Равномерно заряженный по поверхности цилиндр

[drug39]

Ещё проще задача. Из категории блиц.
Прямой круговой цилиндр равномерно заряжен по поверхности с поверхностной плотностью заряда $\sigma$. Найти поле вблизи центров оснований цилиндра. Высота цилиндра $h$, диаметр $D$. Отдельный вариант при $h=D/2$.

[DimaM]

(Оффтоп)

$E=2\pi\sigma\left(1-\dfrac{D}{\sqrt{D^2+4h^2}}\right)$,
$E=\pi\sigma(2-\sqrt{2})$.

-- 12.01.2021, 17:00 --

А в чем тут олимпиадность?

[drug39]

DimaM в сообщении #1500413 писал(а):

А в чем тут олимпиадность?

в том, что это блиц.

[DimaM]

drug39 в сообщении #1500415 писал(а):

в том, что это блиц

Ну тогда ладно, чем бы дитя ни тешилось, лишь бы в институт поступило

[drug39]

(Оффтоп)

DimaM в сообщении #1500413 писал(а):

$E=2\pi\sigma\left(1-\dfrac{D}{\sqrt{D^2+4h^2}}\right)$
-- 12.01.2021, 17:00 --

Так у Вас неправильно. При $D\to\infty \,\,\, E\to 0$.

[StaticZero]

drug39 в сообщении #1500875 писал(а):

При $D\to\infty \,\,\, E\to 0$.

Вы так думаете?

[drug39]

StaticZero в сообщении #1500883 писал(а):

drug39 в сообщении #1500875 писал(а):

При $D\to\infty \,\,\, E\to 0$.

Вы так думаете?

"Это у него так, т.е. неправильно.

[realeugene]

drug39 в сообщении #1500875 писал(а):

Так у Вас неправильно. При $D\to\infty \,\,\, E\to 0$.

При $D \to \infty$ $q \to \infty$.

Там только забыта диэлектрическая проницаемость, а в остальном верно.

[StaticZero]

drug39 в сообщении #1500904 писал(а):

Это у него так, т.е. неправильно.

В смысле, где? Если $\sigma = \operatorname{const}$.

[realeugene]

А что именно неправильно? При постоянных других параметрах там в пределе $D \to \infty$ нулевая напряженность, да.

(решение)

Сместим цилиндр вдоль оси на $\Delta x$:

$$E=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\varphi^- - \varphi^+}{\Delta x}$$

$$\varphi^- = \frac{\pi D \sigma \Delta x}{\varepsilon D/2}$$

$$\varphi^+ = \frac{\pi D \sigma \Delta x}{\varepsilon \sqrt{D^2/4 + h^2}}$$

[StaticZero]

А, я понял. Если встать близко к цидиндру конечной высоты и огромного диаметра, то почти весь заряд будет сосредоточен на его основаниях, которые в точке наблюдения будут выглядеть, как две заряженные плоскости, стоящие друг за другом на расстоянии $h$.

[drug39]

В условии не сказано какое поле следует найти, внешнее или внутреннее. Поскольку в элементарной геометрии цилиндр - это тело, разумеется, надо посчитать внешнее.

[DimaM]

drug39 в сообщении #1500875 писал(а):

Так у Вас неправильно. При $D\to\infty \,\,\, E\to 0$.

В этом случае получается примерно поле в центре кольца, которое близко к нулю.

А у вас какой ответ?

-- 15.01.2021, 13:55 --

Я от трубы поле нашел.
Если еще есть основания, нужно добавить $2\pi\sigma$ от ближнего и $2\pi\sigma\left(1-2h/\sqrt{D^2+4h^2}\right)$ от дальнего.

[realeugene]

DimaM в сообщении #1500999 писал(а):

Я от трубы поле нашел.

Я тоже не заметил основания. Иллюстрация была бы полезна всё же.

[drug39]

DimaM в сообщении #1500999 писал(а):

Я от трубы поле нашел.
Если еще есть основания, нужно добавить $2\pi\sigma$ от ближнего и $2\pi\sigma\left(1-2h/\sqrt{D^2+4h^2}\right)$ от дальнего.

Тогда верно.
Задача на несколько минут. Тут важно как решать. В олимпиадном решении следовало бы максимально обойтись без интегрирования.