Помогите, пожалуйста, разобраться с конформностью ТФКП

[artempalkin]

Всем добрый день!

Почитал я несколько учебников ТФКП, но никак не могу прояснить вопрос с конформностью и локальной конформностью ФКП.

Маркушевич говорит: Отображение посредством непрерывной функции, сохраняющее углы между кривыми, проходящими через данную точку, называется конформным в этой точки .

При этом в дальнейшем обсуждается, что, коль скоро аргумент производной означает угол поворота, то всюду, где функция дифференцируема, она будет конформна, кроме, возможно, точек, где производная равна нулю (т.к. аргумент неопределен). Примера, когда производная нулю, но функция конформна в точке, не приводится (точнее, приводится, но не разбирается).

Шабат утверждает: $\mathbb{R}$-дифференцируемое в точке $\mathbb{C}$ отображение $f$ называется конформным в точке $z$, если $z$ - некритическая точка $f$ и дифференциал $df$ в этой точке сводится к растяжению с поворотом .

Хммм, Шабат в определении идет немножко по-другому. Но далее следует

Теорема 1 Пусть $z$ - некритическая точка $\mathbb{R}$-дифференцируемого отображения $f$. Для конформности $f$ в точке $z$ необходима и достаточна его $\mathbb{C}$-дифференцируемость в этой точке

Обращу внимание, что про локальную конформность ничего нету. Ладно.

Откроем книгу попроще, задачник Краснова (в целом совсем неплохая книга для студентов-нематематиков). Сразу посмотрим критерий конформности (которая определяется как в Маркушевиче): Для того чтобы отображение $w=f(z)$ было конформным в области $D$, необходимо и достаточно, чтобы в этой области функция $w=f(z)$ была однолистной и аналитической, причем $f'(z)\neq 0$ для всех $z\in D$.

Тут уже почему-то говорится об однолистности, и далее следует то, что мне вообще непонятно. Рассматривается функция $w=z^4$ в области $1\leqslant |w| \leqslant 16$, $0\leqslant \arg w \leqslant 4\pi$. Делается вывод о том, что она неоднолистна в этой области, а значит и неконформна. Но несколько строчек ниже уже рассматривается $w=(z-2)^2$ всюду на $\mathbb{C}$, которая, на мой взгляд, тоже неоднолистна, но при этом утверждается ее конформность (кроме одной точки $z=2$, хотя ее неконформность в этой точке никак не доказывается).

Дорогие друзья, помогите мне, пожалуйста, понять, что такое конформность, что такое локальная конформность, где и когда нужна однолистность и как исследовать конформность в случае, когда $f'(z)=0$. Спасибо большое!

[Brukvalub]

artempalkin в сообщении #1465054 писал(а):

Рассматривается функция $w=z^4$ в области $1\leqslant |w| \leqslant 16$, $0\leqslant \arg w \leqslant 4\pi$.

Так не бывает.

[artempalkin]

Brukvalub в сообщении #1465062 писал(а):

artempalkin в сообщении #1465054

писал(а):
Рассматривается функция $w=z^4$ в области $1\leqslant |w| \leqslant 16$, $0\leqslant \arg w \leqslant 4\pi$.
Так не бывает.

Да, промахнулся при переписывании: $1 \leqslant |z| \leqslant 2$, $ 0\leqslant \arg z \leqslant \pi$

[Brukvalub]

artempalkin в сообщении #1465068 писал(а):

Да, промахнулся при переписывании: $1 \leqslant z \leqslant 2$, $ 0\leqslant \arg z \leqslant \pi$

А так, тем более (или тем менее), но тоже не бывает. Рано вам с конформностью разбираться, ой рано...

[artempalkin]

Brukvalub в сообщении #1465071 писал(а):

Рано вам с конформностью разбираться, ой рано..

Поправил :) Мне нормально разбираться с конформностью, я просто несколько торопился оформить сообщения. Могли бы, пожалуйста, помочь? :)

[arseniiv]

С определением по Маркушевичу и для простых функций даже я справлюсь. Например возьмём функцию $w = f(z) = z^2$. Нам интересен ноль; пустим из нуля два луча $z = t$, $z = t e^{ai}$, где $a\in\mathbb R$ — постоянная, $t \geqslant 0$ переменная. После применения $f$ лучи преобразуются в лучи $w = t$, $w = t e^{2ai}$. Мы видим, что почти для любого $a$ угол между лучами не сохраняется, увеличиваясь в два раза $\pmod{2\pi}$ — ну всё, в нуле $f$ не конформна. Для функции и точки поинтереснее лучи станут криволинейными, но нам нужны лишь касательные к ним в их вершинах.

[artempalkin]

arseniiv в сообщении #1465076 писал(а):

даже я справлюсь

Скромничаете :)

arseniiv в сообщении #1465076 писал(а):

Для функции и точки поинтереснее лучи станут криволинейными, но нам нужны лишь касательные к ним в их вершинах.

Для "неконформности" достаточно контрпримера (все равно спасибо, потому что я вообще еще ни разу не видел такого примера). А как насчет конформности? Интересно было бы увидеть хотя бы какой-то пример функции, у которой $f'(z_0)=0$, но при этом в этой точке конформность. И как ее доказывать? Вы говорить про касательные, но ведь тут нужно, получается, рассматривать какие-то бесконечно малые вектора и угол между ними, и смотреть, как он преобразуется... я, честно говоря, не до конца понимаю, как это сделать

[Brukvalub]

artempalkin в сообщении #1465074 писал(а):

Могли бы, пожалуйста, помочь? :)

Могу. Краснов и Ко бездумно выдрали кусок теоремы из умных книг и переписали его к себе, сделав его ложным. Эту теорему должно предварять правильное определение: две области называются конформно-эквивалентными, если существует взаимно-однозначное и конформное в каждой точке отображение одной из них на другую. Ну, а далее идет т. о необходимом и достаточном условии конформной эквивалентности, которое просто перефразирует определение.

[arseniiv]

artempalkin в сообщении #1465078 писал(а):

Скромничаете :)

(Да я никак не доберусь нормально изучить ТФКП, мне его не читали. Так что даже про локальную конформность я лучше не буду пытаться угадать. Поискал немного, не нашёл о ней тоже ничего, но вдруг она есть в какой-нибудь монографии. Можно было бы подумать, что так говорят о конформности какого-то ограничения функции, содержащего интересующую точку, например есть открытая окрестность точки, ограничение на которую конформно. Не имею понятия, так ли эта локальная конформность используется там, где она есть.)

[artempalkin]

Brukvalub в сообщении #1465080 писал(а):

Могу. Краснов и Ко бездумно выдрали кусок теоремы из умных книг и переписали его к себе, сделав его ложным.

Ага, спасибо. То есть получается, для того чтобы отображение было конформным в точке, достаточно, чтобы оно было дифференцируемым и производная была отлична от нуля.
А что такое локальная конформность? И в чем отличие от конформности как таковой?
Встречал этот термин в одном из заданий Бауманского университета. Если честно, ни в Маркушевиче, ни в Шабате, ни в Краснове, ни еще где-либо я не смог найти определения.

[Brukvalub]

artempalkin в сообщении #1465078 писал(а):

Интересно было бы увидеть хотя бы какой-то пример функции, у которой $f'(z_0)=0$, но при этом в этой точке конформность.

Так не бывает.

-- Вт май 26, 2020 00:10:52 --

artempalkin в сообщении #1465084 писал(а):

Встречал этот термин в одном из заданий Бауманского университета. Если честно, ни в Маркушевиче, не в Шабате, ни в Краснове, ни еще где-либо я не смог найти определения.

Не нужно читать сразу несколько учебников по ТФКП. В разных учебниках зачастую применяется разный изначальный подход к понятию аналитичности, и только страниц через 50 доказывается эквивалентность разных определений аналитичности. От этого с непривычки может кружиться голова и подташнивать.
Скачайте монографию Лаврентьева и Шабата Методы ТФКП, там конформность разжевана вдоль и поперек.

[artempalkin]

Brukvalub в сообщении #1465085 писал(а):

Интересно было бы увидеть хотя бы какой-то пример функции, у которой $f'(z_0)=0$, но при этом в этой точке конформность.
Так не бывает.

Ну вот, судя по всем учебникам, бывает. https://ibb.co/rHLwzsm (это Маркушевич стр. 92). Судя по тому, что arseniiv любезно доказал, что $f(z)=z^2$ неконформна в критической точке, то, я полагаю, первая будет конформна. Но как доказать, не знаю.

Кстати, мне нравится, как все задачники уходят от этого вопроса, оставляя его решать читателю :) Я почитал конспект лекций некой Леонтьевой (ВМК МГУ), так там тоже она предлагает привести примеры и доказать самостоятельно (!). Что-то тут нечисто.

[Brukvalub]

artempalkin в сообщении #1465087 писал(а):

Ну вот, судя по всем учебникам, бывает. https://ibb.co/rHLwzsm (это Маркушевич стр. 92).

Ну, против таких "козырей в кармане" я бессилен!
Все же осмелюсь робко заметить, что приведенное в Маркушевиче первое отображение не аналитично ни в одной точке, а так-то да, ловко вы меня срезали...

[artempalkin]

Brukvalub в сообщении #1465089 писал(а):

ловко вы меня срезали...

У меня нет цели вас срезать, я просто задаю вопрос, ориентируясь на то, что я читал. Уже в нескольких учебниках я прочитал, что при $f'(z)=0$ может быть и так, и так, и поэтому, когда вы написали, что "так" не может быть, я уточняю. Моя цель узнать истину, так сказать :)

Brukvalub в сообщении #1465089 писал(а):

первое отображение не аналитично ни в одной точке

Ну может нигде и не аналитично, но в нуле дифференцируемо, и, наверное, конформно, но как это доказать (или опровергнуть), я не знаю :(

[Brukvalub]

artempalkin в сообщении #1465092 писал(а):

Ну может нигде и не аналитично

Не "может быть", а "именно так и есть". А сохранение углов в нуле у первого по цитате из Маркушевича отображения проверяется "вручную", прямым подсчетом.

-- Вт май 26, 2020 01:06:56 --

artempalkin в сообщении #1465092 писал(а):

Ну может нигде и не аналитично

Не "может быть", а "именно так и есть". А сохранение углов в нуле у первого по цитате из Маркушевича отображения проверяется "вручную", прямым подсчетом, если заметить, что это отображение задается формулой $f(z)=z\cdot|z|$