В сообщении рассматривается возможность представления формулы сопряженных преобразований в виде

вместо

, где

выражение линейного преобразования, в матричной форме совершающегося умножением матрицы преобразования на вектор не справа, как обычно, а слева.
Приводятся выдержки из учебника Гельфанда "Лекции по линейной алгебре", стр.124-126,
http://www.tka4.org/materials/lib/Artic ... elfand.pdf 1.
Возьмем числовую матрицу

транспонированную к матрице

Пусть матрица

будет матрицей линейного преобразования

вектора

с координатами

в ортонормированном базисе в линейном пространстве, независимо от того, является ли оно вещественным или комплексным.
Когда линейное преобразование вектора совершается в матричной форме, матрица преобразования традиционно умножается на него справа:

где

координаты вектора-образа

Однако можно умножать ее на вектор не справа, а слева, предварительно ее транспонировав, результат при этом не изменится, если не считать того, что вектор-образ будет получен не в виде столбца, а в виде строки:

где также

Может возникнуть вопрос: почему вначале мы представили матрицу преобразования

как

а не

. Это станет яснее позже, но пока что скажем, что наши обозначения совпадают с обозначениями в учебнике Гельфанда "Лекции по линейной алгебре", стр.124-126, изложение которого мы берем за основу
(
http://www.tka4.org/materials/lib/Artic ... elfand.pdf ).
Цитата:
Вектор

получается из вектора

линейным преобразованием с матрицей, транспонированной к матрице

билинейной формы

.
Разумеется, если матрицу преобразования умножать на вектор справа. (Матрицу

мы обозначили

.)
Цитата:
Это преобразование мы обозначим буквой

, т.е. положим

.
(

при

это не матрица, а преобразование.)
Тут возникает еще один вопрос: почему говорится о билинейной форме

?
Ответ на него можно найти в учебнике:
Цитата:
Всякому линейному преобразованию

отвечает в евклидовом пространстве билинейная форма

, задаваемая формулой

(Подробнее об этом там же.)
Таким образом, если при преобразовании

умножать матрицу на вектор справа, матрица преобразования представляет собой матрицу, транспонированную к матрице билинейной формы, то есть

, а если слева - то совпадает с ней, то есть равна

.
Исходя из этого, в первом случае будем обозначать преобразование

вектора

как

, а во втором случае как

, то есть сделаем

и

равноправными обозначениями линейного преобразования вектора, в зависимости от того, умножается матрица преобразования на вектор справа или слева, то есть


2.
Сопряженные преобразования.
Цитата:
Определение 11.1 Пусть

-- линейное преобразование комплексного евклидова пространства. Преобразование

, определенное условием

называется сопряженным к

.
Далее.
Цитата:
Матрица сопряженного преобразования

получается
(в комплексном пространстве)
Цитата:
из матрицы преобразования

в ортогональном базисе переходом к транспонированной и комплексно сопряженной матрице.
Здесь матрица преобразования

это

, поскольку имеется в виду умножение справа.
Если

транспонировать и затем комплексно сопрячь, то получится матрица, комплексно сопряженная с

. Обозначим ее буквой

.
Но поскольку мы для преобразования

применяем умножение слева, его матрицей является не

, а

, и

уже не надо транспонировать (потому что переход от умножения справа к умножению слева равносилен транспонированию матрицы), а надо только сопрячь. При этом мы также получим матрицу

.
Итак,

это матрица преобразования

(разумеется, при умножении справа, но заметим, что относительно преобразования

мы рассматриваем только умножение справа - на вектор

.)
В вещественном пространстве - если его рассматривать как комплексное, - комплексное сопряжение не меняет матрицы, поэтому в нем матрица преобразования

это

.
Поскольку

и

это одно и то же преобразование

вектора

, условие

можно выразить как

.
В вещественном пространстве выражению

будет соответствовать матричное уравнение

, а выражению

матричное уравнение

.
Мы видим, что при втором выражении задействована только одна матрица

, а при первом выражении - две, которые получаются друг из друга транспонированием

и

.
К тому же

это матрица билинейной формы

, которая при втором выражении "отвечает" обоим сопряженным преобразованиям, а при первом выражении - только одному из них.
То есть при выражении

одна и та же матрица

является матрицей и билинейной формы

, и преобразования

, и преобразования

.
В комплексном пространстве выражению

соответствует матричное уравнение

, а выражению

-- матричное уравнение

.
Здесь при втором выражении задействована не одна матрица (как в вещественном пространстве), а две -

и

, но все же матрица билинейной формы

, то есть матрица

, подвергается здесь изменению только один раз - комплексно сопрягаясь для преобразования

, - а при первом выражении - два раза, то есть еще и транспонируясь для преобразования

.
3.
Такой взгляд на сопряженные преобразования может облегчить их понимание. Вместо того, чтобы говорить:
Цитата:
"Пусть

-- линейное преобразование комплексного евклидова пространства. Преобразование

, определенное условием

называется сопряженным к

,"
- что, разумеется, верно, но весьма мало очевидно, особенно для человека, который столкнулся с этой формулой впервые,

можно сказать: " Если в вещественном пространстве вы возьмете условие

в виде

, то в матричной форме сможете производить скалярное перемножение векторов через матрицу

как справа налево:

, так и слева направо:

- и так вы увидите, что преобразования зеркально сопряжены друг с другом через одну и ту же матрицу."
Когда в вещественном пространстве мы умножаем матрицу на вектор с одной стороны, это одно преобразование, а когда эту же матрицу умножаем на вектор с другой стороны, это другое преобразование, сопряженное к первому (другое - в общем случае).
В комплексном пространстве это сложнее, но все же проще, чем при выражении

.
Кроме того, если производить скалярное умножение

в матричной форме, надо сначала получить вектор

, потом транспонировать его и только после этого умножить на

, то есть это еще на одно действие больше, чем при выражении

.