Сущность математических проблем

[Someone]

Captious в сообщении #141654 писал(а):

Всем давно уже известно, что в случае конечных множеств для установления их равенства ( по количеству элементов) применяется пересчет элементов, а для бесконечных множеств эта "нумерация" заменяется операцией установления 1-1 соответствия, поскольку "пересчет" бесконечности никогда не закончится в принципе. А множ-ва уже называются не "равными", а "равномощными".

Нам, конечно, в некотором смысле "повезло", что все отношения полного (и даже линейного) порядка на конечном множестве изоморфны, это и позволяет устанавливать взаимно однозначное соответствие между конечным множеством и начальным отрезком натурального ряда путём "пересчета". Вы, однако, видите здесь метод

Captious в сообщении #141531 писал(а):

обращение к процедуре «пересчета» элементов множ-в, связанной с присвоением каждому элементу множества некого уникального имени-номера

и не видите результата - взаимно однозначного соответствия: каждому элементу множества сопоставлено натуральное число. В примитивных системах счёта это более очевидно, поскольку там напрямую устанавливается взаимно однозначное соответствие между пальцами рук и ног некоторого количества людей и пересчитываемыми предметами. Я об этом писал.

Captious в сообщении #141654 писал(а):

А множ-ва уже называются не "равными", а "равномощными".

А что, разве конечные множества называются "ещё" равными, а не равномощными? Господь с Вами!

Captious в сообщении #141654 писал(а):

Какое это всё имеет отношение к существу поставленной г-ном OZH "проблемы мощности"?

Самое прямое. И он больше вопроса не задаёт. То ли удовлетворён, то ли ещё что.

Captious в сообщении #141654 писал(а):

для бесконечных множеств эта "нумерация" заменяется операцией установления 1-1 соответствия, поскольку "пересчет" бесконечности никогда не закончится в принципе.

"Нумерация" - это и есть взаимно однозначное соответствие.

И что значит - "не закончится"? Вы имеете в виду, что физически невозможно за конечное (более того, ограниченное сроком жизни) время собственноручно перечислить все элементы по одному? Тут у Вас и для конечных множеств проблемы возникнут. А какое это имеет отношение к математике? Никто и никогда так не делает. В математике нет бесконечных рассуждений.

Причина отказа от "нумерации" и "пересчёта" на самом деле другая. Она состоит в том, что "пересчёт" - это сопоставление элементам множества порядковых чисел. Для бесконечных множеств здесь возникают два препятствия:
1) неясно, можно ли установить взаимно однозначное соответствие между произвольным множеством и некоторым начальным отрезком порядковых чисел;
2) совершенно ясно, что если множество бесконечно и такое соответствие существует, то начальный отрезок будет заведомо не единственным (это то самое, о чём говорится в цитате, которую Вы каждый раз выделяете жирным шрифтом).

Поэтому от метода "пересчёта" и "нумерации" для бесконечных множеств приходится отказаться, и в определение равномощных множеств входит только существование взаимно однозначного соответствия.

Captious в сообщении #141654 писал(а):

Ну и что? Причем тут теория линейно упорядоченных множ-в

При том, что термины "первый элемент" и "последний элемент" обычно имеют не тот смысл, который Вы в них вкладываете.

Captious в сообщении #141654 писал(а):

выяснение причины "парадокса" бесконечных множеств, когда часть оказывается "равна" целому?

Причина "парадокса" - в незаконном употреблении термина "равна". Она не равна, а равномощна.

Кстати, возможны ситуации, когда множество бесконечно, но не равномощно никакому своему собственному подмножеству.

Captious в сообщении #141654 писал(а):

Проще говоря, в конечных множ-вах с какого бы элемента ни начать считать, этот пересчет всегда закончится вполне определенным "последним" номером.

Да. А для бесконечных множеств это не так. Поэтому метод "пересчёта" для установления равномощности конечных множеств годится, а для бесконечных - нет.

Captious в сообщении #141654 писал(а):

Ну и какой же эталон счетного множества в принципе можно выбрать взамен множ-ва $N$?

Можете взять в качестве "эталона" любое счётное множество. Например, множество рациональных чисел. Или, например, разграфим плоскость на квадратики и в качестве "эталона" возьмём множество этих квадратиков. Или ещё что-нибудь, для чего можно доказать равномощность натуральному ряду. Но удобнее всё-таки $\mathbb N$.

[AV_77]

Someone писал(а):

Кстати, возможны ситуации, когда множество бесконечно, но не равномощно никакому своему собственному подмножеству.

А пример такого множества не дадите?

[Captious]

Someone писал(а):

Вы, однако, видите здесь метод
и не видите результата - взаимно однозначного соответствия: каждому элементу множества сопоставлено натуральное число.

Не только вижу, но и прямо пишу об этом

Captious на стр.2 писал(а):

В бесконечных множествах никаких «последних» элементов нет в принципе. Для сравнения «объема» таких множеств вместо счета применяется процедура взаимно однозначного соответствия (отображения). Если такое 1-1 соответствие между элементами двух множеств установить можно, то множества считаются равномощными.

Someone писал(а):

"Нумерация" - это и есть взаимно однозначное соответствие.

А разве кто-то утверждал нечто другое?

Someone писал(а):

А что, разве конечные множества называются "ещё" равными, а не равномощными?

Если сказать, что конечные множества имеют одинаковое колич-во элементов, а потом заявить, что это называется "равномощностью" - никакой новой информации для понимания смысла процедуры установления 1-1 соответствия между элементами этих множеств мы не получим...

Someone писал(а):

Причина "парадокса" [ часть равна целому] - в незаконном употреблении термина "равна". Она не равна, а равномощна.

Дело вовсе не в употребления соответствующей терминологии...
Поэтому дадим "новую" , "законную" формулировку того же "парадокса":
почему ( по какой причине) в бесконечных множествах, в отличие от конечных, часть множества оказывается равномощной всему множеству?

Someone писал(а):

Можете взять в качестве "эталона" любое счётное множество. Например, множество рациональных чисел. Или, например, разграфим плоскость на квадратики и в качестве "эталона" возьмём множество этих квадратиков. Или ещё что-нибудь, для чего можно доказать равномощность натуральному ряду.

Ежу понятно, что все счетные множества равномощны...
Таким образом, когда

Someone писал(а):

"Нумерация" счётных множеств - это случайное обстоятельство, связанное с тем, что в качестве эталона счётного множества берётся натуральный ряд. Но такой выбор не является обязательным (хотя он технически удобен).

то никакой новой информации он нам увы, не сообщает, и множ-во $ \mathbb N$ является главным "эталоном счетности" принципиально, а вовсе не по причине "случайности" или "технического удобства" ...

Someone писал(а):

Captious писал(а):

Проще говоря, в конечных множ-вах с какого бы элемента ни начать считать, этот пересчет всегда закончится вполне определенным "последним" номером.

Да. А для бесконечных множеств это не так. Поэтому метод "пересчёта" для установления равномощности конечных множеств годится, а для бесконечных - нет.

Поэтому, когда я говорю о сравнении бесконечных множ-в, то слова пересчёт и нумерация употребляю в кавычках...
А вот своим "Да" вы недвусмысленно подтверждаете факт отсутствия в бесконечных множествах "последнего" элемента.

Someone писал(а):

Captious писал(а):

...
"пересчет" бесконечности никогда не закончится в принципе.

И что значит - "не закончится"? Вы имеете в виду, что физически невозможно за конечное (более того, ограниченное сроком жизни) время собственноручно перечислить все элементы по одному? Тут у Вас и для конечных множеств проблемы возникнут. А какое это имеет отношение к математике? Никто и никогда так не делает. В математике нет бесконечных рассуждений.

А разве я где-нибудь говорил о неких "бесконечных рассуждениях"?
Или хоть раз упоминал о наличии неких "физических ограничений", которые не позволяют в математике рассуждать о сколь угодно больших множествах?
Бесконечные множества в математике есть? И есть ли в таких множ-вах
элемент, у которого нет "следующего" за ним элемента?
Например, существует ли наибольшее ( "последнее") натуральное число в бесконечном множ-ве $\mathbb N$ ?

Someone писал(а):

... термины "первый элемент" и "последний элемент" обычно имеют не тот смысл, который Вы в них вкладываете.

Ну и что? Никаких непреодолимых трудностей в понимании сути сказанного это не вызывает, и из контекста совершенно ясно, что к терминологии линейно упорядоченных множеств это имеет весьма отдаленное отношение...

[Someone]

Captious в сообщении #141720 писал(а):

применяется процедура взаимно однозначного соответствия

"Взаимно однозначное соответствие" - не процедура.

Captious писал(а):

Someone писал(а):

Вы, однако, видите здесь метод
и не видите результата - взаимно однозначного соответствия: каждому элементу множества сопоставлено натуральное число.

Не только вижу, но и прямо пишу об этом

Captious на стр.2 писал(а):

В бесконечных множествах никаких «последних» элементов нет в принципе. Для сравнения «объема» таких множеств вместо счета применяется процедура взаимно однозначного соответствия (отображения). Если такое 1-1 соответствие между элементами двух множеств установить можно, то множества считаются равномощными.

Нет, Вы выкручиваетесь. Вот Вы писали:

Captious в сообщении #141654 писал(а):

Всем давно уже известно, что в случае конечных множеств для установления их равенства ( по количеству элементов) применяется пересчет элементов, а для бесконечных множеств эта "нумерация" заменяется операцией установления 1-1 соответствия

Это означает, что у Вас "пересчёт" и "нумерация" - одно и то же, и всё это противопоставляется взаимно-однозначному соответствию.

В действительности же, как я объяснял, для конечных множеств тоже всё сводится к установлению взаимно однозначного соответствия. Только, может быть, в слегка замаскированном виде.

Captious писал(а):

Someone писал(а):

"Нумерация" - это и есть взаимно однозначное соответствие.

А разве кто-то утверждал нечто другое?

Вы же в только что приведённой цитате и утверждали.

Captious писал(а):

Someone писал(а):

А что, разве конечные множества называются "ещё" равными, а не равномощными?

Если сказать, что конечные множества имеют одинаковое колич-во элементов, а потом заявить, что это называется "равномощностью" - никакой новой информации для понимания смысла процедуры установления 1-1 соответствия между элементами этих множеств мы не получим...

А если заявить, что они (множества) равные, то получим?

Captious писал(а):

Someone писал(а):

Причина "парадокса" [ часть равна целому] - в незаконном употреблении термина "равна". Она не равна, а равномощна.

Дело вовсе не в употребления соответствующей терминологии...

В нём, проклятом, в нём, в употреблении.

Captious писал(а):

Поэтому дадим "новую" , "законную" формулировку того же "парадокса":
почему ( по какой причине) в бесконечных множествах, в отличие от конечных, часть множества оказывается равномощной всему множеству?

Во-первых, это уже на формулировку парадокса совсем не тянет, это просто некоторый вопрос. А во-вторых, ответ на этот вопрос совсем простой: потому что функция $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$, определённая формулой $f(n)=n+1$ при $n\in\mathbb N$, является взаимно однозначным отображением натурального ряда на его собственное подмножество. В-третьих, как я говорил, требуется некоторая оговорка: этот "парадокс" (который вовсе не парадокс) может иметь место не для любых бесконечных множеств (это зависит от деталей аксиоматики и от определения бесконечного множества).

Captious писал(а):

Someone писал(а):

Можете взять в качестве "эталона" любое счётное множество. Например, множество рациональных чисел. Или, например, разграфим плоскость на квадратики и в качестве "эталона" возьмём множество этих квадратиков. Или ещё что-нибудь, для чего можно доказать равномощность натуральному ряду.

Ежу понятно, что все счетные множества равномощны...
Таким образом, когда

Someone писал(а):

"Нумерация" счётных множеств - это случайное обстоятельство, связанное с тем, что в качестве эталона счётного множества берётся натуральный ряд. Но такой выбор не является обязательным (хотя он технически удобен).

то никакой новой информации он нам увы, не сообщает, и множ-во $ \mathbb N$ является главным "эталоном счетности" принципиально, а вовсе не по причине "случайности" или "технического удобства" ...

А чем это он "главный"? Обычно счётное множество определяют как множество, равномощное натуральному ряду (на самом деле имеется в виду вполне определённая модель натурального ряда, построенная средствами теории множеств). В этом случае мы доказываем, что множество рациональных чисел счётно.
Но мы можем определить счётное множество как множество, равномощное, например, множеству рациональных чисел. В этом случае нам, напротив, придётся доказывать счётность натурального ряда. На самом деле в обоих случаях можно использовать одну и ту же конструкцию взаимно однозначного соответствия. Но теперь главным эталоном у нас по определению будет множество рациональных чисел.

Что касается "новой информации", то ничего нового, естественно, не получится.

Captious писал(а):

Someone писал(а):

Captious писал(а):

Проще говоря, в конечных множ-вах с какого бы элемента ни начать считать, этот пересчет всегда закончится вполне определенным "последним" номером.

Да. А для бесконечных множеств это не так. Поэтому метод "пересчёта" для установления равномощности конечных множеств годится, а для бесконечных - нет.

Поэтому, когда я говорю о сравнении бесконечных множ-в, то слова пересчёт и нумерация употребляю в кавычках...
А вот своим "Да" вы недвусмысленно подтверждаете факт отсутствия в бесконечных множествах "последнего" элемента.

Нет, не подтверждаю. Я объяснял, в каком смысле употребляется этот термин - для линейно упорядоченных множеств. Множество не обязано быть упорядоченным. А если оно упорядочено, то наличие или отсутствие первого и последнего элемента целиком зависит от отношения порядка на этом множестве. Тем более, если Вы употребляете "пересчёт" и "нумерацию" в кавычках.

Captious писал(а):

Бесконечные множества в математике есть? И есть ли в таких множ-вах элемент, у которого нет "следующего" за ним элемента?
Например, существует ли наибольшее ( "последнее") натуральное число в бесконечном множ-ве $\mathbb N$ ?

Например, какой "следующий" элемент после $1$ в множестве рациональных чисел? Или в том множестве, которое я приводил в качестве примера раньше?

Captious писал(а):

Someone писал(а):

... термины "первый элемент" и "последний элемент" обычно имеют не тот смысл, который Вы в них вкладываете.

Ну и что? Никаких непреодолимых трудностей в понимании сути сказанного это не вызывает, и из контекста совершенно ясно, что к терминологии линейно упорядоченных множеств это имеет весьма отдаленное отношение...

Тогда Вы должны точно определить, в каком смысле понимаете "последний" элемент. Иначе Ваши утверждения вообще непонятны.

AV_77 писал(а):

Someone писал(а):

Кстати, возможны ситуации, когда множество бесконечно, но не равномощно никакому своему собственному подмножеству.

А пример такого множества не дадите?

К сожалению, если я не ошибаюсь, явный пример дать нельзя. Ситуация тут такая.

Сначала для примера рассмотрим так называемую континуум-гипотезу, которая состоит в том, что не существует множества, мощность которого была бы больше мощности натурального ряда, но меньше мощности множества действительных чисел. Оказывается, что вопрос о справедливости континуум-гипотезы, в некотором смысле, неразрешим. Мы можем считать, что конинуум-гипотеза справедлива, и множеств промежуточной мощности нет. А если хочется, можем считать, чта континуум-гипотеза неверна, и существует несчётное подмножество множества действительных чисел, не равномощное всему множеству дейстительных чисел, однако никакого конкретного такого подмножества указать не сможем.

Здесь аналогичная ситуация, и связано всё это с аксиомой выбора.

Независимо от аксиомы выбора, в теории множеств строится некоторая стандартная модель натурального ряда, в которой натуральное число $n$ изображается множеством, содержащим ровно $n$ элементов.

Множество называется конечным, если оно равномощно какому-нибудь натуральному числу. Если множество не равномощно никакому натуральному числу, то оно называется бесконечным.

Очевидно, что если бесконечное множество содержит подмножество, равномощное натуральному ряду, то это множество равномощно некоторому своему собственному подмножеству. Можно доказать и обратное: если множество содержит собственное подмножество, равномощное всему множеству, то оно содержит подмножество, равномощное натуральному ряду.

Если мы принимаем аксиому выбора, то легко показать, что каждое бесконечное множество содержит подмножество, равномощное натуральному ряду и, следовательно, равномощное своему собственному подмножеству.

Интересная ситуация возникает, если мы отвергаем аксиому выбора. В этом случае уже не удаётся доказать, что каждое бесконечное множество должно содержать подмножество, равномощное натуральному ряду и, следовательно, нельзя доказать, что каждое бесконечное множество равномощно своему собственному подмножеству. Поэтому можно считать, что существует бесконечное множество, которое не равномощно никакому собственному подмножеству. Однако, как и в случае континуум-гипотезы, никакого конкретного множества такого рода мы указать не можем.

В 1881 году Дедекинд предложил называть бесконечным множество, равномощное своему собственному подмножеству. Если принять аксиому выбора, то определение Дедекинда будет равносильно тому, что я сформулировал выше (бесконечное - не равномощное никакому натуральному числу). Если же аксиому выбора отвергнуть, то определения оказываются не равносильными, и появляются конечные в смысле Дедекинда множества, не равномощные никакому натуральному числу. Забавно, что такое множество содержит подмножество, равномощное любому натуральному числу, но не содержит подмножества, равномощного натуральному ряду.

P.S. Существует некоторая неоднозначность в определении счётного множества. Мы здесь всё время определяем счётное множество как множество, равномощное натуральному ряду. Но, иногда (например, в книге Куратовского и Мостовского, на которую я ссылался) счётным называют множество, равномощное какому-нибудь натуральному числу или натуральному ряду.

[Captious]

Someone писал(а):

Вы должны точно определить, в каком смысле понимаете "последний" элемент. Иначе Ваши утверждения вообще непонятны.

"Первый" элемент - это элемент данного множ-ва, который при установлении 1-1 соответствия с элементами множ-ва $ \mathbb N$ ( "нумерации") сопоставляется натуральному числу 1. Натуральное число $n$ соответствует $n{\text{-му }}$ элементу.
Если элемента, соответствующего числу $n+1$, нет, то $n{\text{-ый }}$ элемент будет "последним" в данном множ-ве и "следующего" за ним элемента не существует ( множ-во конечно и имеет ровно $n$ элементов) .

Someone писал(а):

Например, какой "следующий" элемент после $1$ в множестве рациональных чисел? Или в том множестве, которое я приводил в качестве примера раньше?

Какой выберете для сопоставления со следующим по порядку элементом "эталонного" множ-ва, тот и будет "следующим"( следующим по порядку выбора).

Someone писал(а):

Множество не обязано быть упорядоченным. А если оно упорядочено, то наличие или отсутствие первого и последнего элемента целиком зависит от отношения порядка на этом множестве. Тем более, если Вы употребляете "пересчёт" и "нумерацию" в кавычках.

Ну вот, а ведь несколькими строками выше на полном серьёзе утверждалось, что ничего "вообще непонятно"...

Someone писал(а):

"Взаимно однозначное соответствие" - не процедура.

Если так уж не нравится слово "процедура", то пусть это будет "действо" по установлению 1-1 соответствия...

Captious писал(а):

Бесконечные множества в математике есть? И есть ли в таких множ-вах элемент, у которого нет "следующего" за ним элемента?
Например, существует ли наибольшее ( "последнее") натуральное число в бесконечном множ-ве $ \mathbb N$ ?

Вопросы так и остались без ответа...

Captious писал(а):

... дадим "новую" , "законную" формулировку того же "парадокса":
почему ( по какой причине) в бесконечных множествах, в отличие от конечных, часть множества оказывается равномощной всему множеству?

Someone писал(а):

Во-первых, это уже на формулировку парадокса совсем не тянет, это просто некоторый вопрос. А во-вторых, ответ на этот вопрос совсем простой: потому что функция $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$, определённая формулой $f(n)=n+1$ при $n\in\mathbb N$, является взаимно однозначным отображением натурального ряда на его собственное подмножество.

Вопрос поднимался о бесконечных множ-вах вообще, а его почему-то пытаются свести к конкретному отображению счетного множ-ва.
Ну да ладно, нам не привыкать...
Позвольте тогда спросить: где тут у вас само множество $ \mathbb N$, и где его собственное подмножество? По какому критерию вы отделили элементы множ-ва от элементов его собственного подмнож-ва?

Someone писал(а):

В-третьих, как я говорил, требуется некоторая оговорка: этот "парадокс" (который вовсе не парадокс) может иметь место не для любых бесконечных множеств (это зависит от деталей аксиоматики и от определения бесконечного множества).

Для конкретности будем считать, что мы находимся в рамках аксиоматики "наивной" теории множеств и принимаем аксиому выбора.
Так что вопрос о самой причине появления равномощности части бесконечного множ-ва всему множ-ву увы, опять остался без ответа: почему, не имея в части бесконечного множества тех элементов, которые содержатся во всём множ-ве, тем не менее, каждому элементу бесконечного множ-ва можно найти соответствующий ему элемент в его части... Ситуация просто невозможная для конечных множ-в.

[Someone]

Captious писал(а):

Someone писал(а):

Вы должны точно определить, в каком смысле понимаете "последний" элемент. Иначе Ваши утверждения вообще непонятны.

"Первый" элемент - это элемент данного множ-ва, который при установлении 1-1 соответствия с элементами множ-ва $ \mathbb N$ ( "нумерации") сопоставляется натуральному числу 1. Натуральное число $n$ соответствует $n{\text{-му }}$ элементу.
Если элемента, соответствующего числу $n+1$, нет, то $n{\text{-ый }}$ элемент будет "последним" в данном множ-ве и "следующего" за ним элемента не существует ( множ-во конечно и имеет ровно $n$ элементов).

То есть, Вы переносите порядок с натурального ряда на "нумеруемое" множество посредством взаимно однозначного соответствия. Но тогда говорить об отсутствии в множестве последнего элемента можно только после определения этого соответствия.

Captious писал(а):

Someone писал(а):

Например, какой "следующий" элемент после $1$ в множестве рациональных чисел? Или в том множестве, которое я приводил в качестве примера раньше?

Какой выберете для сопоставления со следующим по порядку элементом "эталонного" множ-ва, тот и будет "следующим"( следующим по порядку выбора).

Моё эталонное множество - это множество рациональных чисел. Я строю взаимно однозначное соответствие между множеством рациональных чисел и множеством рациональных чисел. Я решил, что числу $1$ соответствует число $1$. Какой там "следующий" элемент?

Captious писал(а):

Someone писал(а):

Множество не обязано быть упорядоченным. А если оно упорядочено, то наличие или отсутствие первого и последнего элемента целиком зависит от отношения порядка на этом множестве. Тем более, если Вы употребляете "пересчёт" и "нумерацию" в кавычках.

Ну вот, а ведь несколькими строками выше на полном серьёзе утверждалось, что ничего "вообще непонятно"...

Мы говорим о разных вещах. Я - об отношении линейного порядка на "нумеруемом" множестве (не на "эталонном"), которое (отношение) может и отсутствовать. Вы же неизвестно о чём. Вероятно, об отношении порядка на "эталонном" множестве, каковое (отношение) также может отсутствовать; если же оно присутствует, то может иметь последний элемент, а может не иметь.

Captious писал(а):

Someone писал(а):

"Взаимно однозначное соответствие" - не процедура.

Если так уж не нравится слово "процедура", то пусть это будет "действо" по установлению 1-1 соответствия...

Взаимно однозначное соответствие - это отображение (функция); в теории множеств это на самом деле тоже множество, а не какое-то "действо".

Captious писал(а):

Captious писал(а):

Бесконечные множества в математике есть? И есть ли в таких множ-вах элемент, у которого нет "следующего" за ним элемента?
Например, существует ли наибольшее ( "последнее") натуральное число в бесконечном множ-ве $ \mathbb N$ ?

Вопросы так и остались без ответа...

По-моему, я очень подробно на эти вопросы отвечал. В частности, я объяснял, что термины "первый элемент", "последний элемент", "следующий элемент" имеют смысл только в случае линейно упорядоченных множеств, и, разумеется, существуют бесконечные упорядоченные множества, в которых нет следующего элемента, но зато есть последний. Например, таков отрезок числовой прямой $[0,1]$, а если Вы хотите, чтобы множество было счётным, возьмите множество рациональных чисел этого отрезка..

Captious писал(а):

Captious писал(а):

... дадим "новую" , "законную" формулировку того же "парадокса":
почему ( по какой причине) в бесконечных множествах, в отличие от конечных, часть множества оказывается равномощной всему множеству?

Someone писал(а):

Во-первых, это уже на формулировку парадокса совсем не тянет, это просто некоторый вопрос. А во-вторых, ответ на этот вопрос совсем простой: потому что функция $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$, определённая формулой $f(n)=n+1$ при $n\in\mathbb N$, является взаимно однозначным отображением натурального ряда на его собственное подмножество.

Вопрос поднимался о бесконечных множ-вах вообще, а его почему-то пытаются свести к конкретному отображению счетного множ-ва.
Ну да ладно, нам не привыкать...;)
Позвольте тогда спросить: где тут у вас само множество $ \mathbb N$, и где его собственное подмножество? По какому критерию вы отделили элементы множ-ва от элементов его собственного подмнож-ва?

Вы хоть что-нибудь сами сообразить можете? Что значит - "где"? Функция, которую я указал, отображает натуральный ряд $\mathbb N$ на его собственное подмножество $\mathbb N\setminus\{1\}$. Про критерий - глупость. Причём тут "бесконечные множества вообще", я объяснил очень подробно (в конце сообщения, в ответе AV_77). Объяснил ситуацию и при наличии аксиомы выбора, и при её отсутствии. И даже объяснил, что возможны неэквивалентные определения бесконечного множества. Прочтите ещё раз. Потом ещё раз. Потом ещё, пока не дойдёт.

Captious писал(а):

Для конкретности будем считать, что мы находимся в рамках аксиоматики "наивной" теории множеств и принимаем аксиому выбора.

Вы, должно быть, понятия не имеете, о чём говорите. "Наивная" теория множеств - это канторовская теория. Она не формализованная и, в частности, не аксиоматизированная. Нет в ней никаких аксиом. И, как показал в своё время Рассел, эта теория противоречива.

Поэтому "находиться" мы будем "в рамках" ZFC (с аксиомой выбора, поскольку буковка "C" присутствует). В этом случае каждое бесконечное множество содержит подмножество, которое равномощно натуральному ряду. И "сдвиг" этого подмножества, соответствующий указанному выше "сдвигу" натурального ряда, "освобождает" один элемент и позволяет построить взаимно однозначное отображение заданного бесконечного множества на его собственное подмножество. Попробуйте справиться с этим упражнением самостоятельно.

Captious писал(а):

Так что вопрос о самой причине появления равномощности части бесконечного множ-ва всему множ-ву увы, опять остался без ответа: почему, не имея в части бесконечного множества тех элементов, которые содержатся во всём множ-ве, тем не менее, каждому элементу бесконечного множ-ва можно найти соответствующий ему элемент в его части... Ситуация просто невозможная для конечных множ-в.

Вопрос о "причине" я разжевал, кажется, уже до самой последней степени.

[ewert]

Someone в сообщении #141751 писал(а):

Если мы принимаем аксиому выбора, то легко показать, что каждое бесконечное множество содержит подмножество, равномощное натуральному ряду

Во-первых, если это и аксиома выбора, то в мягком (счётном) варианте.

Во вторых: а при чём тут аксиома выбора вообще? Разве то, что из любого непустого множества можно выбрать хотя бы один элемент -- это аксиома выбора?

[Captious]

Someone в сообщении #142923 писал(а):

Captious писал(а):
Так что вопрос о самой причине появления равномощности части бесконечного множ-ва всему множ-ву увы, опять остался без ответа: (...).

Вопрос о "причине" я разжевал, кажется, уже до самой последней степени.

Да уж... Точнее будет - зажевал до самой последней степени.
Но вот здесь вроде бы промелькнуло что-то, похожее на попытку понять:

Someone в сообщении #142923 писал(а):

... каждое бесконечное множество содержит подмножество, которое равномощно натуральному ряду. И "сдвиг" этого подмножества, соответствующий указанному выше "сдвигу" натурального ряда, "освобождает" один элемент и позволяет построить взаимно однозначное отображение заданного бесконечного множества на его собственное подмножество. Попробуйте справиться с этим упражнением самостоятельно.

Да я уж давно с этим справился!
Возможность "сдвига" - это следствие отсутствия "последнего" элемента, который является неисчерпаемым резервом для бесконечной процедуры установления 1-1 соответствия...
Отсюда и свойство бесконечных множеств иметь равномощное себе подмнож-во. В свою очередь, это свойство может быть положено в основу формального определения бесконечного множ-ва.

Someone писал(а):

Взаимно однозначное соответствие - это отображение (функция); в теории множеств это на самом деле тоже множество, а не какое-то "действо".

Ага... Никаких действий или процедур! Множ-ва появляются сами собой...
А бесконечных процедур в математике нет и быть не может, потому что все они описываются конечным числом символов
с использованием стандартной конструкции - "... и т.д. и т.п.".

Someone писал(а):

Вы переносите порядок с натурального ряда на "нумеруемое" множество посредством взаимно однозначного соответствия. Но тогда говорить об отсутствии в множестве последнего элемента можно только после определения этого соответствия.

Это соответствие ( процедура "нумерации") давным-давно (задолго до нас) определено, так что я спокойно могу рассуждать об отсутствующем "последнем" элементе в бесконечном множ-ве.
Вообще, почаще обращайте внимание на кавычки: они, как известно, употребляются не просто так. Возможно, тогда вам совсем не придется заниматься досужими домыслами...

Someone писал(а):

Моё эталонное множество - это множество рациональных чисел. Я строю взаимно однозначное соответствие между множеством рациональных чисел и множеством рациональных чисел. Я решил, что числу соответствует число . Какой там "следующий" элемент?

Ну уж, если ваше желание заменить традиционный эталон счетного множества на "кракозяку" столь неукротимо, то продемонстрируйте нам практически, как множ-во рацион-х чисел $\mathbb Q$ может стать "главным эталоном" счетности.

Someone в сообщении #142923 писал(а):

Captious писал(а):По какому критерию вы отделили элементы множ-ва от элементов его собственного подмнож-ва?

Про критерий - глупость.

Неужели?
А по-моему, настоящей глупостью является желание упорно не замечать, что при выделении части множ-ва и установлении 1-1 соответствия используются противоречивые критерии выбора элементов.
Если главным для нас является пересчет, связанный с
перебором элементов, то мы отождествляем количество элементов с
количеством необходимых операций и полностью отвлекаемся от разделения
элементов по совпадению или несовпадению их качеств.
Если же мы сделаем значимым для себя разделение «предметов» на
тождественные и нетождественные, то мы приходим к
теоретико-множественным операциям выделения и объединения, когда
присоединение элементов, тождественных уже содержащимся во множестве,
не изменяет этого множества.

Someone в сообщении #142923 писал(а):

Функция, которую я указал, отображает натуральный ряд $\mathbb N$ на его собственное подмножество
$\mathbb N\setminus\{1\}$

Ну и по какому признаку(критерию) числа 2, 3, 4. ... как элементы собственного подмнож-ва вы отличаете от чисел 2, 3, 4, ... т.е. от элементов всего множ-ва?

[ewert]

Captious в сообщении #142950 писал(а):

Ну и по какому признаку(критерию) числа 2, 3, 4. ... как элементы собственного подмнож-ва вы отличаете от чисел 2, 3, 4, ... т.е. от элементов всего множ-ва?

никак. Это -- ровно одни и те же элементы. И ничто не запрещает установить соответствие между этими числами и какими-либо другими.

Проведите эксперимент -- попробуйте повозводить в квадрат: 1 в квадрате есть 1; 2 в квадрате есть 4; 3 в квадрате есть 9, а вот 9 в квадрате -- это, как ни странно, уже 81.

Ну и как Вы (или Ваш калькулятор различает первую девятку и вторую?
А ведь это -- ровно тот же вопрос, который Вы только что задали.

[Someone]

ewert в сообщении #142926 писал(а):

Во-первых, если это и аксиома выбора, то в мягком (счётном) варианте.

Вы заблуждаетесь. Чтобы доказать, что несчётное множество $X$ содержит счётное подмножество, Вам потребуется функция выбора для несчётного семейства множеств $\mathcal X=\{X\setminus M:M\subseteq X\text{ конечно}\}$.
Но нужно подумать, может быть, хватит аксиомы зависимого выбора.

ewert в сообщении #142926 писал(а):

Во вторых: а при чём тут аксиома выбора вообще? Разве то, что из любого непустого множества можно выбрать хотя бы один элемент -- это аксиома выбора?

Конечно, нет. Этого хватает, чтобы построить в бесконечном множестве сколь угодно большое конечное подмножество, но не хватает, чтобы построить счётное подмножество.

Captious в сообщении #142950 писал(а):

Возможность "сдвига" - это следствие отсутствия "последнего" элемента, который является неисчерпаемым резервом для бесконечной процедуры установления 1-1 соответствия...
Отсюда и свойство бесконечных множеств иметь равномощное себе подмнож-во. В свою очередь, это свойство может быть положено в основу формального определения бесконечного множ-ва.

Это очень интересно. Докажите пожалуйста, что каждое бесконечное множество (в том смысле, что оно не равномощно никакому натуральному числу, считая и $0$ натуральным числом) содержит подмножество, равномощное натуральному ряду. Вы будете пользоваться отсутствием "последнего" элемента.

Captious в сообщении #142950 писал(а):

Это соответствие ( процедура "нумерации") давным-давно (задолго до нас) определено, так что я спокойно могу рассуждать об отсутствующем "последнем" элементе в бесконечном множ-ве.

Нет, не определено. Ещё раз: взаимно однозначное соответствие - это функция, а не процедура. "До нас" эта функция, к сожалению, не определена. "Процедура нумерации" - тем более.

Captious в сообщении #142950 писал(а):

Ну уж, если ваше желание заменить традиционный эталон счетного множества на "кракозяку" столь неукротимо, то продемонстрируйте нам практически, как множ-во рацион-х чисел $\mathbb Q$ может стать "главным эталоном" счетности.

А в чём пробема-то? Отношение равномощности рефлексивно, симметрично и транзитивно. Поскольку множество рациональных чисел равномощно множеству натуральных чисел, то всякое множество, равномощное одному из этих множеств, равномощно также и другому. Так что класс счётных множеств при такой замене не пострадает.

Captious в сообщении #142950 писал(а):

Если главным для нас является пересчет, связанный с перебором элементов, то мы отождествляем количество элементов с количеством необходимых операций и полностью отвлекаемся от разделения элементов по совпадению или несовпадению их качеств.

Да глупости Вы говорите. Мне не хочется искать, но где-то Вы писали, что пересчёт состоит в том, что каждому элементу сопоставляется уникальное "имя" в виде натурального числа. Это откровенное установление взаимно однозначного соответствия. Ни от какого "разделения элементов" мы при этом не отвлекаемся, потому что иначе мы просто не сможем понять, какие элементы мы перенумеровали, а какие - нет.

[ewert]

Someone писал(а):

Вы заблуждаетесь. Чтобы доказать, что несчётное множество $X$ содержит счётное подмножество, Вам потребуется функция выбора для несчётного семейства множеств $\mathcal X=\{X\setminus M:M\subseteq X\text{ конечно}\}$.

Этого я не понял. При построении счётного подмножества перебираются вовсе не все конечные подмножества.

Someone писал(а):

Конечно, нет. Этого хватает, чтобы построить в бесконечном множестве сколь угодно большое конечное подмножество, но не хватает, чтобы построить счётное подмножество.

А этого не понял уже совсем. Раз уж Вы согласились построить бесконечную последовательность конечных и возрастающих (по мощности) подмножеств, то что запрещает Вам взять затем их объединение?
Т.е.: разве операция счётного (вообще любого) объединения требует аксиомы выбора?

[Someone]

Someone в сообщении #141751 писал(а):

Если мы принимаем аксиому выбора, то легко показать, что каждое бесконечное множество содержит подмножество, равномощное натуральному ряду и, следовательно, равномощное своему собственному подмножеству.

ewert в сообщении #142926 писал(а):

если это и аксиома выбора, то в мягком (счётном) варианте

Someone в сообщении #143032 писал(а):

Чтобы доказать, что несчётное множество $X$ содержит счётное подмножество, Вам потребуется функция выбора для несчётного семейства множеств

ewert в сообщении #143055 писал(а):

Этого я не понял. При построении счётного подмножества перебираются вовсе не все конечные подмножества.

Нарочно всю эту последовательность цитат привёл, поскольку был не прав. Счётной аксиомы выбора действительно хватает, но её применение не столь прямолинейно, как мне хотелось бы.

ewert в сообщении #143055 писал(а):

А этого не понял уже совсем. Раз уж Вы согласились построить бесконечную последовательность конечных и возрастающих (по мощности) подмножеств, то что запрещает Вам взять затем их объединение?

Дело в том, что без аксиомы выбора (хотя бы в счётном варианте) это объединение не обязано быть счётным, и мы опять возвращаемся к тому, с чего начали.

Имеются определённые неясности и с построением этой последовательности. Построить конечную последовательность любой длины без аксиомы выбора можно, но построение бесконечной последовательности требует бесконечной последовательности выборов, а это как раз то, что обеспечивается аксиомой выбора.

ewert в сообщении #143055 писал(а):

Т.е.: разве операция счётного (вообще любого) объединения требует аксиомы выбора?

Избави Бог! Операция объединения множеств обеспечивается специальной аксиомой суммы.

[Captious]

Someone в сообщении #143032 писал(а):

Докажите пожалуйста, что каждое бесконечное множество (в том смысле, что оно не равномощно никакому натуральному числу, считая и $0$ натуральным числом ) содержит подмножество, равномощное натуральному ряду. Вы будете пользоваться отсутствием "последнего" элемента.

Да любой ежик знает, что в этом общеизвестном доказ-ве явно пользуются отсутствием последнего элемента в бесконечном множ-ве!

Теорема. Всякое бесконечное множ-во $M$ содержит счетное подмнож-во $M_0$ и притом такое, что $M\setminus\ {M_0}\ $ - бесконечно.

Док-во. Возьмём два произвольных различных элем-та множ-ва $M$ и обозначим их через $a_0$ и $b_0$. Т к. множ-во $M$ бесконечно, то оно не исчерпывается элем-ми $a_0$ и $b_0$ ( иначе говоря, во множ-ве $M$ отсутствует "последний" элемент...) и в нем можно взять два различных элемента
$a_1$ и $b_1$, отличных от $a_0$ и $b_0$.
Т.к. множ-во $M$ бесконечно, то оно не исчерпывается элементами $a_0$ , $b_0$, $a_1$ и $b_1$ и процедуру выбора элементов можно повторить и взять во множ-ве $M$ два различных элемента $a_2$ и $b_2$, отличных от $a_0$ , $b_0$, $a_1$ и $b_1$ и т.д. до бесконечности (= типичное описание бесконечного процесса конечными средствами... )
В результате мы получаем два счетных подмнож-ва множ-ва $M$:
$M_0$ = { $a_0$ , $a_1$, ... , $ a_n$ , ...} и $M_1$ = { $b_0$ , $b_1$, ... , $b_n$ , ...}
А так как $M_1$ входит в $M\setminus\ {M_0}\ $ , то это последнее множ-во бесконечно, и теорема доказана.

Someone в сообщении #143032 писал(а):

Captious в сообщении #142950 писал(а):
Ну уж, если ваше желание заменить традиционный эталон счетного множества на "кракозяку" столь неукротимо, то продемонстрируйте нам практически, как множ-во рацион-х чисел может стать "главным эталоном" счетности.

А в чём проблема-то? Отношение равномощности рефлексивно, симметрично и транзитивно. Поскольку множество рациональных чисел равномощно множеству натуральных чисел, то всякое множество, равномощное одному из этих множеств, равномощно также и другому. Так что класс счётных множеств при такой замене не пострадает.

Проблемы станут видны невооруженным глазом сразу, как только от общих фраз перейдут к конкретному воплощению этого "рацпредложения" в жизнь...
Но судя по всему, нам опять хотят подсунуть вовсе не то, что обещали, поэтому напоминаю, что демонстрации равномощности всех счетных множ-в между собой не требуется. Поскольку ранее, ничтоже сумняшеся, нас уверяли, что множ-во $\mathbb N$ взято в качестве эталона счетности случайно, то теперь исходным пунктом должно стать именно множ-во $\mathbb Q$, а вот счетность мн-ва $\mathbb N$ (в смысле "нового" определения "счетности" ) надо будет ещё доказать...

Someone в сообщении #141751 писал(а):

Но мы можем определить счётное множество как множество, равномощное, например, множеству рациональных чисел. В этом случае нам, напротив, придётся доказывать счётность натурального ряда. На самом деле в обоих случаях можно использовать одну и ту же конструкцию взаимно однозначного соответствия. Но теперь главным эталоном у нас по определению будет множество рациональных чисел.

Вот,вот... Примерно в таком направлении и надо действовать!

Someone в сообщении #142923 писал(а):

Я строю взаимно однозначное соответствие между множеством рациональных чисел и множеством рациональных чисел. Я решил, что числу $1$ соответствует число $1$ . Какой там "следующий" элемент?

После внедрения в жизнь вашей "рацухи" мы и узнаем ответ на этот животрепещущий вопрос...

Someone в сообщении #143032 писал(а):

Captious в сообщении #142950 писал(а):
Если главным для нас является пересчет, связанный с перебором элементов, то мы отождествляем количество элементов с количеством необходимых операций и полностью отвлекаемся от разделения элементов по совпадению или несовпадению их качеств.

Да глупости Вы говорите. Мне не хочется искать, но где-то Вы писали, что пересчёт состоит в том, что каждому элементу сопоставляется уникальное "имя" в виде натурального числа. Это откровенное установление взаимно однозначного соответствия.

Воистину так оно и есть!
А разве кто-нибудь утверждал что это не так?

Someone писал(а):

Ни от какого "разделения элементов" мы при этом не отвлекаемся, потому что иначе мы просто не сможем понять, какие элементы мы перенумеровали, а какие - нет.

В свете сказанного, наш вопрос, по существу, остается прежним: по какому признаку(критерию) числа 2, 3, 4. ... как элементы собственного подмнож-ва вы разделяете/отличаете от тех же чисел 2, 3, 4, ... как элементов всего множ-ва при проведении процедуры установления 1-1 соответствия?
Напоминаю также, что остается совершенно непонятно , каким образом отображение $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$, определённое формулой $f(n)=n+1$ при $n\in\mathbb N$, представляющее собой описание естественного порядка следования чисел натурального ряда
1 → 2 → 3 → 4 → ...
является прямым ответом на вопрос о причине появления равномощности части бесконечного множ-ва всему множ-ву ...

Someone писал(а):

Ещё раз: взаимно однозначное соответствие - это функция, а не процедура. "До нас" эта функция, к сожалению, не определена. "Процедура нумерации" - тем более

А эту чушь несусветную я оставляю безо всяких комментариев...
Она сродни "тезисам" об отсутствии в математике
бесконечных процессов...

[ewert]

Someone писал(а):

ewert в сообщении #143055 писал(а):

А этого не понял уже совсем. Раз уж Вы согласились построить бесконечную последовательность конечных и возрастающих (по мощности) подмножеств, то что запрещает Вам взять затем их объединение?

Дело в том, что без аксиомы выбора (хотя бы в счётном варианте) это объединение не обязано быть счётным, и мы опять возвращаемся к тому, с чего начали.

Мы с Вами говорим на разных языках -- я полную аксиоматику теории множеств совершенно не помню (а скорее всего, никогда и не знал). И тем не менее -- снова не понимаю. Если мы допустили, что некая вполне определённая последовательность конечных множеств уже построена, то элементы их объединения нумеруются вполне конкретным способом: выписываем подряд все элементы первого множества, затем второго и т.д. С последующим прореживанием последовательности (для удаления дублирующих элементов).
Ни первый, ни второй шаг никакой аксиомы выбора, даже счётной, не требует.

[OZH]

epros писал(а):

OZH писал(а):

Возникает вопрос: то, что мы имеем сегодня --- это закономерный, а потому и единстенный, способ математического познания мира, или существуют принципиально иные подходы к самому построению математики?

Конечно, существует т.н. конструктивный анализ. Но я имею в ви ду сам подход к определению понятий.

Вы задали вопрос и сами же на него ответили. И почему же ответ Вас не устроил?

Потому, что я воспринимаю историю не как прогрессирующее развитие чего-то одного, а цепочку выборов, в результате которых нам достаётся не всегда лучшее. По крайней мере, наличие альтернативы как-то оттеняет каждый из вариантов.

Цитата:

Какой "сам подход" Вы имеете в виду?

Экстенсивный, если так понятнее. Мы берём понятие в своём самом простом и наглядном, но свёрнутом виде, когда само это понятие полностью раскрывается в результате разработки теории, А нельзя ли дать какое-то другое определение, предполагающее и множество возможностей использования объектов, описываемых данным понятием?

Добавлено спустя 9 минут 12 секунд:

epros писал(а):

Может быть Вам следовало сначала задаться вопросом: Зачем (нужна вся эта математика)?

Математика существует для того, чтобы \begin{enumerate} \item Развивать мозги (математика --- это умение рассуждать и доказывать). \item Познавать мир при помощи мат. моделей (математика --- это язык). \item Прозревать истину (математика --- царица наук). \end{enumerate}

Цитата:

Это философ может "работать" ради одного только интеллектуального самоудовлетворения, а нормальному математику, наверное, нужна какая-то внешняя цель...

Цель --- найти эффективный математический формализм.

Возможно, что такого формализма не существует, потому что математика устроена иначе и не допускает чёткого разложения понятий по полочкам. Но доказуемо ли это?

P.S. Не знаю, будет ли тут позволительно ради эксперимента выделять некоторые высказывания тегом MATH?

Добавлено спустя 6 минут 56 секунд:

Someone писал(а):

OZH в сообщении #139703 писал(а):

1. Проблема мощности.

Де в том, что интуиция, как мне представляется, связывает "количество элементов" не с понятием мощности (класс биективных друг другу множеств), а с понятием порядкого числа. То есть "количество элементов" связано ещё и со способом пересчёта элементов.

Нет, порядковые числа не годятся. Тот же натуральный ряд мы можем "пересчитать" так, что получится $\omega$, а если захотим, то получим $\omega+1$ или $\omega\cdot 2$.

Это Вы себе позволяете говорить "мы можем". Это --- некое соглашение. Если использовать более строгий подход, то такая вольность речи уже не буде допустимой.

Цитата:

Вместе с тем, идея взаимно однозначного соответствия, как показывает история, вовсе не является искусственной. Примитивные системы счёта больше соответствуют этой идее, а не порядковым числам, поскольку они при счёте сопоставляют предметам пальцы рук и ног сначала одного человека, потом - другого и так далее ("полная рука" "человек" оленей - 100 штук).

Всё это относится исключительно к конечным множествам.

Добавлено спустя 9 минут 22 секунды:

AD писал(а):

В множестве $\mathbb{R}$ действительных чисел ...

Так что же такое $\mathbb{R}$? Так и запишем:

$\mathbb{R}$ --- это классы сходящихся последовательностей...

Цитата:

И я не стал бы одновременно, "наравне", пользоваться $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{Q}'$.

А вот это --- довольно интересной вопрос: что же происходит на деле?

Добавлено спустя 15 минут 51 секунду:

Someone писал(а):

Упорядоченность не предопределяет способа "пересчёта". Попробуйте "пересчитать" рациональные числа, опираясь на их упорядоченность. Наоборот, в случае натурального ряда она помогает "пересчитать" (в порядке возрастания) сначала нечётные числа, потом чётные, и получить $\omega\cdot 2$.

Всё-таки никак не могу отождествить $\omega$ и $\omega\cdot 2$. Не смотря на равномощность. Это какой-то неправильный способ персчёта! ("Это неправильные пчёлы!")

Цитата:

Пополнение множества рациональных чисел - это множество классов эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Исходное множество рациональных чисел не является подмножеством пополнения просто по определению. Другое дело, что, после определения алгебраических операций и метрики на множестве классов эквивалентности оказывается, что классы эквивалентности последовательностей, сходящихся к рациональным числам, составляют подмножество, изоморфное исходному множеству рациональных чисел в алгебраическом смысле и изометричное ему. Но ещё раз подчёркиваю: исходные рациональные числа не содержатся в построенном множестве действительных чисел. Исходное множество рациональных чисел всего лишь изоморфно и изометрично некоторому подмножеству пополнения.

Замечательно. Как по учебнику.

Цитата:

Вы что, думаете, что натуральный ряд существует в единственном экземпляре?

Я не настаиваю. Но хочу иметь в распоряжении хоть что-то "в единственном экземпляре"!

Цитата:

Если у нас есть один натуральный ряд, то никто не помешает нам построить другой, изоморфный первому, но не совпадающий с ним.

Дайте мне пожалуйста конфетку! Неизоморфную чему бы то ни было. (Текут слюнки...)

Цитата:

А поле комплексных чисел является "расширением" поля действительных чисел. И расширили его не "для верности", а по чисто практическим соображениям.

Это я "для верности" подкрутил, чтобы для красного словца получилось. О практических соображениях говорит, вроде бы, В.А.Зорич: мол, в комплексном анализе изящно выглядят некоторые теоремы анализа простого, и становится понятным откуда у таких-то рядов ноги растут.

Добавлено спустя 18 минут 13 секунд:

Someone писал(а):

Captious в сообщении #141531 писал(а):

В теории множеств, как известно, равными считаются множ-ва, состоящие из одинаковых элементов.

Не из одинаковых, а из одних и тех же. Судя по следующему тексту, у Вас "одинаковые"$\neq$"одни и те же".

Конечно, человек оговорился.

Цитата:

Captious в сообщении #141531 писал(а):

Одинаковые элементы по определению считаются неотличимыми, поэтому каждый элемент множ-ва входит в него в единственном экземпляре.

Бред. Например, электроны одинаковые (неотличимые), но их больше одного.

Имеется в виду, например, что \{x,x\}=\{x\}.

Цитата:

Captious в сообщении #141531 писал(а):

предполагает
обращение к процедуре «пересчета» элементов множ-в, связанной с присвоением каждому элементу множества некого уникального имени-номера.

Бред. Никакого "пересчёта" не предполагается.

Не предполагается где? Имеется в виду, что в конечном множестве можно произвести процедуру пересчёта элементов...

Цитата:

Captious в сообщении #141531 писал(а):

В бесконечных множествах никаких «последних» элементов нет в принципе.

Что такое "последний элемент"?

в результате которого какой-то элемент окажется последним.

Цитата:

Например, рассмотрим множество чисел $\{1,1-\frac 1n:n\in\mathbb N\}$, состоящее из числа $1$ и из всех чисел вида $1-\frac 1n$, где $n$ - натуральное число. В этом множестве число $1$ "последнее" или "не последнее"?

Речь, разумеется, идёт о том, что 1 никакое не последнее число, хотя топологически это и может как-то выходить.

Цитата:

Captious в сообщении #141531 писал(а):

Но вот наша процедура «пересчета» элементов бесконечного множества факт «качественной неэквивалентности» множеств не отражает: вместо отсутствующих элементов номера-имена получают «следующие» за ними элементы, которые в силу отсутствия «последнего элемента» всегда находятся.

Абракадабра какая-то.

Sic.!

Цитата:

Captious в сообщении #141531 писал(а):

С содержательной точки зрения бесконечное подмнож-во четных чисел неэквивалентно всему множ-ву, так как элементы этих множеств разные по свойствам. А вот с точки зрения 1-1 соответствия эти множ-ва эквивалентны, равномощны.

Что здесь делает слово "неэквивалентно"? В каком именно смысле понимается "эквивалентность" множеств? С какой "содержательной" точки зрения?

Речь идёт о неких "свойствах".

Добавлено спустя 12 минут 30 секунд:

Someone в сообщении #141686 писал(а):

Самое прямое. И он больше вопроса не задаёт. То ли удовлетворён, то ли ещё что.

Нет, конечно. Я внимательно наблюдаю. И почитываю по мере течения времени и по мере понимания. (Или: непонимания)))