Производная от неявно заданной функции нескольких переменных

[Gecko]

К такому разделу относится следующая задача:

$\dfrac{z}{x}=F(\dfrac{y}{x})$; показать, что $x\dfrac{\partial z}{\partial x}+y\dfrac{\partial z}{\partial y}=z$, какова бы ни была дифференцируемая функция F.

Попытка решения:

$\dfrac{z}{x}-F(\dfrac{y}{x})=0$

Получили уравнение вида $A(x,y,z)=0$.
Известно, что для этого случая

$\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{\dfrac{\partial A}{\partial x}}{\dfrac{\partial A}{\partial z}}$, $\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{\dfrac{\partial A}{\partial y}}{\dfrac{\partial A}{\partial z}}$.

При этом

$\dfrac{\partial A}{\partial z}=\dfrac{1}{x}$

$\dfrac{\partial A}{\partial x}=-\dfrac{z}{x^2}-F_x'(\dfrac{y}{x})$,

$\dfrac{\partial A}{\partial y}=-F_y'(\dfrac{y}{x})$, где

$F_x'(\dfrac{y}{x})$, $F_y'(\dfrac{y}{x})$ - частные производные функции F по x и по y соответственно.

Путем подстановки получаем:

$\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{z}{x}+xF_x'(\dfrac{y}{x})$,

$\dfrac{\partial z}{\partial y}=xF_y'(\dfrac{y}{x})$.

Таким образом,

$x\dfrac{\partial z}{\partial x}+y\dfrac{\partial z}{\partial y}=z+x^2F_x'(\dfrac{y}{x})+xyF_y'(\dfrac{y}{x})$.

Дальше у меня наступил ступор. Просьба помочь.

[pogulyat_vyshel]

Gecko в сообщении #1428080 писал(а):

Производная от неявно заданной функции

функция задана явно

[Gecko]

Действительно. Получается, что переменная z явно задана через x и y:

$z=xF(\dfrac{y}{x})$.

И тогда к тем же результатам можно прийти быстрее путем частного дифференцирования функции z по x и по y. Вопрос в том, что с этим делать.

Если частно продифференцировать $F(\dfrac{y}{x}) = \dfrac{z}{x}$ по x и по y, то получим соответственно:
$F_x'(\dfrac{y}{x})=-\dfrac{z}{x^2}$,

$F_y'(\dfrac{y}{x})=0$.

Тогда

$x\dfrac{\partial z}{\partial x} + y\dfrac{\partial z}{\partial y} = 0 $.

Но этот результат не сходится с ответом.

[DeBill]

Gecko
В Вашей задаче $F$ - функция ОДНОЙ переменной!
Чтобы разобраться со своими ошибками, возьмите какую-нить конкретную $F$, например, $F(t) = e^t$.
Подставьте в свое уравнение, и посмотрите, что будет....
А вообще, видно, что тему "производная сложной функции" для многтх переменных Вы не проработали....

[Gecko]

DeBill
Спасибо за ценные замечания и рекомендации.

DeBill в сообщении #1428093 писал(а):

А вообще, видно, что тему "производная сложной функции" для многих переменных Вы не проработали....

Я как-то очень лихо и неверно продифференцировал функцию F.

DeBill в сообщении #1428093 писал(а):

В Вашей задаче $F$ - функция ОДНОЙ переменной!

Последуем совету уважаемого DeBill и представим F как функцию одной переменной $t$, где $t=\dfrac{y}{x}$. Таким образом, мы имеем дело со сложной функцией.

$\dfrac{\partial F}{\partial x}=\dfrac{\partial F}{\partial t}\dfrac{\partial t}{\partial x}=-\dfrac{y}{x^2}\dfrac{\partial F}{\partial t}$

$\dfrac{\partial F}{\partial y}=\dfrac{\partial F}{\partial t}\dfrac{\partial t}{\partial y}=\dfrac{1}{x}\dfrac{\partial F}{\partial t}$

Откуда

$\dfrac{\partial F}{\partial y}=-\dfrac{x}{y}\dfrac{\partial F}{\partial x}$

Теперь подставим выражение для $\dfrac{\partial F}{\partial y}$ в выведенную ранее формулу

Gecko в сообщении #1428080 писал(а):

$x\dfrac{\partial z}{\partial x}+y\dfrac{\partial z}{\partial y}=z+x^2F_x'(\dfrac{y}{x})+xyF_y'(\dfrac{y}{x})$.

и получим верный ответ:

$x\dfrac{\partial z}{\partial x}+y\dfrac{\partial z}{\partial y}=z$

[Gecko]

И тем не менее у меня есть неясность по теме производной сложной функции от многих переменных.
Например, если $w=F(x, u)$ есть функция двух переменных $x$ и $u$, где $u$ в свою очередь зависит от двух аргументов $x$ и $y$: $u=f(x, y)$, то, по сути дела $w$ является функцией двух переменных $x$ и $y$.
Тогда частные производные функции $w$ будут выглядеть как

$\dfrac{\partial w}{\partial x}=\dfrac{\partial w}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial x}+\dfrac{\partial w}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}$

$\dfrac{\partial w}{\partial y}=\dfrac{\partial w}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial y}+\dfrac{\partial w}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}$

Переменная $x$ не зависит от $y$, поэтому

$\dfrac{\partial w}{\partial y}=\dfrac{\partial w}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}$

С этим вроде бы ясно.

Далее. Так как $ \dfrac{\partial x}{\partial x}=1$, то

$\dfrac{\partial w}{\partial x}=\dfrac{\partial w}{\partial x}+\dfrac{\partial w}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}$

Вот здесь непонятно. Смущает такая запись. Ведь $ \dfrac{\partial w}{\partial x}$ в левой и правой части уравнения - это разные вещи.

[Утундрий]

Gecko
Обозначьте $x$ после преобразования другим символом.

[Gecko]

Утундрий
Т.е. рассматривать $w$ как функцию двух переменных $w=F(v, u)$, где $v=f(x)=x$?
Тогда вроде как всё встаёт на свои места!

[Утундрий]

Есть такая техника "якобианов", то есть определителей вида

$$\[ \frac{{\partial \left( {a,b} \right)}} {{\partial \left( {x,y} \right)}} \enskip \equiv \enskip \left| {\begin{array}{*{20}c} {\dfrac{{\partial a}} {{\partial x}}} & {} & {\dfrac{{\partial b}} {{\partial x}}} \\ {} & {} & {} \\ {\dfrac{{\partial a}} {{\partial y}}} & {} & {\dfrac{{\partial b}} {{\partial y}}} \\ \end{array} } \right| \] $$

обладающих удобным свойством

$$\[ \frac{{\partial \left( {f,h} \right)}} {{\partial \left( {a,b} \right)}} \cdot \frac{{\partial \left( {a,b} \right)}} {{\partial \left( {x,y} \right)}} = \frac{{\partial \left( {f,h} \right)}} {{\partial \left( {x,y} \right)}} \] $$

Пользуйтесь ими, чтобы поменьше путаться.

[Gecko]

Утундрий
Спасибо! Возьму на заметку, что можно использовать такой прием. Но на данный момент он мне непонятен. Про якобианы слышал краем уха. Правую часть первого выражения я понимаю, а вот левую часть и второе равенство - нет.

[Утундрий]

Первое выражение это просто обозначение, его не нужно понимать. Второе - свойство, похожее на свойство дробей, - доказывается формулой для производной сложной функции. Собственно, это она и есть, только записанная для всех производных сразу.

[Gecko]

Утундрий в сообщении #1428465 писал(а):

Собственно, это она и есть, только записанная для всех производных сразу.

Это мне еще нужно осознать...

[Утундрий]

Просто перемножьте матрицы и увидите.

[Gecko]

Результат перемножения:

$\begin{vmatrix} _\dfrac{\partial f}{\partial a}\dfrac{\partial a}{\partial x}+\dfrac{\partial h}{\partial a}\dfrac{\partial a}{\partial y} & _\dfrac{\partial f}{\partial a}\dfrac{\partial b}{\partial x}+\dfrac{\partial h}{\partial a}\dfrac{\partial b}{\partial y} \\ _\dfrac{\partial f}{\partial b}\dfrac{\partial a}{\partial x}+\dfrac{\partial h}{\partial b}\dfrac{\partial a}{\partial y} & _\dfrac{\partial f}{\partial b}\dfrac{\partial b}{\partial x}+\dfrac{\partial h}{\partial b}\dfrac{\partial b}{\partial y} \end{vmatrix}$

Пока не дошло. А как соотносятся между собой $f, h, a, b, x ,y$ ?

[Утундрий]

Gecko в сообщении #1428471 писал(а):

как соотносятся между собой $f, h, a, b, x ,y$ ?

$f, h$ есть функции от $a, b$, которые в свою очередь являются функциями от $x, y$.

Gecko в сообщении #1428471 писал(а):

Пока не дошло.

Так и правда не видно, но есть второй вариант.