Максимизировать площадь треугольника при заданной медиане

[gris]

Я слишком законопослушен.
Но отвечу. В подобных задачах мы можем разными способами выбирать изменяющиеся параметры, которые вместе с заданными однозначно определяют оптимизируемую характеристику. У вас этот стороны, у меня угол.

[nnosipov]

Juicer
Честно скажу, с первого раза и у меня не получилось получить правильный ответ. Но это потому, что я использовал головной мозг. А решать эту задачу надо спинным мозгом, так быстрее. Вы зачем AM-GM используете? Хотя, впрочем, можно и так, один фиг, как находить максимум у параболы.

Но правильный ответ все-таки надо получить, иначе геометры засмеют. Они, похоже, вообще никакой мозг не привлекают, решают задачу методом созерцания.

[Juicer]

nnosipov в сообщении #1464858 писал(а):

Вы зачем AM-GM используете?

Да потому что задача в курсе элементарных экстремальных задач, нужно использовать неравенства.

-- 24.05.2020, 21:02 --

nnosipov в сообщении #1464858 писал(а):

засмеют

это не страшно
Но получить надо :)

[nnosipov]

Juicer в сообщении #1464859 писал(а):

Но получить надо :)

Согласен. Я получил :) Есть он, правильный ответ.

Про AM-GM. Если нужно найти максимум чего-нибудь типа $t(n-t)$ при $0<t<n$, то можно так: $t(n-t) \leqslant ((t+(n-t))/2)^2=n^2/4$, равенство только при $t=n/2$. Но это, как бы, не слишком большой секрет.

[gris]

Я вообще хотел просто узнать можно ли опускать медианы.
Но задача слишком очевидна, чтобы не привлечь Лагранжа для!!!
А, это замысел преподавателей. Тогда терпите

[Juicer]

nnosipov в сообщении #1464861 писал(а):

Есть он, правильный ответ.

конечно есть, иначе бы и задачи не было:)

nnosipov в сообщении #1464861 писал(а):

равенство

а, андестенд, я же про равенство забыл

-- 24.05.2020, 21:14 --

gris в сообщении #1464862 писал(а):

можно ли опускать медианы

медиану проводят, каюсь, грешен. Простите мне это?

-- 24.05.2020, 21:15 --

gris в сообщении #1464862 писал(а):

чтобы не привлечь Лагранжа для!

да я сам хотел бы привлечь!!! но никак!!!1 н е п р и в л е к а е т с я

-- 24.05.2020, 21:26 --

nnosipov
Получилось $c = \dfrac{4}{5}m_b$ и $S_{\max} = \dfrac{16}{25}m^2_b$

[gris]

Я всё же думаю, что задача была такая: максимизировать площадь треугольника, у которого заданы две медианы. Геометрически она такова же, но, может быть там Лагранжа можно притянуть?

Ой, $S_{\max} = \dfrac{16}{25}\cdot 9^2=51.84\approx 54$
Я приближённо прав!

[Juicer]

gris в сообщении #1464865 писал(а):

Я всё же думаю,

ну балеен, ну я понимаю немного посмеяться можно, но зачем продолжать? Взрослые же(наверное) люди
Если вы серьёзно, то условие написано верно. Ну и производные нельзя использовать.

-- 24.05.2020, 21:33 --

gris в сообщении #1464865 писал(а):

Я приближённо прав!

Чёрт возьми, рад за вас!

[nnosipov]

Juicer в сообщении #1464863 писал(а):

$S_{\max} = \dfrac{16}{25}m^2_b$

Так, все правильно, кроме $16/25$.

[gris]

Juicer, извините за излишнюю смешливость. Воскресенье ж. А завтра никуда не идти. Вот смех и разбирает.
Но с двумя медианами я и не шутил. Некоторое обобщение, решаемое теми же способами.
Раз уже можно, то выйду к доске. Первым делом скажу, что медианы треугольника пересекаются внутри него, делятся в точке пересечения в известных соотношениях и их большие отрезки образуют угол с вершиной в точке пересечения. При любых заданных длинах медиан и ненулевом угле меньше развёрнутого, существует единственный треугольник с этими тремя параметрами. Его площадь равна $S=3\cdot \dfrac 12\cdot \dfrac 23 m_1 \cdot \dfrac 23 m_2\cdot \sin \alpha$
Максимум площади достигается при $\alpha = 90^{\circ}$
$S_{max}=\dfrac 23\cdot m_1 \cdot m_2$
В вашем случае геометрические соображения таковы: среди ромбов с заданной стороной наибольшую площадь имеет квадрат.

nnosipov, мне, право, очень стыдно за болтовню. Я постараюсь исправиться.

[Juicer]

nnosipov в сообщении #1464867 писал(а):

все правильно

так значит, и выражение для $c$ неверное?

[nnosipov]

gris

(Оффтоп)

По поводу Лагранжа: найдите минимум вот этой штуки $\cos{x}\cos{y}\cos{(x+y)}$. (К сожалению, здесь тоже есть геометрическое решение, так что будет соблазн ... Но мы хотим Лагранжем.)

-- Пн май 25, 2020 00:42:57 --

Juicer в сообщении #1464869 писал(а):

и выражение для $c$ неверное?

Да. Ничего не остается, как решить задачу усилием воли.

[FEBUS]

gris в сообщении #1464865 писал(а):

Я всё же думаю, что задача была такая: максимизировать площадь треугольника, у которого заданы две медианы. Геометрически она такова же, но, может быть там Лагранжа можно притянуть?

Это другая, абсолютно тривиальная задача. Очевидно, что $ S_{\max}=\frac{2}{3}$m_am_b.

gris в сообщении #1464865 писал(а):

Ой, $S_{\max} = \dfrac{16}{25}\cdot 9^2=51.84\approx 54$
Я приближённо прав!

Это неверно.

[gris]

FEBUS, ну укажите мне мои ошибки. Я уже чувствую, что где-то напутал.

[FEBUS]

gris
Не понимаю, о чем речь? Я процитировал, на что отреагировал. Что не ясно?