Помогите разобраться : МВМ

[Xaositect]

pc20b в сообщении #149915 писал(а):

Разрешите теперь мне Вас разочаровать : ни результаты Пригожина, ни результаты фон Неймана не дают пока оснований полагать, что гипотеза самозарождения жизни получила, наконец, математическую основу - в неравновесной термодинамике, в теории самосовершенствующихся автоматов ...

Я читал книгу фон Неймана о самовоспроизводящихся автоматах, но сейчас речь не об этом. На приличный перевод сейчас времени нет, так что надеюсь на Ваше знание английского.

Цитата:

In set theory and related branches of mathematics, the '''von Neumann universe''', or '''von Neumann hierarchy of sets''', denoted '''V''', is the class of all sets, divided into a transfinite hierarchy of individual sets. It is also sometimes called the '''cumulative hierarchy'''.

This may be defined by transfinite recursion as follows:

* Let $V_0$ be the $\emptyset$.
* For any ordinal number $\alpha$, let $V_{\alpha+1}$ be the power set of $V_{\alpha}$.
* For any limit ordinal $\lambda$, let $V_{\lambda}$ be the union of all the $V$-stages so far: $V_\lambda = \bigcup_{\alpha < \lambda} V_\alpha$.
* Finally, let $V$ be the union of all the $V$-stages: $V = \bigcup_{\alpha} V_\alpha$.
...
Note that every individual stage $V_{\alpha}$ is a set, but their union $V$ is a proper class.

[pc20b]

Xaositect в сообщении #149937 писал(а):

но сейчас речь не об этом.

Вы показали кусочек иерархии построения модели множеств в "универсуме" фон Неймана, являющихся классом $V$ (приведенный в википедии).

Как Вы упомянули выше, от простого к сложному. Тем не менее, возможна и другая, пожалуй, нетривиальная иерархия, которую можно просто выразить так : часть равна целому. Такая модель также, с одной стороны, уходит корнями в глубокую древность, с другой - мотивируется современными совсем "свежими" результатами решения нелинейных дифференциальных уравнений в ОТО.

В ней каждое множество является элементом себя, каждый элемент является МВМ. Довольно любопытно.

[Xaositect]

pc20b в сообщении #149951 писал(а):

Как Вы упомянули выше, от простого к сложному. Тем не менее, возможна и другая, пожалуй, нетривиальная иерархия, которую можно просто выразить так : часть равна целому. Такая модель также, с одной стороны, уходит корнями в глубокую древность, с другой - мотивируется современными совсем "свежими" результатами решения нелинейных дифференциальных уравнений в ОТО.

Не знаком с современными результатами теории нелинейных дифференциальных уравнений, но, боюсь, Ваша философская интерпретация этих результатов по меньшей мере необщепринята. Возможно, вы имеете в виду нечто, связанное с фракталами? Не могли бы Вы дать ссылки на статьи с математическими результатами и философскими рассуждениями?

Вообще, я больше склоняюсь к конструктивному взгляду на математику, в области, в которой я начинаю работать(теория сложности), это наиболее естественная точка зрения.

[pc20b]

Xaositect в сообщении #149965 писал(а):

Не могли бы Вы дать ссылки на статьи с математическими результатами и философскими рассуждениями?

Статья одна : www.jetp.ac.ru/cgi-bin/dn/r_128_300.pdf

[pc20b]

AD писал(а):

Теорема. Если $U$ - множество, то $|2^U|>|U|$.

Ещё я вот что не понимаю. Пусть $U$ - множество. Аксиоматическое понятие.Задается лишь своими элементами. О них не предполагается никаких сведений, кроме того, что они есть. Построим множество всех его подмножеств, МВП, $2^U$. Его мощность $|2^U| =2^{|U|}$. Это - множество. Скажите, а что мешает продолжить эту процедуру и строить МВП этого множества?

Если никаких препятствий нет, то возникает забавная ситуация : МВП любого множества "ультраконтинуально" :

Пусть есть множество $M_1$ c $|M_1|=1$. У его МВП $M_2$ : $|M_2|=2^1$. Строим его МВП $M_3$ мощностью $|M_3|=2^{2^1}$ и т.д. Получаем множество, мощность которого - ультракардинал.

Более того, если исходное множество $M_1=\emptyset$, то по сути эта процедура реализует представление $0=\infty$.

[AD]

pc20b писал(а):

Скажите, а что мешает продолжить эту процедуру и строить МВП этого множества?

Поздравляю с открытием Америки. Ничто не мешает. Стройте сколько вам угодно. Будете получать все более и более крупные множества. МВПМВП, МВПМВПМВП, ...

pc20b писал(а):

МВП любого множества "ультраконтинуально"

Множество $\varnothing$ имеет множество подмножеств $2^\varnothing=\{\varnothing\}$. Не понимаю, почему вы называете это одноэлементное множество "ультраконтинуальным".

pc20b писал(а):

по сути эта процедура реализует представление $0=\infty$.

Такие фразы я понимать отказываюсь. Считаю, что это вы так, сами с собой разговаривали.


P.S. Мелкая придирка:

pc20b писал(а):

Пусть есть множество $M_1$ c $|M_1|=1$.

pc20b писал(а):

если исходное множество $M_1=\emptyset$,

Противоречите себе однако ...

[Xaositect]

pc20b в сообщении #150007 писал(а):

Пусть есть множество $M_1$ c $|M_1|=1$. У его МВП $M_2$ : $|M_2|=2^1$. Строим его МВП $M_3$ мощностью $|M_3|=2^{2^1}$ и т.д. Получаем множество, мощность которого - ультракардинал.

Все множества $M_i$ будут конечными, и для перехода даже не к таинственным "ультракардиналам", а к вполне обычным алефам, нужен трансфинитный шаг, нужна возможность представить эту бесконечную последовательность как единое целое.

[pc20b]

AD в сообщении #150014 писал(а):

Противоречите себе однако ...

Да, согласен. Я имел в виду частный случай множества из одного элемента, равного нулю, а не пустое множество. Наверно, это "саморазмножение" символически выглядит так : $1\to \infty$.

Добавлено спустя 9 минут 56 секунд:

Xaositect в сообщении #150020 писал(а):

Все множества будут конечными, и для перехода даже не к таинственным "ультракардиналам", а к вполне обычным алефам, нужен трансфинитный шаг, нужна возможность представить эту бесконечную последовательность как единое целое.

Да, он подразумевался : после построения множества алеф нуль "строится" множество всех его подмножеств, которое уже алеф. Но на этом трансфинитная процедура "саморазмножения" не заканчивается, становится "ультраконтинуальной", характеризуемой ультракардиналом.

Раз Вы говорите, что это не запрещено, то вопрос состоит в том, почему теорема Кантора о множестве всех подмножеств ограничивается лишь первой итерацией.

Добавлено спустя 17 минут 25 секунд:

И дуальный ему вопрос : почему бы не считать, что перебор элементов множества (при построении МВП) не увеличивает числа элементов МВМ. Именно вследствие абсурдизации результата перебора при построении МВП, если число итераций растет неограниченно..

AD в сообщении #150014 писал(а):

Стройте сколько вам угодно. Будете получать все более и более крупные множества. МВПМВП, МВПМВПМВП, ...

Ссылка на МВП(МВП ... (МВП) ...), наверно, не аргумент, т.к. это тоже МВП.

[Xaositect]

pc20b в сообщении #150025 писал(а):

Да, он подразумевался : после построения множества алеф нуль "строится" множество всех его подмножеств, которое уже алеф. Но на этом трансфинитная процедура "саморазмножения" не заканчивается, становится "ультраконтинуальной", характеризуемой ультракардиналом.

Я так и не понял, что Вы называете "ультракардиналом"
Я понимаю, что после $\aleph_0$ процедура не заканчивается, но для перехода от конечных множеств к $\aleph_0$ требуется нечто принципиально отличное от того, что было раньше. Потом такие же шаги потребуются для перехода от последовательности $\beth_0 = \aleph_0$, $\beth_1 = 2^{\aleph_0}$, $\beth_2 = 2^{2^{\aleph_0}}$... к следующей ступени, $\beth_{\omega}$. И такие переходы будут встречаться постоянно. Потом начнутся переходы, связанные уже не с простыми последовательностями, а с последовательностями последовательностей: $\beth_0$,$\beth_1$,...$\rightarrow\beth_{\omega}$,$\beth_{\omega+1}$,...$\rightarrow\beth_{2\omega}$,$\beth_{2\omega+1}$,...(бесконечная последовательность трансфинитных переходов)$\Rightarrow\beth_{\omega^2}$, трансфинитный переход нового типа

Добавлено спустя 5 минут 3 секунды:

pc20b в сообщении #150025 писал(а):

Раз Вы говорите, что это не запрещено, то вопрос состоит в том, почему теорема Кантора о множестве всех подмножеств ограничивается лишь первой итерацией.

Нет. Практически в любом учебнике следствием теоремы Кантора указывается то, что не существует максимального кардинала, так как для каждого кардинала существует больший его. Для каждого кардинала существует бесконечная(счетная) последовательность кардиналов над ним: $|A|<2^{|A|}<2^{2^{|A|}}<\dots$ и даже бесконечная трансфинитная последовательность, строящаяся так, как указано выше.

Добавлено спустя 50 секунд:

pc20b в сообщении #150025 писал(а):

Ссылка на МВП(МВП ... (МВП) ...), наверно, не аргумент, т.к. это тоже МВП.

Это МВП другого множества.

[pc20b]

Xaositect писал(а):

Я так и не понял, что Вы называете "ультракардиналом"

Это чисто интуитивное понятие, то, что идет вслед за измеримыми, неизмеримыми, недостижимыми и т.д. кардиналами. В изначальной мысли должен характеризовать мощность МВМ, формально отображающего мир в целом.

[AD]

pc20b писал(а):

почему бы не считать, что перебор элементов множества (при построении МВП) не увеличивает числа элементов МВМ.

Почему бы не считать, что $2+2=5$? Нет, ну правда, ну почему? Для меня лично тема исчерпана, а ваши интуитивные представления меня лично не интересуют.

[pc20b]

AD в сообщении #150036 писал(а):

Почему бы не считать, что $2+2=5$ ? Нет, ну правда, ну почему? Для меня лично тема исчерпана

Да, теория множеств, видно, "ревнивая" тема. Большое спасибо за разъяснения.

[ewert]

Xaositect писал(а):

pc20b в сообщении #150025 писал(а):

Ссылка на МВП(МВП ... (МВП) ...), наверно, не аргумент, т.к. это тоже МВП.

Это МВП другого множества.

автор же вроде уже сказал, что не желает видеть разницы между подмножествами и элементами

[pc20b]

Xaositect в сообщении #150033 писал(а):

Ссылка на МВП(МВП ... (МВП) ...), наверно, не аргумент, т.к. это тоже МВП.

Это МВП другого множества.

Ваша логика понятна, но не единственна : на это "размножение" можно смотреть и с позиций данного множества : ведь "сказано" : множество всех подмножеств.И уж тем более Ваше возражение будет, очевидно, неприменимо к выбору МВП из множества всех множеств.

[AD]

pc20b писал(а):

ведь "сказано" : множество всех подмножеств

pc20b, скажите честно: вы утверждаете, что для любого множества $U$ $2^{2^U}\subset 2^U$?
[да/нет]