Вопрос по теории чисел

[mathpriv]

Из книги В. Серпинского «Что мы знаем и чего не знаем о простых числах» ((Москва - Ленинград: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963, стр. 14) :
"В связи с теоремой 3 заметим, что в 1850 г. П. Л. Чебышев доказал более сильную теорему (так называемый постулат Бертрана), согласно которой для натуральных $ n>3$ между $n$ и $2n-2$ содержится хотя бы одно простое число. Отсюда следует, что в теореме 3 число $n!$ можно заменить числом $2n$. В настоящее время имеется элементарное доказательство этой теоремы, но оно довольно длинное [W. Sierpinsski, Arifmetyka teoretyczna, Wyd. 2, Warszawa, 1959, str. 88-94], [1]. Можно также доказать, что для натуральных $ n>5$ между $n$ и $2n$ содержится по меньшей мере два простых числа [W. Sierpinsski, Teoria liczb, II, Warszawa, 1959, str. 400], [2]."
Из книги Бухштаба «Теория чисел»:
"2.3 Теоремы Чебышева.
... В следующем утверждении, носящем название «постулат Бертрана», по-существу содержится оценка сверху расстояния между двумя соседними простыми числами $ p_k$ и $p_k_+_1$. Оно, в частности, утверждает, что $p_k_+_1<2p_k$. Эта, и даже более сильная, теорема впервые была доказана в 1852 г. П. Л. Чебышевым.
Теорема 2.4. Для любого натурального $n>1$ существует простое число $p$, удовлетворяющее неравенствам $n<p<2n$."
Вопрос: по меньшей мере одно или два простых числа содержится между $n$ и $2n$?
Может кто сталкивался с этим вопросом. И не удаётся пока найти, скачать книги [1], [2].

[Someone]

mathpriv в сообщении #1441908 писал(а):

Вопрос: по меньшей мере одно или два простых числа содержится между n и 2n?

Вообще-то, одно другому не противоречит. Да и условия у двух теорем немножко разные: в одной $n>3$ и между $n$ и $2n-2$, а в другой $n>5$ и между $n$ и $2n$.

P.S. Формулы неправильно пишете. Придёт модератор и снесёт тему в Карантин для исправления. При регистрации правила всё-таки лучше читать.
http://dxdy.ru/topic8355.html
http://dxdy.ru/topic183.html

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[GAA]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: не указана.

[mathpriv]

Someone в сообщении #1441928 писал(а):

mathpriv в сообщении #1441908 писал(а):

Вопрос: по меньшей мере одно или два простых числа содержится между $n$ и $2n$?

Вообще-то, одно другому не противоречит. Да и условия у двух теорем немножко разные: в одной $n>3$ и между $n$ и $2n-2$, а в другой $n>5$ и между $n$ и $2n$.

Спасибо! Вопрос математически нужно откорректировать:
Вопрос: по меньшей мере одно или два простых числа содержится между $n$ и $2n$ для натуральных $n>5$?
(2),3,(4); (3),4,5,(6); (5),6,7,8,9,(10) - пропускаем.
(4),5,6,7,(8) - не засчитываем.
Жирным шрифтом обозначены простые числа .

[Someone]

mathpriv в сообщении #1442285 писал(а):

Вопрос: по меньшей мере одно или два простых числа содержится между $n$ и $2n$ для натуральных $n>5$?

Вторая утверждает, что два. Первая теорема этому не противоречит.

[grizzly]

mathpriv
А если $n>100$, тогда между $n$ и $2n$ всегда найдётся по меньшей мере 10 простых. А если взять $n>1000$, тогда ещё больше. И так далее, до скольких угодно.

[mathpriv]

Someone в сообщении #1442303 писал(а):

mathpriv в сообщении #1442285 писал(а):

Вопрос: по меньшей мере одно или два простых числа содержится между $n$ и $2n$ для натуральных $n>5$?

Вторая утверждает, что два. Первая теорема этому не противоречит.

Ещё раз уточняю вопрос: доказательство про два где посмотреть?

-- 01.03.2020, 03:03 --

grizzly в сообщении #1442307 писал(а):

mathpriv
А если $n>100$, тогда между $n$ и $2n$ всегда найдётся по меньшей мере 10 простых. А если взять $n>1000$, тогда ещё больше. И так далее, до скольких угодно.

Это вроде бы так, но не совсем так. Никакое наблюдение простых чисел в доступном интервале натуральных не служит доказательством до бесконечности выявленной закономерности.
Говоря "ещё больше" мы нарываемся на открытую проблему: не доказано, что между $x^2$ и $(x+1)^2$, где $x$ целое, содержится хотя бы одно простое число.

[nnosipov]

mathpriv в сообщении #1442334 писал(а):

Говоря "ещё больше" мы нарываемся на открытую проблему: не доказано, что между $x^2$ и $(x+1)^2$, где $x$ целое, содержится хотя бы одно простое число.

Ничего подобного, эта открытая проблема здесь ни при чем. Для любого натурального $k$ существует такое $N$, что при $x>N$ между $x$ и $2x$ находятся по крайней мере $k$ простых чисел. Это легко следует из асимптотического закона распределения простых чисел.

Что касается именно двух простых чисел между $x$ и $2x$, то здесь достаточно теоремы Чебышева, которая гласит: для любого $\delta>6/5$ существует такое $x_0=x_0(\delta)$, что для каждого $x>x_0$ интервал $(x,\delta x)$ содержит хотя бы одно простое число. Теорема Чебышева доказывается элементарными методами и ее доказательство проще, чем доказательство асимптотического закона распределения простых чисел.

[grizzly]

mathpriv в сообщении #1442334 писал(а):

Ещё раз уточняю вопрос: доказательство про два где посмотреть?

Вот здесь подробно и хорошо расписано на [продвинутом] школьном уровне, как доказывать для одного простого. Доказательства для 2, 10 и любого другого числа там даются в виде упражнений (см. задачи 5, 9, 10), которые каждый, кто разобрался с основным доказательством, сможет выполнить самостоятельно.

[mathpriv]

nnosipov, grizzly, спасибо за помощь!
Не приходилось вникать в теорию чисел. Буду разбираться с азов, что с Вашей помощью будет происходить существенно быстрей.
Если что-то будет опять непонятно, то обращусь к Вам, спасибо.

[nnosipov]

В известном доказательство Эрдеша постулата Бертрана фактически доказывается, что количество простых чисел между $n$ и $2n$ не меньше, чем нечто, эквивалентное при $n \to \infty$ величине

$$ \frac{cn}{\ln{n}}, \quad c=\frac{2\ln{2}}{3} \approx 0.46. $$

Асимптотический закон, понятно, дает наилучшую оценку --- с константой $c=1$. Жаль, что в статье из Кванта автор не приводит подобных оценок (хотя бы для сравнения с другими возможными доказательствами).

-- Вс мар 01, 2020 17:42:20 --

nnosipov в сообщении #1442342 писал(а):

Что касается именно двух простых чисел между $x$ и $2x$, то здесь достаточно теоремы Чебышева

Все-таки доказательство Эрдеша попроще будет. Найти его можно в книге Айгнер, Циглер "Доказательства из Книги" (М.: Мир, 2006).

[svv]

(Оффтоп)

mathpriv в сообщении #1441908 писал(а):

W. Sierpinsski, Arifmetyka teoretyczna

W. Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna

Может, теперь и книги легче найти будет.

[mathpriv]

Цитата:

nnosipov в сообщении #1442342 писал(а):

Что касается именно двух простых чисел между $x$ и $2x$, то здесь достаточно теоремы Чебышева

Все-таки доказательство Эрдеша попроще будет. Найти его можно в книге Айгнер, Циглер "Доказательства из Книги" (М.: Мир, 2006).

Спасибо! Так мне будет быстрее разобраться с этим вопросом.

-- 02.03.2020, 12:48 --

Странно, почему не во всех книгах, учебниках сразу приводится расширенный ответ на этот вопрос. Если бы не строчка в книге Серпинского, то прошёл бы мимо и остался бы с белым пятном, пока не добрался до распределения простых чисел. А ведь теоремы Чебышева о простых числах во многих книгах, учебниках излагаются в одной главе. Вот теперь с помощью форума удалось собрать фрагментами этот расширенный ответ. Спасибо!

[Sonic86]

mathpriv, ИМХО, книги Серпинского они ... не знаю как сказать, слабоваты что-ли? То, что давно есть в учебниках, у него почему-то не упоминается. Т.е. в эти книги имеет смысл зайти за задачами или если нет других источников информации, а так они какие-то немножко отсталые, почти всю информацию нужно смотреть в нормальных учебниках.