Сущность математических проблем

[Someone]

ewert в сообщении #143399 писал(а):

Мы с Вами говорим на разных языках -- я полную аксиоматику теории множеств совершенно не помню (а скорее всего, никогда и не знал). И тем не менее -- снова не понимаю. Если мы допустили, что некая вполне определённая последовательность конечных множеств уже построена, то элементы их объединения нумеруются вполне конкретным способом: выписываем подряд все элементы первого множества, затем второго и т.д. С последующим прореживанием последовательности (для удаления дублирующих элементов).
Ни первый, ни второй шаг никакой аксиомы выбора, даже счётной, не требует.

Как-то (когда я был студентом третьего курса) перед топологическим семинаром я и два наших корифея - Слава Малыхин (давно уже профессор) и Боря Шапировский (к сожалению, умер в 1991 году) обсуждали какие-то вопросы топологии и теории множеств, и почему-то промелькнула фраза, что доказать счётность объединения счётного множества счётных множеств без аксиомы выбора нельзя. Надо сказать, что теорией множеств самой по себе я особо не интересовался, поэтому спросил: "А почему, собственно говоря?" Доказательство я знал, а обычая отслеживать употребление аксиомы выбора у математиков нет, так что мне тогда тоже казалось, что, вроде бы, аксиома выбора и ни к чему.
Естественно, мне сказали: "Ну и как ты будешь доказывать без аксиомы выбора?" Я начал: "Ну, для каждого множества выберем..." - и тут я заткнулся. Я понял, где тут аксиома выбора.

ewert в сообщении #143055 писал(а):

Раз уж Вы согласились построить бесконечную последовательность конечных и возрастающих (по мощности) подмножеств

Но я же писал, что уже построение этой последовательности требует применения аксиомы выбора. Без аксиомы выбора мы можем осуществить неопределённый выбор только конечное число раз (хотя и сколь угодно большое).

Captious в сообщении #143186 писал(а):

Да любой ежик знает, что в этом общеизвестном доказ-ве явно пользуются отсутствием последнего элемента в бесконечном множ-ве!

Ёжик, может быть, и знает. А я сомневаюсь.

Captious писал(а):

Док-во. Возьмём два произвольных различных элем-та множ-ва $M$ и обозначим их через $a_0$ и $b_0$. Т к. множ-во $M$ бесконечно, то оно не исчерпывается элем-ми $a_0$ и $b_0$ ( иначе говоря, во множ-ве $M$ отсутствует "последний" элемент...)

Очень хорошо, что Вы это сказали. Теперь я понял, что такое "отсутствует последний элемент" в Вашем понимании. Это просто дурацкий синоним общепринятого термина "множество бесконечно". Можно смело забыть про "последний элемент" и говорить просто про бесконечное множество.

Captious писал(а):

... и т.д. до бесконечности (= типичное описание бесконечного процесса конечными средствами... ;) )

Очень не люблю этого "и т.д.", поскольку оно не всегда формализуется, а если оно не формализуется, то это означает, что доказательства нет. Пожалуйста, формализуйте своё рассуждение.

Вдобавок, как я уже объяснял, эта теорема не всегда верна, поэтому и рассуждение Ваше не всегда формализуется.

Captious в сообщении #143186 писал(а):

Проблемы станут видны невооруженным глазом сразу, как только от общих фраз перейдут к конкретному воплощению этого "рацпредложения" в жизнь...

А я сразу говорил, что множество натуральных чисел выбирается в качестве эталона именно потому, что этот эталон очень удобен с технической точки зрения. Множество рациональных чисел гораздо менее удобно, поскольку имеет намного более сложную структуру. Однако если мы хотим доказать счётность множества рациональных чисел, используя в качестве эталона его же само, то никаких проблем быть не должно. Рациональному числу $1$ мы поставили в соответствие рациональное число $1$. Какой элемент "следующий"? Уже в который раз спрашиваю.

Captious писал(а):

теперь исходным пунктом должно стать именно множ-во $\mathbb Q$, а вот счетность мн-ва $\mathbb N$ (в смысле "нового" определения "счетности" ) надо будет ещё доказать...

У Вас с этим доказательством какие-то проблемы?

Captious писал(а):

Someone в сообщении #143032 писал(а):

Captious в сообщении #142950 писал(а):

Если главным для нас является пересчет, связанный с перебором элементов, то мы отождествляем количество элементов с количеством необходимых операций и полностью отвлекаемся от разделения элементов по совпадению или несовпадению их качеств.

Да глупости Вы говорите. Мне не хочется искать, но где-то Вы писали, что пересчёт состоит в том, что каждому элементу сопоставляется уникальное "имя" в виде натурального числа. Это откровенное установление взаимно однозначного соответствия.

Воистину так оно и есть!
А разве кто-нибудь утверждал что это не так?

Мы уже это обсуждали. Именно Вы и утверждали, что это не так, противопоставляя пересчёт и установление взаимно однозначного соответствия. Вот цитата:

Someone писал(а):

Captious в сообщении #141720 писал(а):

применяется процедура взаимно однозначного соответствия

"Взаимно однозначное соответствие" - не процедура.

Captious писал(а):

Someone писал(а):

Вы, однако, видите здесь метод
и не видите результата - взаимно однозначного соответствия: каждому элементу множества сопоставлено натуральное число.

Не только вижу, но и прямо пишу об этом

Captious на стр.2 писал(а):

В бесконечных множествах никаких «последних» элементов нет в принципе. Для сравнения «объема» таких множеств вместо счета применяется процедура взаимно однозначного соответствия (отображения). Если такое 1-1 соответствие между элементами двух множеств установить можно, то множества считаются равномощными.

Нет, Вы выкручиваетесь. Вот Вы писали:

Captious в сообщении #141654 писал(а):

Всем давно уже известно, что в случае конечных множеств для установления их равенства ( по количеству элементов) применяется пересчет элементов, а для бесконечных множеств эта "нумерация" заменяется операцией установления 1-1 соответствия

Это означает, что у Вас "пересчёт" и "нумерация" - одно и то же, и всё это противопоставляется взаимно-однозначному соответствию.

В действительности же, как я объяснял, для конечных множеств тоже всё сводится к установлению взаимно однозначного соответствия. Только, может быть, в слегка замаскированном виде.

Captious писал(а):

Someone писал(а):

"Нумерация" - это и есть взаимно однозначное соответствие.

А разве кто-то утверждал нечто другое?

Вы же в только что приведённой цитате и утверждали.

Вот ещё пример абсурда:

Captious писал(а):

Someone писал(а):

"Взаимно однозначное соответствие" - не процедура.

Если так уж не нравится слово "процедура", то пусть это будет "действо" по установлению 1-1 соответствия...

Совершенно великолепно: "взаимно однозначное соответствие - это процедура по установлению взаимно однозначного соответствия".

Captious в сообщении #143186 писал(а):

В свете сказанного, наш вопрос, по существу, остается прежним: по какому признаку(критерию) числа 2, 3, 4. ... как элементы собственного подмнож-ва вы разделяете/отличаете от тех же чисел 2, 3, 4, ... как элементов всего множ-ва при проведении процедуры установления 1-1 соответствия?

Обыкновенно. У нас есть два множества: $\mathbb N$ и $\mathbb N\setminus\{1\}$. Берём любой элемент $n\in\mathbb N$ и ставим ему в соответствие элемент $n+1\in\mathbb N\setminus\{1\}$. В чём проблема? Мы должны различать различные элементы сами по себе, а не в связи с их принадлежностью каким-либо множествам. Если элемент $2$ принадлежит обоим множествам, то это один элемент, и "отличать" его от самого себя не требуется.

Captious писал(а):

Напоминаю также, что остается совершенно непонятно , каким образом отображение $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$, определённое формулой $f(n)=n+1$ при $n\in\mathbb N$, представляющее собой описание естественного порядка следования чисел натурального ряда
1 → 2 → 3 → 4 → ...
является прямым ответом на вопрос о причине появления равномощности части бесконечного множ-ва всему множ-ву ...

Господи, ну какие же тривиальности приходится объяснять! Пусть множество $A$ содержит счётное подмножество $B$. Возьмём любое взаимно однозначное отображение $\varphi\colon\mathbb N\xrightarrow{\text{на}}B$ и определим отображение $g\colon A\to A$ так:

$$g(x)=\begin{cases}\varphi(f(\varphi^{-1}(x)))\text{, если }x\in B\text{,}\\ x\text{, если }x\in A\setminus B\text{.}\end{cases}$$

Тогда $g$ взаимно однозначно отображает $A$ на собственное подмножество $A\setminus\{\varphi(1)\}$.

Captious в сообщении #143186 писал(а):

А эту чушь несусветную я оставляю безо всяких комментариев...

Взаимно.

OZH в сообщении #144122 писал(а):

P.S. Не знаю, будет ли тут позволительно ради эксперимента выделять некоторые высказывания тегом MATH?

Не надо так делать. Для выделения жирным шрифтом существует тег

[b]...[/b]

Но злоупотреблять выделением не разрешается правилами.

OZH в сообщении #144122 писал(а):

Это Вы себе позволяете говорить "мы можем". Это --- некое соглашение. Если использовать более строгий подход, то такая вольность речи уже не буде допустимой.

Нет, это никакое не соглашение и не вольность речи. Это неустранимая возможность неоднозначной нумерации порядковыми числами. Если мы можем "пересчитать" натуральный ряд так, что получается $\omega$, то, "пересчитав" сначала нечётные числа, а потом - чётные, мы получим $\omega\cdot 2$. Но мы можем договориться, что в качестве эталона берётся наименьшее порядковое число данной мощности (такие порядковые числа называются начальными). Обычно алефы отождествляют именно с начальными порядковыми числами.

OZH в сообщении #144122 писал(а):

Всё это относится исключительно к конечным множествам.

??? Почему идея взаимно однозначного соответствия относится исключительно к конечным множествам?

Добавлено спустя 1 час 1 минуту 35 секунд:

OZH в сообщении #144122 писал(а):

Всё-таки никак не могу отождествить $\omega$ и $\omega\cdot 2$. Не смотря на равномощность. Это какой-то неправильный способ персчёта! ("Это неправильные пчёлы!")

Речь ведь и идёт о равномощности! Если множества равномощны, то между ними существует взаимно однозначное соответствие. Ординалы $\omega$ и $\omega\cdot 2$ равномощны, поэтому каждый из них можно "пересчитать" с помощью другого. Потому что "пересчёт" как раз и даёт взаимно однозначное соответствие.

OZH в сообщении #144122 писал(а):

Конечно, человек оговорился.

Не оговорился он. Либо у него каша в голове, либо это просто тролль, развлекающийся тем, что он пишет глупости Я с ним тоже развлекаюсь. Что не оговорился, следует из полного текста.

OZH писал(а):

Цитата:

Captious в сообщении #141531 писал(а):

Одинаковые элементы по определению считаются неотличимыми, поэтому каждый элемент множ-ва входит в него в единственном экземпляре.

Бред. Например, электроны одинаковые (неотличимые), но их больше одного.

Имеется в виду, например, что \{x,x\}=\{x\}.

Не понял. В теории множеств различные элементы безусловно считаются различимыми. Поскольку $x$ - один элемент, то это множество содержит только один элемент. Данное равенство - следствие определения равенства множеств. Для электронов ситуация другая: их много, но они неразличимы.

OZH писал(а):

Цитата:

Например, рассмотрим множество чисел $\{1,1-\frac 1n:n\in\mathbb N\}$, состоящее из числа $1$ и из всех чисел вида $1-\frac 1n$, где $n$ - натуральное число. В этом множестве число $1$ "последнее" или "не последнее"?

Речь, разумеется, идёт о том, что 1 никакое не последнее число, хотя топологически это и может как-то выходить.

Я объяснял, что термины "первый элемент", "последний элемент", "следующий элемент" связаны с отношением порядка и имеют смысл только тогда, когда такое отношение на множестве есть. На том множестве, которое я изобразил, естественное отношение порядка имеется, и элемент $1$ в нём является последним. Не надо употреблять стандартные термины в нестандартном смысле.

[ewert]

Someone писал(а):

ewert в сообщении #143055 писал(а):

Раз уж Вы согласились построить бесконечную последовательность конечных и возрастающих (по мощности) подмножеств

Но я же писал, что уже построение этой последовательности требует применения аксиомы выбора. Без аксиомы выбора мы можем осуществить неопределённый выбор только конечное число раз (хотя и сколь угодно большое).

В моём понимании аксиома счётного выбора -- это: если есть некий счётный набор (непересекающихся) множеств, то можно составить такое множество, которое содержит ровно по одному элементу каждого из исходных множеств.

Однако при построении счётного подмножества никаких таких наборов не наблюдается. Просто берётся один элемент множества, затем -- ещё один из оставшихся и т.д. Где здесь аксиома выбора?

И, кстати, со счётностью счётного объединения -- аналогично. Там изначально предполагается, что сами множества уже пронумерованы и элементы внутри каждого -- тоже. Тогда нумерация элементов объединения осуществляется по вполне конструктивной диагональной процедуре. Вновь: где здесь аксиома выбора?

[Captious]

Someone в сообщении #144157 писал(а):

Мы должны различать различные элементы сами по себе, а не в связи с их принадлежностью каким-либо множествам. Если элемент $2$принадлежит обоим множествам, то это один элемент, и "отличать" его от самого себя не требуется.

Любой ежик знает, что по определению равными считаются множ-ва, состоящие из одних и тех же элементов. Речь шла совсем о другом...

Captious в сообщении #143186 писал(а):

по какому признаку(критерию) числа 2, 3, 4. ... как элементы собственного подмнож-ва вы разделяете/отличаете от тех же чисел 2, 3, 4, ... как элементов всего множ-ва при проведении процедуры установления 1-1 соответствия?

Когда выполняется процедура установления 1-1 соответствия между элементами каких-либо множеств, то в дополнение к различению элементов самих по себе, т.е., внутри какого-либо множ-ва, также приходится отличать элементы и в связи с их принадлежностью к тому или иному множеству (подмнож-ву).

Someone в сообщении #144157 писал(а):

Однако если мы хотим доказать счётность множества рациональных чисел, используя в качестве эталона его же само, то никаких проблем быть не должно.

Любой ежик знает, что любое множ-во равномощно самому себе!
Вы ведь совсем не это хотели доказать...

Someone в сообщении #141640 писал(а):

"Нумерация" счётных множеств - это случайное обстоятельство, связанное с тем, что в качестве эталона счётного множества берётся натуральный ряд. Но такой выбор не является обязательным (хотя он технически удобен).

Someone в сообщении #141751 писал(а):

Но мы можем определить счётное множество как множество, равномощное, например, множеству рациональных чисел. В этом случае нам, напротив, придётся доказывать счётность натурального ряда. На самом деле в обоих случаях можно использовать одну и ту же конструкцию взаимно однозначного соответствия. Но теперь главным эталоном у нас по определению будет множество рациональных чисел.

Someone писал(а):

Можете взять в качестве "эталона" любое счётное множество. Например, множество рациональных чисел. Или, например, разграфим плоскость на квадратики и в качестве "эталона" возьмём множество этих квадратиков. Или ещё что-нибудь, для чего можно доказать равномощность натуральному ряду.

Конечно, если с "переопределением" счетности появились "технические" проблемы, то можете начать с квадратиков...
Вынужден напомнить ещё раз, что взятие любого счётного множества ( такого, которое уже счетно по определению в "традиционном" смысле - на основе множ-ва $\mathbb N$ ) к "смене эталона счетности" не имеет никакого отношения и есть тривиальная процедура демонстрации равномощности любых счетных множеств между собой...
Смена главного эталона предполагает, что само понятие счетности будет переопределяться на основе множ-ва $\mathbb Q$, а про множ-во $\mathbb N$ придется совсем забыть до того момента, пока не наступит время показать его "рациональную" или ... "квадратную" счетность...

Someone писал(а):

Рациональному числу $1$ мы поставили в соответствие рациональное число $1$ . Какой элемент "следующий"? Уже в который раз спрашиваю.

Уже в который раз отвечаю: какой элемент ( какую пару элементов) выберете - тот элемент (та пара) и будет "следующим (следующей)" согласно заданному порядку выбора элементов из множ-в, участвующих в процедуре установления 1-1 соответствия... .

Someone в сообщении #144157 писал(а):

Господи, ну какие же тривиальности приходится объяснять!
Пусть множество $A$ содержит счётное подмножество $B$. Возьмём любое взаимно однозначное отображение $\varphi$ и определим отображение ....

А стоило ли вообще так "мучиться"?
Типичный случай когда "в огороде бузина, а в Киеве дядька"...
Как ваши тривиальности объясняют, почему ( по какой причине) в любых бесконечных множествах, (подчеркиваю - в любых: счетных или несчетных) в отличие от конечных, часть множества оказывается равномощной всему множеству? Вопрос- то был именно об этом...

Someone в сообщении #144157 писал(а):

Captious писал(а):
... и т.д. до бесконечности (= типичное описание бесконечного процесса конечными средствами... )


Очень не люблю этого "и т.д.", поскольку оно не всегда формализуется, а если оно не формализуется, то это означает, что доказательства нет. Пожалуйста, формализуйте своё рассуждение.

Конструкция "и т.д. и т.п. " давным- давно формализована - слышали про аксиому математической индукции? Или совсем не узнаете родную в её "неформальном" виде?
Подробности можете узнать здесь

Someone писал(а):

Теперь я понял, что такое "отсутствует последний элемент" в Вашем понимании. Это просто дурацкий синоним общепринятого термина "множество бесконечно". Можно смело забыть про "последний элемент" и говорить просто про бесконечное множество.

Чушь несусветная!
"Отсутствие последнего элемента" - это характерное свойство бесконечных множеств, а вовсе не "дурацкий синоним" . Говорить просто про бесконечное множество - это значит вообще ничего не сказать. - Равносильно заявлению, что 1-1 соответствие есть просто множество, или что в математике отсутствуют бесконечные процессы ( но зато есть общепринятый термин "множ-во бесконечно"...).

[bot]

Captious в сообщении #144209 писал(а):

"Отсутствие последнего элемента" - это характерное свойство бесконечных множеств, а вовсе не "дурацкий синоним"

А если к бесконечному множеству добавить внешним образом "последний элемент", множество станет конечным?
Характерное в каком смысле? Если это характерное свойство отсутствует, то множество конечно? В каком смысле Вы употребляете сам термин последний элемент?
В множестве отрицательных целых чисел есть последний элемент?
А в множестве вершин правильного треугольника?

Captious в сообщении #144209 писал(а):

но зато есть общепринятый термин "множ-во бесконечно"...

Это просто сокращение оборота "множество, которое не является конечным" или "множество, которое равномощно некоторому своему собственному подмножеству"
Можете не употреблять сокращение, если не нравится.
А вот когда говорят о бесконечном процессе, то всегда подразумевают под этим вполне определённый смысл - вовсе не тот, который некоторым чудится.

[Captious]

bot писал(а):

Характерное в каком смысле? Если это характерное свойство[отсутствие последнего элемента] отсутствует, то множество конечно? "

Естественно!

bot писал(а):

В каком смысле Вы употребляете сам термин последний элемент?"

Captious в сообщении #141796 писал(а):

"Первый" элемент - это элемент данного множ-ва, который при установлении 1-1 соответствия с элементами множ-ва $ \mathbb N$ ( "нумерации") сопоставляется натуральному числу 1. Натуральное число $n$ соответствует $n{\text{-му }}$ элементу.
Если элемента, соответствующего числу $n+1$, нет, то $n{\text{-ый }}$ элемент будет "последним" в данном множ-ве и "следующего" за ним элемента не существует ( множ-во конечно и имеет ровно $n$ элементов) .

Проще говоря, моё употребление указанных терминов полностью соответствует естественному отношению порядка следования элементов в ряду натуральных чисел...

bot писал(а):

В множестве отрицательных целых чисел есть последний элемент?

Оно же бесконечно (но счетно)- см. сказанное выше...

bot писал(а):

А в множестве вершин правильного треугольника??

Если конечное множ-во состоит из 3-х элементов, то "последний элемент" всегда будет "третьим по счету", в каком бы порядке мы эти три элемента ни пересчитывали...

bot в сообщении #144213 писал(а):

Captious в сообщении #144209 писал(а):
но зато есть общепринятый термин "множ-во бесконечно"...

Это просто сокращение оборота "множество, которое не является конечным" или "множество, которое равномощно некоторому своему собственному подмножеству"
Можете не употреблять сокращение, если не нравится.

А я именно так и делаю, когда мне надо выделить какое-либо конкретное характерное свойство бесконечных множеств, а не просто произнести "сокращение"...

bot писал(а):

А вот когда говорят о бесконечном процессе, то всегда подразумевают под этим вполне определённый смысл - вовсе не тот, который некоторым чудится.

Действительно, мало ли кому что почудилось...
Ежу лысому понятно: говорить о бесконечном процессе "вообще" без определенного смысла - это все равно, что говорить о бесконечности "вообще" или "просто говорить о бесконечном множестве", когда речь идет о совершенно конкретном свойстве множества совершенно конкретного типа...

bot в сообщении #144213 писал(а):

А если к бесконечному множеству добавить внешним образом "последний элемент", множество станет конечным?

А как конкретно вы представляете себе процедуру этого "внешнего добавления"? Может сначала попробовать "изъять" из бесконечного множ-ва хотя бы один элемент, а потом попытаться "пересчетом", т.е. процедурой установления 1-1 соответствия обнаружить "недостачу"...

Добавлено спустя 1 час 54 минуты 17 секунд:

OZH в сообщении #144122 писал(а):

Captious в сообщении #141531 писал:
В теории множеств, как известно, равными считаются множ-ва, состоящие из одинаковых элементов.

Конечно, человек оговорился.

Это в чём же, по-вашему, я "оговорился"?
Вы тоже считаете, что, например, "одинаковые" электроны никак "не отличимы" друг от друга? Как же тогда мы знаем, что на свете существует больше одного электрона, если их "не различаем"? Как различаем элементы множества и элементы его собственного подмножества, если у них в составе есть "одни и те же" элементы?

[Amigo]

Captious писал(а):

bot писал(а):

Характерное в каком смысле? Если это характерное свойство[отсутствие последнего элемента] отсутствует, то множество конечно? "

Естественно!

Возьмём последовательность :$x_n=(1-(-1)^n)/n$
Все числа этой последовательности лежат в границах [0; 2] причём обе достигаются.
То есть вся бесконечная совокупность членов, расположилась между двумя конечными числами, которые достигаются. Здесь есть последний член или нет?

[Captious]

Amigo в сообщении #144241 писал(а):

Возьмём последовательность :$x_n=(1-(-1)^n)/n$
Все числа этой последовательности лежат в границах [0; 2] причём обе достигаются.
То есть вся бесконечная совокупность членов, расположилась между двумя конечными числами, которые достигаются. Здесь есть последний член или нет?

Чтобы это выяснить надо начать "пересчет" членов последовательности, то бишь, выполнить процедуру установления 1-1 соответствия.
Возьмём $n=1$, тогда соответствующий этому номеру $x_1=2$
если $n=2$, то $x_2=0$, при $n=3$, $x_3=2/3$, ... , при $n=300$ снова $x_{300}=0$,
для $n=301$ $x_{301}=2/301$, ..., ну и т.д. и т.п.

[Amigo]

Что-то я не очень понимаю, что такое "последний элемент".
В множествах бывают максимальные элементы, а последнии это что?

[Captious]

Amigo в сообщении #144271 писал(а):

Что-то я не очень понимаю, что такое "последний элемент".
В множествах бывают максимальные элементы, а последнии это что?

Может быть чтение моего сообщения #141796 вам поможет? Или сообщения #144219"- cм. выше на этой стр.4...

[Amigo]

Captious писал(а):

Someone писал(а):

Вы должны точно определить, в каком смысле понимаете "последний" элемент. Иначе Ваши утверждения вообще непонятны.

"Первый" элемент - это элемент данного множ-ва, который при установлении 1-1 соответствия с элементами множ-ва $ \mathbb N$ ( "нумерации") сопоставляется натуральному числу 1. Натуральное число $n$ соответствует $n{\text{-му }}$ элементу.
Если элемента, соответствующего числу $n+1$, нет, то $n{\text{-ый }}$ элемент будет "последним" в данном множ-ве и "следующего" за ним элемента не существует ( множ-во конечно и имеет ровно $n$ элементов) .

В натуральном ряде сколько элементов? Если Вы утверждаете, что бесконечно, тогда Вы должны доказать, что в натуральном ряде нет последнего элемента. Причём не просто предположить, а именно доказать, опираясь на своё определение, согласно которого Вы должны построить 1-1 соответствие между самим же натуральным рядом. Вы сможете это сделать, не оприраясь на то, что в натуральном ряде уже бесконечное множество элементов?
Ели Вы постулируете, что натуральном ряде бесконечное количество элементов как данность (а другого пути у Вас нет), то есть мы не просто строим эту данность посредством процесса, а сразу же ведём себя так, как будто весь ряд дан нам уже целиком, то почему Вы считаете, что в указанной мною последовательности, вся эта данность не отобразилась целиком?

[Captious]

Amigo в сообщении #144286 писал(а):

В натуральном ряде сколько элементов? Если Вы утверждаете, что бесконечно, тогда докажите. Для этого Вам придётся, согласно своему определению построить 1-1 соответствие между самим же натуральным рядом... сделаете такую штуку?

Не только я, но и любой смышленый ежик с этим справится...
Требуемое 1-1 соответствие задается формулой $f(n)=n$, где $n\in\mathbb N$

[Amigo]

я уточнил свой вопрос, перечитайте ещё раз

Добавлено спустя 17 минут 21 секунду:

Captious писал(а):

Amigo в сообщении #144286 писал(а):

В натуральном ряде сколько элементов? Если Вы утверждаете, что бесконечно, тогда докажите. Для этого Вам придётся, согласно своему определению построить 1-1 соответствие между самим же натуральным рядом... сделаете такую штуку?

Не только я, но и любой смышленый ежик с этим справится...
Требуемое 1-1 соответствие задается формулой $f(n)=n$, где $n\in\mathbb N$

а что такое N? может в N есть всего два элемента 1,2. Тогда последний у нас 2, следовательно ряд конечный.

[Captious]

Amigo в сообщении #144241 писал(а):

Еcли Вы постулируете, что натуральном ряде бесконечное количество элементов как данность(а другого пути у Вас нет), [...] то почему Вы считаете, что в указанной мною последовательности, вся эта данность, сразу же не отобразилась?

Что-то я не помню, когда это я успел сообщить, что я считаю именно так, как вы здесь мне приписываете...

А вот когда Amigo в сообщении #144241 писал(а):

То есть вся бесконечная совокупность членов, расположилась между двумя конечными числами, которые...

то бесконечность как данность в его последовательности отобразилась полностью... А то что в ней нет последнего элемента видно невооруженным глазом, поскольку вслед за каждым $n{\text{-ым }}$ элементом всегда можно найти следующий за ним элемент с номером $n+1$.
То же самое справедливо и в отношении элементов натурального ряда...
Только вот 1-1 соответствия упомянутой последовательности с натуральным рядом чисел увы, не получилось...

Amigo в сообщении #144298 писал(а):

а что такое N? может в N есть всего два элемента 1,2. Тогда последний у нас 2, следовательно ряд конечный.

Угу... Тогда и в вашей последовательности всего два члена ...
Или у вас в формуле $x_n=(1-(-1)^n)/n$ $n\notin \mathbb N$ ?

Amigo писал(а):

Если Вы постулируете, что натуральном ряде бесконечное количество элементов как данность (...), то есть мы не просто строим эту данность посредством процесса, а сразу же ведём себя так, как будто весь ряд дан нам уже целиком, ...

Вообще-то, в процедуре установления 1-1 соответствия с элементами множ-ва $\mathbb N$ бесконечность натурального ряда выступает в форме
потенциальной бесконечности т.е. на первом месте у нас именно бесконечный процесс нахождения "следующих" элементов .
Если же рассматривать множ-во $\mathbb N$ как завершенную (актуальную) бесконечность, то сразу же возникает вопрос о том, как следует понимать эту завершенность: в том смысле, что появляется возможность обозреть ВСЕ элементы бесконечного множества сразу, или же "завершенность" следует трактовать как-то иначе...

[naiv1]

bot в сообщении #144213 писал(а):

А вот когда говорят о бесконечном процессе, то всегда подразумевают под этим вполне определённый смысл

Разъясните наивному человеку какой именно? (смысл)

[Someone]

ewert в сообщении #144180 писал(а):

В моём понимании аксиома счётного выбора -- это: если есть некий счётный набор (непересекающихся) множеств, то можно составить такое множество, которое содержит ровно по одному элементу каждого из исходных множеств.

У аксиомы выбора есть много эквивалентных формулировок. Удобно пользоваться такой: для каждого семейства (= множества) $\mathcal X$ непустых множеств существует отображение $\varphi\colon\mathcal X\to\bigcup\mathcal X$, удовлетворяющее условию $\forall X\in\mathcal X(\varphi X\in X)$ (так называемая функция выбора).
(Поясню, что $\bigcup\mathcal X$ обозначает объединение элементов семейства $\mathcal X$, на случай, если Вы не привыкли к таким обозначениям).

ewert в сообщении #144180 писал(а):

Однако при построении счётного подмножества никаких таких наборов не наблюдается. Просто берётся один элемент множества, затем -- ещё один из оставшихся и т.д. Где здесь аксиома выбора?

А вот здесь она и есть. Без аксиомы выбора Вы можете выбрать только конечное число элементов. А "и т.д." - это бесконечно длинное рассуждение, которое никогда не закончится. Такие рассуждения в математике не применяются. Его можно попытаться формализовать, используя индуктивное построение, например, так ($X$ - бесконечное множество):
1) выбираем любой элемент $x_1\in X$ и полагаем $A_1=\{x_1\}$;
2) если $x_k$ и $A_k$ (из $k$ различных элементов $x_1,x_2,\ldots,x_k$) для всех $k<n\in\mathbb N$ уже определены, то множество $X\setminus A_{n-1}$ непусто, поэтому существует $x_n\in X\setminus A_{n-1}$, и полагаем $A_n=A_{n-1}\cup\{x_n\}$.
Потом берём $A=\{x_n:n\in\mathbb N\}$.

К сожалению, такая формализация является некорректной. А если бы она была корректной, то аксиома выбора вообще была бы не нужна, так как индукция может быть и трансфинитной. Индуктивное построение требует, чтобы элемент $x_n$ был указан явно, а не получался произвольным выбором, то есть, вместо "существует $x_n\in X\setminus A_{n-1}$" должно быть написано что-нибудь вроде "$x_n=\varphi(X\setminus A_{n-1})$", где $\varphi\colon\mathcal X\to X$ - некоторая (заранее определённая) функция выбора, определённая на семействе $\mathcal X=\{X\setminus M:M\subset X\text{ --- конечное подмножество}\}$. Аксиома выбора и даёт эту функцию.

ewert в сообщении #144180 писал(а):

И, кстати, со счётностью счётного объединения -- аналогично. Там изначально предполагается, что сами множества уже пронумерованы и элементы внутри каждого -- тоже.

Вообще говоря, не предполагается. Предполагается там гораздо более слабое: что множество нумераций каждого множества непусто. Именно это и означает утверждение "множество счётно", а вовсе не предъявление какой-то конкретной нумерации. Кстати, в том эпизоде, который я описал, я замолчал на слове "выберем", но следующим словом должно было быть "нумерацию".

Captious в сообщении #144209 писал(а):

Когда выполняется процедура установления 1-1 соответствия между элементами каких-либо множеств, то в дополнение к различению элементов самих по себе, т.е., внутри какого-либо множ-ва, также приходится отличать элементы и в связи с их принадлежностью к тому или иному множеству (подмнож-ву).

Жаль, что я не собираю коллекцию идиотизмов. Ваша идея - отличать число $2$ от него самого - была бы, вероятно, на почётном первом месте. Я такого ещё не встречал.

Captious в сообщении #144209 писал(а):

Любой ежик знает, что любое множ-во равномощно самому себе!

Прежде, чем ёжик будет это знать, нужно это доказать. Вот я и хочу доказать, что множество рациональных чисел будет равномощно самому себе.

Captious в сообщении #144209 писал(а):

Уже в который раз отвечаю: какой элемент ( какую пару элементов) выберете - тот элемент (та пара) и будет "следующим (следующей)" согласно заданному порядку выбора элементов из множ-в, участвующих в процедуре установления 1-1 соответствия...

Да нету там никакого порядка и нету никакой следующей пары. Просто каждому числу $r\in\mathbb Q$ ставим в сответствие то же самое $r\in\mathbb Q$. Так какой элемент там следующий за $1$?

Captious в сообщении #144209 писал(а):

Конечно, если с "переопределением" счетности появились "технические" проблемы, то можете начать с квадратиков...

У меня - никаких. А у Вас какие проблемы?

Captious в сообщении #144209 писал(а):

Смена главного эталона предполагает, что само понятие счетности будет переопределяться на основе множ-ва $\mathbb Q$, а про множ-во $\mathbb N$ придется совсем забыть до того момента, пока не наступит время показать его "рациональную" или ... "квадратную" счетность...

Я именно это и предлагаю сделать. А что, у Вас с доказательством счётности натурального ряда на основе моего определения появились какие-то проблемы?

Captious в сообщении #144209 писал(а):

А стоило ли вообще так "мучиться"?
Типичный случай когда "в огороде бузина, а в Киеве дядька"...
Как ваши тривиальности объясняют, почему ( по какой причине) в любых бесконечных множествах, (подчеркиваю - в любых: счетных или несчетных) в отличие от конечных, часть множества оказывается равномощной всему множеству? Вопрос- то был именно об этом...

Гы-гы-гы!!! Совсем ничего не понимаете! Вы правда в состоянии только переписывать цитаты из книжек?

Или Вы идиотствуете? Но Вы уже не первый раз так идиотствуете, это становится скучным. Пожалуй, "я уйду к другому деду".

Captious в сообщении #144209 писал(а):

Конструкция "и т.д. и т.п. " давным- давно формализована - слышали про аксиому математической индукции? Или совсем не узнаете родную в её "неформальном" виде?

Вы, вообще-то, могли бы вспомнить, что я в ряде сообщений приводил рассуждения, основанные на методе математической индукции.
Раз уж Вы о методе индукции заговорили, приведите, пожалуйста, точную его формулировку. А потом покажите, как Вы своё рассуждение втискиваете в этот метод.

Статью Успенского, на которую Вы ссылаетесь, я знаю. Ну, захотелось ему немного "похвилозовсвовать". Получилось не очень удачно.

Captious в сообщении #144209 писал(а):

"Отсутствие последнего элемента" - это характерное свойство бесконечных множеств, а вовсе не "дурацкий синоним" .

А Вы это сами написали:

Captious в сообщении #143186 писал(а):

Т к. множ-во $M$ бесконечно, ... ( иначе говоря, во множ-ве $M$ отсутствует "последний" элемент...)

А что синоним дурацкий, это совершенно ясно. Чтобы говорить о последнем элементе, нужно, чтобы на множестве имелось отношение линейного порядка. А его там нет, пока Вы не установите взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом и не перенесёте отношение порядка с натурального ряда на "нумеруемое" множество.

Captious в сообщении #144209 писал(а):

Равносильно заявлению, что 1-1 соответствие есть просто множество

Именно так и есть. Это стандартное представление любых отображений в теории множеств.

bot в сообщении #144213 писал(а):

Это просто сокращение оборота "множество, которое не является конечным" или "множество, которое равномощно некоторому своему собственному подмножеству"

Тут есть некоторые тонкости. Обычно множество называют бесконечным, если оно не равномощно никакому натуральному числу (считая $0$ натуральным числом; натуральные числа в теории множеств определяются таким образом, что натуральное число $n$ есть вполне "конкретное", однозначно определённое множество, содержащее ровно $n$ элементов).
В своё время Дедекинд предложил определить бесконечное множество как множество, равномощное некоторому своему собственному подмножеству. Это равносильно тому, чтобы определить бесконечное множество как множество, содержащее счётное подмножество.
Оба определения равносильны, если принять аксиому выбора (хотя бы в счётном варианте). Без аксиомы выбора могут "возникать" множества, которые не равномощны ни натуральным числам, ни собственным подмножествам.

Тут Captious пытается доказать, что бесконечное множество равномощно собственному подмножеству потому, что оно "не имеет последнего элемента", то есть, как выяснилось, потому, что оно бесконечно. Если принимаем аксиому выбора, то так оно и есть, но если аксиому выбора не принимать, то возникают проблемы. На самом деле причиной является то, что множество содержит счётное подмножество, а для счётного подмножества это свойство проверяется непосредственно.
Конечно, Captious может определять бесконечные подмножества по Дедекинду, но тогда непонятно, в чём его утверждение состоит. Кроме того, могут возникнуть странные конечные множества, в которых "число элементов" больше любого натурального числа.

Captious в сообщении #144219 писал(а):

Проще говоря, моё употребление указанных терминов полностью соответствует естественному отношению порядка следования элементов в ряду натуральных чисел...

Но в "нумеруемом" множестве этого порядка нет, и появится он только после появления взаимно однозначного соответствия и переноса отношения порядка с множества натуральных чисел на "нумеруемое" множество. Я об этом уже писал. Не отвечайте мне опять, что это соответствие определено кем-то до нас. Если бы это было так, зачем бы мы стали возиться и строить это соответствие заново?

Кстати, возник ещё один интересный вопрос. Пусть у нас есть некоторое счётное множество $A$. Как получить его "нумерацию", пользуясь "отсутствием последнего элемента"? Вы пишете, что

Captious в сообщении #142950 писал(а):

... следствие отсутствия "последнего" элемента, который является неисчерпаемым резервом для бесконечной процедуры установления 1-1 соответствия...

Продемонстрируйте эту "неисчерпаемость".