Полуторалинейная форма и сопряженные преобразования

[Vladimir Pliassov]

В сообщении демонстрируется тождество $(\textbf A\textbf x, \textbf y)\equiv \textbf A(\textbf x; \textbf y)$ при помощи использования при преобразовании $\textbf A\textbf x$ в матричной форме умножения матрицы преобразования на вектор-строку $x^T$ слева,

а также тождество $(\textbf x, \textbf A^*\textbf y)\equiv\textbf A(\textbf x; \textbf y)$, где матрицей преобразования $\textbf A^*$ является не матрица, транспонированная и комплексно сопряженная к матрице преобразования $\textbf A$ (как у Гельфанда), а только комплексно сопряженная к ней.

1.

Пусть в комплексном евклидовом пространстве по ортонормированному базису вектор $\textbf x$ имеет координаты $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n$, а вектор $\textbf y$ координаты $\eta_1, \eta_2, \ldots, \eta_n$ .

Чтобы получить полуторалинейную форму $\textbf A(\textbf x; \textbf y)$, можно умножить ее матрицу $A$ слева на координаты вектора $\textbf x$, а справа на ряд чисел, комплексно сопряженных с соответствующими координатами вектора $\textbf y$:

$$(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n)\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1 n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2 n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n 1}& a_{n 2}& \cdots& a_{n n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \overline\eta_1\\ \overline\eta_2\\ \vdots\\ \overline\eta_n \end{pmatrix}= \textbf A(\textbf x; \textbf y). \eqno {(1)}$$

Назовем вектор, координаты которого по тому же базису комплексно сопряжены с соответствующими координатами вектора $\textbf y$, комплексно сопряженным с вектором $\textbf y$ и обозначим его $\overline {\textbf y}$, его матричное выражение, соответственно, обозначим $\overline y$. Матричные выражения вектора $\textbf x$ обозначим $x$ и $x^T$.

Теперь можно представить (1) как

$$x^TA\overline y=\textbf A(\textbf x; \textbf y).\eqno {(2)} $$

Перемножение в левой части этого равенства может осуществляться в двух вариантах, при первом варианте

$$(x^TA)\overline y=\textbf A(\textbf x; \textbf y), \eqno {(3)}$$

при втором варианте

$$x^T(A\overline y)=\textbf A(\textbf x; \textbf y).\eqno {(4)}$$

Возьмем первый вариант.

Если в левой части (3) выражение $(x^TA)$ представить как линейное преобразование (обозначим его $\textbf A$) вектора $\textbf x$ в матричной форме, которое осуществляется умножением матрицы $A$ на вектор-строку $x^T$ слева, то равенство (3) можно представить как

$$(\textbf A\textbf x, \textbf y)=\textbf A(\textbf x; \textbf y).$$

Таким образом, благодаря использованию при преобразовании $\textbf A$ умножения матрицы $A$ на вектор-строку $x^T$ слева, тождество скалярного произведения $(\textbf A\textbf x, \textbf y)$ и полуторалинейной формы $\textbf A(\textbf x; \textbf y)$ не пришлось даже доказывать: мы просто увидели, что в матричной форме получение $(\textbf A\textbf x, \textbf y)$ и $\textbf A(\textbf x; \textbf y)$ может происходить совершенно одинаково, что и является подтверждением этого тождества.


(Если бы мы не употребили умножение матрицы $A$ на вектор $\textbf x$ в матричной форме слева, нам пришлось бы, например, доказывать так.

$$(x^TA)=(A^Tx)^T \rightarrow (x^TA)\overline y=(A^Tx)^T\overline y.$$

Представим выражение $A^Tx$ как преобразование $\textbf A$ вектора $\textbf x$ в матричной форме, которое осуществляется умножением матрицы $A^T$ преобразования $\textbf A$ на вектор-столбец $x$ справа. Тогда

$$(\textbf A\textbf x, \textbf y)=(A^Tx)^T\overline y=(x^TA)\overline y=\textbf A(\textbf x; \textbf y).$$

То есть нам пришлось бы сначала транспонировать матрицу $A$ и вектор-строку $x^T$, затем перемножать $A^T$ и $x$, после этого снова транспонировать, на этот раз полученное произведение $A^Tx$, и только после этого обратить внимание на то, что $(A^Tx)^T$ это матричное выражение преобразования $\textbf A$ вектора $\textbf x$.)

2.

Теперь возьмем равенство

$$x^TA\overline y=\textbf A(\textbf x; \textbf y) \eqno {(2)} $$

с примененным к нему вторым вариантом перемножения в левой части, то есть

$$x^T(A\overline y)=\textbf A(\textbf x; \textbf y).\eqno {(4)}$$

Поскольку

$$x^T(A\overline y)=x^T\overline {(\overline {A} y)}=(\textbf x, \textbf A^*\textbf y),$$

где $\overline A$ представляется матрицей преобразования $\textbf A^*$ - и потому ее можно обозначить $A^*$, - то

$$\textbf A(\textbf x; \textbf y)=(\textbf x, \textbf A^*\textbf y).$$

При этом, как было показано выше,

$$(\textbf A\textbf x, \textbf y)=\textbf A(\textbf x; \textbf y).$$

Таким образом,

$$(\textbf A\textbf x, \textbf y)=(\textbf x, \textbf A^*\textbf y),$$

и по определению $\textbf A^*$ это преобразование, сопряженное к преобразованию $\textbf A$.

3.

В учебнике Гельфанда "Лекции по линейной алгебре", стр.127
http://www.tka4.org/materials/lib/Artic ... elfand.pdf стоит:

Цитата:

матрица преобразования $A^*$ получается из матрицы преобразования $A$ в любом ортогональном базисе переходом к транспонированной и заменой ее элементов комплексно сопряженными

поскольку под матрицей преобразования $\textbf A$ он полагает матрицу $A^T$, потому что имеет в виду ее умножение на вектор-столбец $x$ справа, мы же под матрицей преобразования $\textbf A$ полагаем матрицу $A$, поскольку имеем в виду ее умножение на вектор-строку $x^T$ слева, и нам не нужно ее транспонировать, а надо только комплексно сопрячь.

В любом случае матрица $A^*$ преобразования $\textbf A^*$ является комплексно сопряженной к матрице $A$ полуторалинейной (билинейной) формы $\textbf A(\textbf x; \textbf y)$.

4.

Если при преобразовании $\textbf A$ умножать матрицу преобразования не на вектор-столбец справа, а на вектор-строку слева, то его матрицей является матрица $A$ полуторалинейной формы $\textbf A(\textbf x; \textbf y)$ (в вещественном пространстве - билинейной формы $\textbf A(\textbf x; \textbf y)$).

К тому же в вещественном пространстве матрицей сопряженного преобразования $\textbf A^*$ является также матрица $A$.

Так что в вещественном пространстве одна и та же матрица $A$ может быть и матрицей билинейной формы $\textbf A(\textbf x; \textbf y)$, и матрицей преобразования $\textbf A$, и матрицей сопряженного преобразования $\textbf A^*$.

5.

При получении полуторалинейной (билинейной) формы $\textbf A(\textbf x; \textbf y)$ (см. формулу (1)) ее матрица $A$ умножается на вектор-строку $x^T$ слева и на вектор-столбец $\overline y$ справа, поэтому, если в рассмотрении преобразований $\textbf A, \textbf A^*$ исходить из полуторалинейной (билинейной) формы $\textbf A(\textbf x; \textbf y)$, то естественно, чтобы преобразование $\textbf A$ представлялось как умножение матрицы $A$ на вектор-строку $x^T$ слева, а преобразование $\textbf A^*$ - как умножение матрицы $\overline A$ (то есть матрицы $A^*$) на вектор-столбец $y$ справа.

Гельфанд говорит, что

Цитата:

Всякому линейному преобразованию $A$ отвечает в евклидовом пространстве билинейная форма $ A(x; y)$, задаваемая формулой

$$\textbf A(\textbf x; \textbf y)\equiv (\textbf A\textbf x, \textbf y)$$

но мы, в отношении формулы

$$(\textbf A\textbf x, \textbf y)=(\textbf x, \textbf A^*\textbf y),$$

скажем, что она "отвечает" обоим преобразованиям: не только $\textbf A$, но и $\textbf A^*$.

Однако, вероятно, из соображения некоторых удобств, принято при линейном преобразовании всегда умножать матрицу преобразования на вектор-столбец справа.

Подчеркнем, что, независимо от того, употребляется ли умножение матрицы $A^T$ на вектор-столбец $x$ справа или умножение матрицы $A$ на вектор-строку $x^T$ слева, результат получается тот же.

Добавим также, что относительно формулы $(\textbf A\textbf x, \textbf y)=(\textbf x, \textbf A^*\textbf y)$ при преобразовании $\textbf A^*$ умножение его матрицы $A^*$ на вектор-строку $y^T$ слева мы не употребляем.

[Brukvalub]

Что это все означает? Если это вопрос, то в чем конкретно он состоит? Если ТС желает показать почтенной публике свое мастерство в ТЕХе, то кому это интересно?
Одним словом, какова цель написания этого текста? В самом тексте я указания этой цели не нашел.