Бутылка Клейна

[Профессор Снэйп]

rishelie в сообщении #244514 писал(а):

Кстати, а существует ли трехмерное многообразие в $\mathbb{R}^4$, границей которого будет бутылка Клейна? Вообразить я себе такое сходу не могу...

Вот именно об этом и был мой вопрос!

Вообразить тоже не могу, воображалки не хватает

-- Пт сен 18, 2009 23:55:31 --

Где-то видел в интернете ссылку на то, что реальная геометрия Вселенной (согласно одной из теорий) --- это как раз и есть внутренность бутылки Клейна. Правда, статья была научно-популярная.

Там ещё говорилось, что если лететь на корабле всё время прямо, никуда не сворачивая, то через достаточно большое время вернёшься в исходную точку зеркально отражённым. И сердце после возвращения у тебя будет не слева, а справа.

[rishelie]

Профессор Снэйп в сообщении #244523 писал(а):

Где-то видел в интернете ссылку на то, что реальная геометрия Вселенной (согласно одной из теорий) --- это как раз и есть внутренность бутылки Клейна. Правда, статья была научно-популярная.

Там ещё говорилось, что если лететь на корабле всё время прямо, никуда не сворачивая, то через достаточно большое время вернёшься в исходную точку зеркально отражённым. И сердце после возвращения у тебя будет не слева, а справа.

Задавал как-то вопрос физикам (кажется в ru.physics), мне ответили, что физики теперь склоняются к тому, что так называемая теория всего (единая теория поля) не может быть создана на основе каких-либо непрерывных (с точки зрения топологии евклидовых или римановых пространств) полей и взаимодействий. Иначе говоря, отдельные кванты (струны или мембраны) существуют сами по себе и пребывают в дискретном взаимодействии друг с другом. Непрерывные же эффекты (механика Ньютона и ОТО Эйнштейна-Пуанкаре) мы наблюдаем как сумму дискретных связей (вспомните ЦПТ!).

Ну а если вся Вселенная - бутылка Клейна, так тут и ответ прост - из нее ничего не выльется, ибо некуда

-- Пт сен 18, 2009 22:20:17 --

Профессор Снэйп в сообщении #244523 писал(а):

Вот именно об этом и был мой вопрос!

Вообразить тоже не могу, воображалки не хватает

Вообще, если представить себе резиновую дубинку нужно ее загнуть точно так же, как и цилиндр загибаем для получения бутылки Клейна. останется состыковать края. если дубинку вращать вокруг своей оси при этой операции, то края в месте склейки будут вращаться в противоположных направлениях. Но получится ли это сделать без самопересечений в $\mathbb{R}^4$ ?

[Circiter]

2ewert

Цитата:

Да нет же. Она говорит, что несколько хитрее устроено не $\mathbb{R}^3$, а $\mathbb{R}^4$. И даже при этом воду ни в то, ни в другое -- не наливает.

В ОТО свойства (и геометрические и топологические) пространства неразрывно связаны со свойствами пространства времени. В звиздец сильном грав. поле в обычном пространстве (которое можно пощупать) будут наблюдаться эффекты-аномалии. Часть таких эффектов будут проистекать всего-лишь из "смешивания" пространства и времени (они даже местами могут поменяться, e.g. в черной дыре). Но еще существуют решения эйнштейновских уравнений (или по крайней мере не противоречащие ОТО) приводящие к нетривиальной топологии пространственно-временного континуума (например всякие там червоточины, мосты между вселенными, те же ЧД, etc). Если рядом с вами вдруг откроется портал в параллельную вселенную, вы же не будете утверждать, что пространство по прежнему устроено просто и без хитростей?

Кстати, и "воду" ОТО в пространство наливает, ибо метрический тензор зависит от материи-энергии. Без материи пространство-время плоское, так не интересно.

-- Сб сен 19, 2009 00:24:04 --

2rishelie

Цитата:

Непрерывные же эффекты (механика Ньютона и ОТО Эйнштейна-Пуанкаре) мы наблюдаем как сумму дискретных связей (вспомните ЦПТ!).

Но из-за неперенормируемости ОТО до сих пор не удалось проквантовать. Так что до сих пор не ясно как такую сумму описать.

-- Сб сен 19, 2009 00:28:06 --

2Профессор Снэйп

Цитата:

Если налить в бутылку Клейна воды, она из неё вытечет или нет?

Можно попробовать промоделировать. Пишем программку, строим требуемую непрерывную поверхность (достаточно четырехмерного пространства для исключения самопересечений), затем создаем систему частиц (типа вода) рядом с бутылкой и наблюдаем за поведением частиц. Если изолированная область есть, то мы её вскоре увидим.

-- Сб сен 19, 2009 00:48:24 --

Может это кому-нибудь поможет: бутылку Клейна можно склеить из двух лент Мёбиуса; кроме того её можно склеить из квадрата примерно так же как и тор, только в отличие от тора, две противоположные стороны нужно склеивать предварительно одну из них перевернув (оставшаяся пара сторон склеивается без перекоса). Это можно использовать и в теоретических рассуждениях и в вышеупомянутой программе моделирования.

-- Сб сен 19, 2009 01:03:16 --

Кажется, ответ на первоначальный вопрос должен быть положителен. Это следует из того способа изготовления бутылки Клейна путем склеивания сторон квадрата.

В случае с тором в качестве квадрата можно взять не просто абстрактный $[0;1]\times[0;1]$, а кусок поверхности (вроде бы нужна ориентируемость). Одну сторону такой поверхности можно пометить и назвать внутренней, другую -- внешней. Попарное склеивание противоположных сторон даст тор, при этом не будет существовать пути из помеченной поверхности в непомеченную (внешнюю), т.е. если вода и сможет просочиться, то только через швы, оставшиеся после склейки сторон квадрата. Следовательно, тор герметичен.

При склеивании же бутылки Клейна, из-за перекоса сторон квадрата, прямая на поверхности (из которой вырезан квадрат), будет принадлежать обеим сторонам (помеченной и непомеченной); другими словами прямолинейный путь будет попеременно лежать то на внутренней, то на внешней стороне. Таким образом вода сможет свободно перемещаться с внутренней поверхности на внешнюю. Следовательно, бутылка Клейна негерметична.

[VAL]

Профессор Снэйп в сообщении #244459 писал(а):

Что Вы тогда думаете насчёт приведённого мною выше примера, в котором край ленты Мёбиуса (я так понимаю, не гомеоморфный окружности с конечным числом "плоских ручек", хотя тут в силу слишком малой размерности невозможно приделывать ручки, не теряя связности) ограничивает саму ленту Мёбиуса?

Не понял! Вы сомневаетесь в том, что край ленты Мёбиуса гомеоморфен окружности?! Или ноль ручек не есть конечное число ручек?

Да и в целом, я в недоумении!
ОТО, теория струн, большой взрыв адронного коллайдера, ...
Я понимаю, если бы в этом топике спорили постоянные участники (не будем, на ночь глядя, упоминать их по имени) соседних веток дискуссионного раздела. Так ведь нет...

Попробую последний (ну или последний на этот момент) раз по пунктам:
1. Вы сомневаетесь в гомеоморфности края ленты Мёбиуса окружности?
2. Вы сомневаетесь в том, что бутылка Клейна - односторонняя поверхность?
3. Вы сомневаетесь сомневаетесь в том, что односторонняя поверхность не может разбивать остальное пространство на изолированные части?

[Circiter]

Не совсем в тему может быть, но рассказик прикольный (как-раз про бутылку Клейна): "Остров пяти красок" Мартина Гарднера. Можно взять, например, здесь

[Профессор Снэйп]

rishelie в сообщении #244534 писал(а):

Ну а если вся Вселенная - бутылка Клейна, так тут и ответ прост - из нее ничего не выльется, ибо некуда

Можно представить, что Вселенная вложена в другую, чуть большую Вселенную. К ленте Мёбиуса, например, можно приклеить сбоку маленькую полосочку и получить снова ленту Мёбиуса, но чуть большей ширины.

VAL в сообщении #244573 писал(а):

Попробую последний (ну или последний на этот момент) раз по пунктам:
1. Вы сомневаетесь в гомеоморфности края ленты Мёбиуса окружности?
2. Вы сомневаетесь в том, что бутылка Клейна - односторонняя поверхность?
3. Вы сомневаетесь сомневаетесь в том, что односторонняя поверхность не может разбивать остальное пространство на изолированные части?

1) Нет, не сомневаюсь. Все замкнутые кривые без самопересечений гомеоморфны друг другу.

2) Похоже, что уже сомневаюсь.

3) Уже не знаю.

Край листа Мёбиуса, похоже, всё же "двухсторонняя кривая". Напрасно я считал её "односторонней". Похоже, что край листа Мёбиуса --- это не аналог бутылки Клейна на единицу меньшей размерности, как я ошибочно полагал ранее.

С первым вопросом тоже какие-то странности. "Одностороннюю окружность" создать можно, перекрутив её в $\mathbb{R}^3$ (то есть рассмотрев ленту Мёбиуса нулевой ширины). Но она, конечно же, будет гомеоморфна двухсторонней окружности. Получается, что ориентируемость многообразия не есть топологический инвариант, по крайней мере, в случае одномерных многообразий.

Вот статья, которая сподвигла меня на создание темы.

-- Сб сен 19, 2009 10:46:02 --

Всё, кажется разобрался. Глупостей выше действительно наворотил немало.

1) Одномерные многообразия ориентируемы. Но говорить про количество сторон (одна или две) такого многообразия можно лишь в случае, когда оно вложено в двумерное ориентируемое многообразие (в $\mathbb{R}^2$, например). Для "перекрученной" в $\mathbb{R}^3$ окружности понятие сторон не имеет смысла.

2) Можно взять кубик и "перекрутить" его внутри $\mathbb{R}^5$ так, что получится неориентируемое трёхмерное многообразие без края. Это будет трёхмерный аналог бутылки Клейна (сама бутылка --- двумерное многообразие, то есть поверхность).

3) Я почему-то считал, что бутылка Клейна в некотором смысле ограничивает трёхмерное многообразие, подобное описанному в предыдущем пункте. На самом деле это не так. У многообразия из предыдущего пункта вообще нет края. А бутылка Клейна не может ничего ограничивать: если запустить на её поверхность улитку, то она сможет ползать с обоих сторон поверхности, и если предположить, что внутри бутылки вода, а вовне воды нет, то улитка, переползая из воздуха в воду, неминуемо должна пересечь границу воды, то есть вода не может занимать весь объём бутылки.

4) В научно-популярной статье, ссылку на которую я давал выше, имеется в виду, что Вселенная (возможно) устроена так, как описано в пункте 2. То есть она представляет из себя трёхмерный аналог бутылки Клейна. Но это вовсе не означает, что она находится "внутри" некоего трёхмерного многообразия, "ограниченного" обычной двумерной бутылкой Клейна.

5) Одномерного аналога бутылки Клейна не существует. С некоторой натяжкой в качестве такового можно рассматривать обычную окружность, но для неё теряет смысл свойство "одностороннести".

6) С ростом числа измерений число возможностей растёт безгранично

[rishelie]

Короче говоря, для того, чтобы что-то наливать, нужно помимо бутылки задать еще трехмерное многообразие, в котором уже бутылка будет ограничивать некоторый объем. В обычном $\mathbb{R}^3$ она может ограничить лишь некоторый цилиндр, в который уже можно что-то налить, если только он имеет специальную выгнутую форму (тупо шланг).
Если брать во внимание червоточины из ОТО, то для полного совмещения с бутылкой от них требуется переворачивание ориентации. По-моему, в случае гравитационных червоточин это не происходит. Тогда в ОТО в наше пространство бутылка Клейна не вкладывается полностью, и мы опять приходим к цилиндру.

[VAL]

Профессор Снэйп в сообщении #244627 писал(а):

Всё, кажется разобрался. Глупостей выше действительно наворотил немало.

Я в Вас верил! Как говорится, утро вечера мудренее.

Цитата:

6) С ростом числа измерений число возможностей растёт безгранично

Не всегда. Возьмем, хотя бы правильные многогранники. Начиная с $n=5$, никакого разнообразия.

[rishelie]

VAL в сообщении #244662 писал(а):

Не всегда. Возьмем, хотя бы правильные многогранники. Начиная с $n=5$, никакого разнообразия.

А у многогранников грани всегда плоские или могут иметь размерность $\leqslant n-1$?

[VAL]

rishelie в сообщении #244810 писал(а):

VAL в сообщении #244662 писал(а):

Не всегда. Возьмем, хотя бы правильные многогранники. Начиная с $n=5$, никакого разнообразия.

А у многогранников грани всегда плоские или могут иметь размерность $\leqslant n-1$?

Разумеется, речь идет о многогранниках с гранями размерности $n-1$.

[hurtsy]

Как выяснилось, наливание воды, даже в бутылку Клейна, дело занудное. Но ведь можно использовать агрегатное состояние воды именуемое пар. А бутылку Клейна превратить в идеальный холодильник.
Можно ли доказать, что бутылка Клейна не имеет самопересечения тогда и только тогда, когда она не может быть вложена в сферу конечного радиуса? С уважением,

[Nartu]

Простите за подъем этой старой темы. Здесь пришли к выводу, что герметичного 3-многообразия с границей в виде бутылки клейна(БК) из которого не вытечет "вода" - небывает. Но у меня, наверное получился контрпример с неориентируемой поверхностью, но не БК:
Если рассмотреть вложенный шар с границей $S^2$ и мысленно наполнить его "водой" так, то вода не протечёт сквозь его сферу, как препятствие. Заметте, что, как писал Circiter(или кто-то другой), - вода будет касатся только внутренней стороны сферы. Но это же и есть неориентируемая, односторонняя поверхность, которая одной своей стороной не даёт воде протечь. Можно ли это сделать с БК, возможно с деформацией во время вложения?..

[arseniiv]

Nartu в сообщении #1422488 писал(а):

Но это же и есть неориентируемая, односторонняя поверхность

Нет.

[Nartu]

Ну, в принципе да, это только неотъемлемая часть 2-сферы... А можно её(одну сторону) представить отдельно? Как самостоятельное..многообразие..с одной стороной? Если нет, то по-возможности объясните. Хотя сомневаюсь,что это можно сделать на пальцах... Я сейчас пытаюсь изучать тополонию, и моя цель - алгебр.топология.

[arseniiv]

Это будет просто сфера с глобальной ориентацией. Слова про ориентируемость ровно ведь про возможность задать такую и говорят. И говорить про неориентируемость сферы вместе с ориентацией по-моему уже как-то не очень осмысленно.

-- Сб окт 26, 2019 18:25:19 --

Вообще это может пониматься наверно по-всякому — смотря что нужно от этой «одной стороны». А если надо чтобы просто была…