Входное и выходное сопротивление цепи

[Solaris86]

Dmitriy40 в сообщении #1470468 писал(а):

Что это вообще было?

Ну вот же кусок решения.

Solaris86 в сообщении #1470410 писал(а):

Если использовать условие $\frac {Z_R_1}{Z_C_1} = 100$, то получается вот что:
$\frac{R_1}{\frac{1}{\omega C_1}} = 100$
$R_1 \omega C_1 = 100$
$R_1 2 \pi \nu C_1 = 100$
$\nu = 50 \text{Гц}$
$R_1 2 \pi \cdot 50 C_1 = 100$
$R_1C_1 = \frac{100}{2 \pi \cdot 50} = 0.318$

Если он неверен, тогда попробую решить заново, теперь уже Вашу систему.
$ \begin{cases} R_1C_1 = (5 \ldots 10) R_3C_2\\ Z_{C_1} \leqslant \frac{R_1}{100} \end{cases} $

$ \begin{cases} R_1C_1 = (5 \ldots 10) \cdot 10 \cdot 10^3 \cdot 32 \cdot 10^{-6}\\ \frac{1}{2 \pi \nu C_1} \leqslant \frac{R_1}{100} \end{cases} $

$ \begin{cases} R_1C_1 = (5 \ldots 10) \cdot 0.32\\ R_1C_1 \geqslant \frac{100}{2 \pi \nu} \end{cases} $

$ \begin{cases} R_1C_1 = (5 \ldots 10) \cdot 0.32\\ R_1C_1 \geqslant \frac{15.92}{\nu} \end{cases} $
Это всё, что я смог найти из системы.
Из первого уравнения:
$(R_1C_1)_{\min} = 1.6$
$(R_1C_1)_{\max} = 3.2$
Проверим второе неравенство на крайних частотах:
$v = 0$:
$R_1C_1 \geqslant \frac{15.92}{0}$
$R_1C_1 = \infty$
$v = \infty$:
$R_1C_1 \geqslant \frac{15.92}{\infty}$
$R_1C_1 \geqslant 0$
Напрашивается неравенство:
$1.6 \leqslant \frac{15.92}{\nu} \leqslant 3.2$
$9.95 \geqslant \nu \geqslant 4.975$
Но у нас-то условия все для $\nu \geqslant 50$

Я снова написал преподавателю, он вообще сказал, что эта задача решается очень просто и без калькулятора... Я после этого заявления выпал в осадок...

[Dmitriy40]

Ну если без калькулятора, то $R_3=10\text{кОм}$, $C_2=10\text{Ф}$, $R_4=1\text{МОм}$, $C_1=100\text{Ф}$, $R_1=10\text{кОм}$, $R_2=180\text{кОм}$, $C_3=100\text{Ф}$. Уж фарады точно не будут влиять в полосе от 50 Гц и выше (и это действительно можно прикинуть в уме без калькулятора). UPD. Вот же, сам запутался в нулях у конденсаторов ...

Насчёт системы. Подставив правое значение из первого уравнения слева во второе неравенство проверим что оно выполняется для 50 Гц и значит система разрешима. Далее заметим что при увеличении $C_1$ номинал $R_1$ должен уменьшаться (для сохранения частоты среза из первого уравнения). С другой стороны они (их импедансы) должны отличаться в сто раз. Значит есть некая граница их отношения, выше которой выполнены оба условия. И чтобы найти эту границу достаточно выразить $R_1$ или $C_1$ из первого уравнения (выбрав любое значение коэффициента в указанном диапазоне) и подставить во второе неравенство (там будет неравенство с квадратом переменной) и решить его. В итоге получится неравенство на $C_1$ или $R_1$. Выразив из первого уравнения одно через другое и подставив в полученное неравенство получим и неравенство для второго элемента. Всё, можно брать и выбирать номиналы в соответствии с полученными неравенствами.
Собственно мне не очень понятно в чём трудность решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Пусть даже одно из них неравенство (решать можно для равенства, держа в голове куда можно менять номиналы).

[Solaris86]

Dmitriy40 в сообщении #1470485 писал(а):

Ну если без калькулятора, то $R_3=10\text{кОм}$, $R_4=1\text{МОм}$, $C_2=C_1=10\text{Ф}$, $C_3=1\text{Ф}$, $R_1=1\text{кОм}$, $R_2=18\text{кОм}$.

А где взять такие номиналы конденсаторов?! Это же уже ионисторы какие-то прям...

[Dmitriy40]

Solaris86 в сообщении #1470492 писал(а):

А где взять такие номиналы конденсаторов?! Это же уже ионисторы какие-то прям...

А этого в задаче не спрашивалось!
И кстати я там пересчитал по частотам, они ещё больше получились, аж 100Ф.

Если серьёзно, то можно брать и уменьшать их например в 10 раз и проверять выполняется ли условие на точность усилителя (допустимая неравномерность в рабочей полосе частот). Вероятно и при разумных номиналах можно получить решение. Правда совсем уж без калькулятора это трудновато (но возможно).

[Solaris86]

Я проверил в Microcap v12 коэффициент усиления, он не выдаёт 19 почему-то (ОУ модель UA748M, генератор синусоидального сигнала 1 В и 60 Гц):

[Emergency]

Solaris86 в сообщении #1470492 писал(а):

А где взять такие номиналы конденсаторов?!

Нигде не брать - пересчитать заново.
Из условия $X=R$ легко посчитать конденсатор $C_2$.
При $R_3=10$ кОм меня получилось 0,32 мкФ

-- 24.06.2020, 23:24 --

Solaris86 в сообщении #1470496 писал(а):

Я проверил в Microcap v12 коэффициент усиления, он не выдаёт 19 почему-то

Попробуйте 0,1 В на входе.

[Dmitriy40]

Solaris86 в сообщении #1470496 писал(а):

Я проверил в Microcap v12 коэффициент усиления, он не выдаёт 19 почему-то (ОУ модель UA748M, генератор синусоидального сигнала 1 В и 60 Гц):

А $1V \cdot 19 =$ сколько будет? А питание ОУ у Вас сколько? Ну и?

[EUgeneUS]

Dmitriy40 в сообщении #1470468 писал(а):

Для идеального ОУ это не имеет смысла, ему не надо компенсировать входные токи.

Для идеального ОУ наличие $R_4$ вообще не имеет смысла, насколько понимаю. Но он зачем-то нарисован.

-- 25.06.2020, 08:38 --

Dmitriy40 в сообщении #1470495 писал(а):

И кстати я там пересчитал по частотам, они ещё больше получились, аж 100Ф.

$f = \frac{1}{2 \pi R C}$
$C = \frac{1}{2 \pi f R}$
$f$ - 50 Гц
$R$ - 10 кОм на входе, 1 кОм на выходе.
Тогда
$C$ - 0,32 мкФ на входе и 3,2 мкФ на выходе.
По номиналам, с учетом погрешностей конденсаторов, я бы взял ближайший сверху к удвоенному значению. То есть 1 мкФ на входе и 10 мкФ на выходе.

-- 25.06.2020, 08:39 --

Solaris86 в сообщении #1470496 писал(а):

Я проверил в Microcap v12 коэффициент усиления, он не выдаёт 19 почему-то

Почему так Вам уже написали. Но это же моментально видно из рисунка - синусоида же на пиках ограничилась.

-- 25.06.2020, 08:48 --

Solaris86
Кстати, выше уважаемый Dmitriy40 исправил рекомендации по резисторам - увеличил их в 10 раз (до 180 кОм и 10 кОм). Тоже хотел это порекомендовать.
Это влияет на
а) необходимый выходной ток ОУ - выход ОУ будет несколько меньше нагружаться.
б) необходимая емкость $C_1$ уменьшится в 10 раз.

Solaris86 в сообщении #1470476 писал(а):

он вообще сказал, что эта задача решается очень просто и без калькулятора... Я после этого заявления выпал в осадок...

Это действительно так, не надо выпадать в осадок.

Есть некие сомнения по выбору значения $R_4$, но они скорее психологического характера: нужно ли пользоваться $R_4 \approx 100 R_3$ (насколько понял, это Вы взяли из лекций, то есть это рекомендации преподавателя), или $R_4 = R_1 \parallel R_2$, что рекомендуется в литературе.

[Dmitriy40]

EUgeneUS в сообщении #1470527 писал(а):

По номиналам, с учетом погрешностей конденсаторов, я бы взял ближайший сверху к удвоенному значению. То есть 1 мкФ на входе и 10 мкФ на выходе.

Давайте проверим: $Z_{C_2}=1/(2 \pi \cdot 50 \cdot 1 \cdot 10^{-6}) \approx 3183\text{Ом}$, т.е. входной делитель ослабит сигнал практически на четверть (до $10^4/(10^4+3183)\approx 76\%$). Выходной ещё на четверть усиленного в $19$ раз, т.е. до $0.7585 \cdot 19 \cdot 0.7585 / 19 \approx 58\%$, уже почти вдвое. Если ещё и $C_1$ взять по рекомендации с пятикратной частотой среза, то коэффициент усиления окажется равным $1+\frac{R_2}{R_1+Z_{C_1}} = 1+\frac{180\text{кОм}}{10\text{кОм}+1/(2 \pi \cdot 50 \cdot 0.2 \cdot 10^{-6})} \approx 7.946$ вместо $19$. И итоговый коэффициент передачи всего усилителя на частоте $50\text{Гц}$ станет равным $0.7585 \cdot 7.946 / 19 \cdot 0.7585 \approx 24.06\%$ от расчётного! И это с номиналами конденсаторов завышенными аж втрое от расчётных! Если взять расчётные $C_2=330\text{нФ}, C_3=3.3\text{мкФ}, C_1=68\text{нФ}$, то общий коэффициент передачи на частоте $50\text{Гц}$ станет всего $5.7\%$ от расчётного!
Чтобы получить неравномерность $3\text{дБ}$ (т.е. в $\sqrt{2}$ раза по напряжению) на $50\text{Гц}$ конденсаторы надо брать $C_2 \geqslant 5.6\text{мкФ}, C_3 = 10 C_2 \geqslant 56\text{мкФ}, C_1 = C_2 / 5 \geqslant 1.2\text{мкФ}$ ($R_1=10\text{кОм}, R_2=180\text{кОм}$).
Чтобы получить неравномерность $1\%$ по напряжению на $50\text{Гц}$ нужны конденсаторы $C_2 \geqslant 220\text{мкФ}, C_3 =10 C_2 \geqslant 2200\text{мкФ}, C_1 = C_2 / 5 \geqslant 47\text{мкФ}$ ($R_1=10\text{кОм}, R_2=180\text{кОм}$). Как и говорил, десятков фарад хватает с огромным запасом.

PS. На самом деле не такая уж и сложная формула получается для общего коэффициента передачи, выбрав произвольно $R_1$ вполне можно выразить всё через $C_2$ и решить подобрать его по общей неравномерности.

[Emergency]

EUgeneUS в сообщении #1470527 писал(а):

я бы взял ближайший сверху к удвоенному значению. То есть 1 мкФ на входе и 10 мкФ на выходе.

А я бы не стал удваивать и взял бы $C_2$ = 0,33 мкф, $C_1$ = 3.3 мкф, $C_3$ = 0,18 мкф.
Получается фильтр третьего порядка с частотой среза 50 гц. Как и заказано.

Solaris86
Попробуйте внести в свою схему на компьютере эти данные и посмотрите АЧХ.

[Dmitriy40]

Emergency в сообщении #1470556 писал(а):

А я бы не стал удваивать и взял бы $C_2$ = 0,33 мкф, $C_1$ = 3.3 мкф, $C_3$ = 0,18 мкф.

Не соблюдено условие $f_2=f_3$. Или перепутали $C_1$ и $C_3$?
И каково $R_1$? Для соблюдения условия $f_1 \approx (5\ldots10)f_2$?

Кстати.

Emergency в сообщении #1470462 писал(а):

Нам как бы понятно и про ширпотребовские резисторы 10-20%

Нет, вот это нам совсем непонятно! Самые распространённые резисторы это 5% и 1%. Все другие на порядки менее распространены. Например в каталоге Терраэлектроники вообще нет dip резисторов с допуском 20% и больше! С допуском 10% их всего 364шт против 12169шт 5% и 8088шт 1% и 8421шт 0.1%. Для smd резисторов есть конечно и 10% и 20% и 25% и даже 30% допуск, но их всего 35шт и 8шт и 1шт и 6шт соответственно, против 15698шт 5% и >20000шт 1% и >20000шт 0.1% и даже 2543шт 0.05%. Так что резисторы с допуском более 5% никак нельзя назвать "ширпотребовскими" (широко распространёнными).

[EUgeneUS]

Emergency в сообщении #1470556 писал(а):

Получается фильтр третьего порядка с частотой среза 50 гц. Как и заказано.

Нет.
По определению частота среза - это частота при которой сигнал ослабляется на 3 дБ по мощности (то есть в два раза) или в 0.707 раза по напряжению.
UPD:

(Оффтоп)

Мне в ЛС указали на двусмысленность фразы Выше, вплоть до её некорректности.
Конечно, ослабление по мощности в два раза, означает ослабление по напряжению в $\sqrt{2} \approx 1.41$ раз. Или что первоначальная величина должна быть умножена на $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$

Однако:

Dmitriy40 в сообщении #1470549 писал(а):

Если взять расчётные $C_2=330\text{нФ}, C_3=3.3\text{мкФ}, C_1=68\text{нФ}$, то общий коэффициент передачи на частоте $50\text{Гц}$ станет всего $5.7\%$ от расчётного!

Что соответствует ослаблению примерно на 20 дБ (по мощности).
То есть частота среза будет хоть и близка к 50 Гц, но всё таки выше.

[Emergency]

Dmitriy40 в сообщении #1470560 писал(а):

Не соблюдено условие $f_2=f_3$. Или перепутали $C_1$ и $C_3$?
И каково $R_1$? Для соблюдения условия $f_1 \approx (5\ldots10)f_2$?

Может и перепутал. Расчет прост - реактивное сопротивление конденсатора на частоте среза равно активному сопротивлению резистора с которым конденсатор образует $RC$-цепь.

-- 25.06.2020, 15:53 --

Dmitriy40 в сообщении #1470560 писал(а):

вообще нет dip резисторов с допуском 20% и больше!

Естественно я не имел в виду dip резисторы. А что МЛТ отменили?
Наверное я отстал от жизни и все стало шоколадным.

-- 25.06.2020, 16:01 --

EUgeneUS в сообщении #1470564 писал(а):

То есть частота среза будет хоть и близка к 50 Гц, но всё таки выше.

Но я почему-то уверен, что преподаватель имел в виду именно такое решение, косвенным подтверждением чего является простота расчета.

[Dmitriy40]

Emergency в сообщении #1470580 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1470560 писал(а):

вообще нет dip резисторов с допуском 20% и больше!

Естественно я не имел в виду dip резисторы. А что МЛТ отменили?

Резисторы МЛТ тоже относятся к классу DIP (выводные, в противоположность SMD, ну не SIP же их называть).
Вот тут (первое что быстро нашёл) их пока ещё вроде бы продают, хотя года выпуска не позже 1991 как бы намекают, но всё равно, 2шт 10% и 22шт 5%. И даже мощные резисторы (которые обычно менее точные), которые уже не МЛТ, всё равно с допуском максимум 10% и их почти втрое меньше чем с допуском 5%. Так что может в 1960-х годах и были распространены 20% МЛТ резисторы, но сейчас 21 век на дворе, технологии улучшились и подешевели и купить их стало проблематично. И ИМХО бессмысленно. Хотя и возможно.

[EUgeneUS]

Emergency в сообщении #1470580 писал(а):

Но я почему-то уверен, что преподаватель имел в виду именно такое решение, косвенным подтверждением чего является простота расчета.

Тут мы вступаем на топкую стезю телепатии.
Нужно как-то понять, что же имел в виду преподаватель. Вариантов может быть много.
1. Преподаватель внимательно читает решения студентов, и принимает решения об оценке, исходя из обоснованности решений, принятых студентами. Грубо говоря: студент выбрал $R_1$ и $R_2$ не сильно большие и не сильно малые - плюс один балл; студент выбрал значения $R_1$ и $R_2$ из ряда E24 - еще плюс балл; студент обосновал выбор номиналов конденсаторов ослаблением в полосе пропускания (выбрав его произвольно, так как оно не задано) - еще плюс балл... И т.д.
2. Преподаватель берет значения, предложенные студентом и сравнивает с "правильными". Причем критерии правильности нужно не понять, а запомнить из лекций. Например, где-то в недрах лекций преподаватель сказал, что "конденсаторы, как правило, выбираются исходя из неравномерности в полосе пропускания не более 3 дБ", и ждет, что это "как правило" студент применит в решении задачи. Это беда, конечно.
Или куча промежуточных вариантов.