{b,c,d\}\}$. Тогда $\mathcal{T}_2$ не является топологией на $X$, так как объединение $\{c,d\}\cup\{a,c,e\}=\{a,c,d,e\}$ двух членов $\mathcal{T}_2$ не принадлежит $\mathcal{T}_2$

Сколько элементов во множестве $X$? Приведите пример элемента этого множества.

В множестве $X$ по результатам голосования пять элементов. Пример элемента: $a$.

Вы пробовали читать какие-нибудь книги? Давайте перейдем от пустых рассуждений к разбору реального математического текста.

[Vladimir Pliassov]

xagiwo в сообщении #1522017 писал(а):

Либо мы оставляем $X, a, b, c, d, e$ и не пишем $\exists e \,(e \notin A, e \in E)$ вообще и заменяем его чем-нибудь вроде $\exists t \,(t \notin A, t \in E)$.

Предлагаю второй вариант.

Если

Vladimir Pliassov в сообщении #1521983 писал(а):

$\exists \,e$ означает "среди всевозможных объектов есть объект $e$, который ..."

то написать

$$(\exists e\;e\notin A\wedge e\in E)\to A\ne E?$$

это то же самое, что написать

$$(\exists e\in \mathbb U\;e\notin A\wedge e\in E)\to A\ne E,$$

где $\mathbb U$ самый общий универсум. Но даже если написать

$$(\exists e\in X\;e\notin A\wedge e\in E)\to A\ne E$$

(не знаю, надо ли поставить запятую после $X$), то это будет слишком много, так как в ситуации $X=\{a, b, c, d, e\}$, которая нам дана изначально, и так ясно, что $e\in X$, так что надо убрать $\in X$. Квантор тоже надо убрать, потому что и так ясно, что $\exists\, e$, раз оно находится в множестве $X$. Останется

$$e\notin A\wedge e\in E\to A\ne E.$$

[xagiwo]

Vladimir Pliassov
Забудьте. Лучше ответьте tolstopuz

[Aritaborian]

Vladimir Pliassov в сообщении #1522039 писал(а):

где $\mathbb U$ самый общий универсум

Нет такого понятия. Не буду даже просить вас его определить. Вы ответите что-то вроде: «Ну, это вообще всё!».