Задача по теории групп

[Munin]

Хм, то есть, есть автоморфизм $f\leftrightarrow rf.$ О чём-то это должно говорить... Наверное, о том, что я не смотрел на группы автоморфизмов известных мне групп пока ещё толком :-)

[arseniiv]

И я тоже, а мне бы стоило знать о группах Диэдра побольше. Довольно интересно.

[Xaositect]

Есть красивая теория групп, порожденных отражениями в евклидовом пространстве (группы Коксетера). Они, естественно, порождаются порождающими с соотношениями $a_i^2 = 1$, $(a_i a_j)^{m(i,j)} = 1$. Группы диэдра - это двумерные случаи.

[arseniiv]

(О, точно же, зеркала на гипотенузе и катете треугольничка, вписанного в правильный многоугольник (для $n\geqslant3$). Как всё просто объясняется…)

[B@R5uk]

Нашёл ещё одну красивую группу. Она чем-то напоминает дициклические группы, однако устроена немного по-другому, более симметрична что ли. На графе Кэли этой группы одни шестиугольники, причём каждая пара противоположных вершин шестиугольника одного цвета является парой противоположных вершин шестиугольника другого цвета. Долго мучился как этот граф красиво изобразить, чтобы всё и видно было, и рисунок был симметричным. Потом мучился над тем, чтобы имена элементов были записаны в виде произведения степеней не более двух образующих, но так и не осилил эту задачу. Элементы $a^2da^2=d^2ad^2=da^5d$ и $d^2a^4=ada^2$, видимо, в таком виде представить нельзя. Они ещё и второго порядка к тому же.



-- 12.04.2020, 16:01 --

Хотя, возможно, если выбрать другую "систему координат" для элементов этой группы, сходство с дициклическими группами потеряется. В этой группе одна из подгрупп — группа тетраэдра. Видимо, именно эта группа в списке групп малого порядка в вики представлена как $A_4\times\mathbb{Z}_2$.

[arseniiv]

Картинки честно сказать чарующие. Казалось бы бери любую (конечную) группу и получай такие без конца, но всё равно.

[B@R5uk]

Не все группы получается красиво нарисовать. Хотя тут, возможно, всё дело в правильном выборе образующих, так как многие группы могут быть представлены несколькими различными способами. Получающиеся картинки тоже будут разными. В связи с этим возникает задача о поиске всех возможных представлений заданной группы в виде набора образующих и соотношений между ними. Задача поиска подгрупп и построение дерева — промежуточный этап этого поиска, как мне кажется.

Я тут ещё думал над тем, что можно было бы цветом фона кружочков помечать классы сопряжённости. Но это целая куча дополнительной работы. Пока лениво ею заниматься.

[B@R5uk]

B@R5uk в сообщении #1453806 писал(а):

и $d^2a^4=ada^2$, видимо, в таком виде представить нельзя

Ошибочка. Имелся в виду элемент $ad^2a=da^2d$. Этот и диагонально ему противоположный нельзя представить в виде $a^nd^m$ или в виде $d^ka^l$. В тоже время элемент представленный на картинке в виде тройного произведения представим и в виде двойного: $ada=a^3d^2=d^2a^3$. Элемент $a^3=d^3$ коммутирует со всеми элементами группы.

[B@R5uk]

Похоже я опять лоханулся. Группа выше и группа ниже имеют одно и то же дерево подгрупп. Что означает, что это на самом деле одна и та же группа в разных представлениях.

[B@R5uk]

А верно, что группа автоморфизмов группы G является подгруппой этой группы G? Просто единственный способ отобразить группу G на себя сохранив все свойства элементов, который я знаю, — это сопряжение с помощью какого-нибудь элемента группы G. Причём часть этих отображений может совпадать. Нету ли чего-нибудь более хитрого?

[mihaild]

B@R5uk в сообщении #1454433 писал(а):

сопряжение с помощью какого-нибудь элемента группы G

Такие автоморфизмы называются внутренними. Группа внутренних изоморфизмов изоморфна факторгруппе группы по центру.
Довольно часто есть невнутренние автоморфизмы. Например у абелевой группы группа внутренних автоморфизмов тривиальна, а группа всех автоморфизмов - часто нетривиальна (собственно тривиальная вроде бы только для $\mathbb Z_2$). Или для группы Диэдра при нечетном $n$ автоморфизм $r \to 2r, f \to f$ является внешним.

[B@R5uk]

mihaild, спасибо.

А есть какой-нибудь конструктивный метод нахождения всех автоморфизмов группы?

[B@R5uk]

Проверьте, пожалуйста, правильно ли я нашёл группу автоморфизмов группы Клейна $K_4=\mathbb{Z}_2^2=\left\langle a,b\;|\;a^2=b^2=\left[a,b\right]=I\right\rangle$:

Используется синтаксис Text

0       I       a       b       ab
1       I       a       ab      b
2       I       b       a       ab
3       I       b       ab      a
4       I       ab      a       b
5       I       ab      b       a


0       1       2       3       4       5
1       0       3       2       5       4
2       4       0       5       1       3
3       5       1       4       0       2
4       2       5       0       3       1
5       3       4       1       2       0
 

Группой автоморфизмов группы $\mathbb{Z}_2^2$ получается является группа Диэдра $\operatorname{Dih}_3$ ?

[mihaild]

Таблицу умножения не проверял, остальное правильно. Да, получается группа Диэдра, более известная как $S_3$. Что логично: у нас есть три элемента, которые можно переставлять как угодно. Вообще, т.к. $\mathbb Z_p^n$ - это ровно векторное пространство размерности $n$ над $\mathbb Z_p$, то группа автоморфизмов $\mathbb Z_p^n$ - это в точности $\operatorname{GL}(n, \mathbb Z_p)$.

[B@R5uk]

Спасибо. Вообще, я думаю в сторону алгоритмизации построения группы автоморфизмов по заданной группе. Вот, например, как в лоб проверить что заданная перестановка элементов группы является автоморфизмом? По определению? Переставить строки и столбцы таблицы умножения группы согласно перестановке и сравнить результат с тем что получится, если во всей таблице умножения произвести замену элементов согласно перестановке?