2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Упражнения с дельта-функцией
Сообщение25.09.2019, 09:35 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Утундрий в сообщении #1417154 писал(а):
Ну, можно туда $g(x)=x^2$ подставить, например.

Тогда будет деление на ноль. Вы меня не проведете, Утундрий :mrgreen:
Red_Herring
Ms-dos4
vend
Мне кажется, мы друг друга немного не поняли) Я под записью $\delta'(g(x))$ подразумевал не производную по $x$ от функции $\delta(g(x))$, а когда уже в функцию $\delta'(x)$ вместо $x$ подставляют $g(x)$, это просто омонимичные написания (если бы я рассматривал первый вариант, то написал бы штрих справа от всего)
Тогда мне и непонятно было, почему вы мне предлагаете тупо дифференцировать :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнения с дельта-функцией
Сообщение25.09.2019, 10:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Sicker в сообщении #1417236 писал(а):
Тогда будет деление на ноль

Это не отменяет актуальности вопроса "как работать с $\delta\left(x^2\right)$?"

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнения с дельта-функцией
Сообщение25.09.2019, 10:40 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
alcoholist в сообщении #1417253 писал(а):
Это не отменяет актуальности вопроса "как работать с $\delta\left(x^2\right)$?"

Никак, ее не существует
Вроде

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнения с дельта-функцией
Сообщение25.09.2019, 11:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11348
Hogtown
Sicker в сообщении #1417256 писал(а):
Никак, ее не существует
Вроде
А почему? Вы ведь нигде не написали условия что нули $g(x)$ простые (а я ведь намекал, что вы что то пропустили)

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнения с дельта-функцией
Сообщение25.09.2019, 11:10 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Red_Herring в сообщении #1417260 писал(а):
А почему? Вы ведь нигде не написали условия что нули $g(x)$ простые (а я ведь намекал, что вы что то пропустили)

Я думал это очевидно :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнения с дельта-функцией
Сообщение25.09.2019, 12:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Sicker в сообщении #1417262 писал(а):
Я думал это очевидно :-)

Вы можете столкнуться с выражением $\delta\left(x^n\right)$ где угодно. Так как же с ним обходиться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнения с дельта-функцией
Сообщение25.09.2019, 12:14 


16/08/19
70
Sicker в сообщении #1417236 писал(а):
Утундрий :mrgreen:
Red_Herring
Ms-dos4
vend
Мне кажется, мы друг друга немного не поняли) Я под записью $\delta'(g(x))$ подразумевал не производную по $x$ от функции $\delta(g(x))$, а когда уже в функцию $\delta'(x)$ вместо $x$ подставляют $g(x)$, это просто омонимичные написания (если бы я рассматривал первый вариант, то написал бы штрих справа от всего)
Тогда мне и непонятно было, почему вы мне предлагаете тупо дифференцировать


Извините, но ведь это вы тупо дифференцируете дельта-функцию в своих пунктах, как раз вам тут делать предлагают обратное.
Сами понимаете, всё что вы написали в своих пунктах это просто ошибка.
По определению, производная дельта-функции определяется как (что элементарно вывести)
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta'(x)dx = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(x)\delta(x)dx$$
вот и подставьте в дельта-функцию произвольный g(x).

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнения с дельта-функцией
Сообщение25.09.2019, 14:10 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
vend в сообщении #1417289 писал(а):
Сами понимаете, всё что вы написали в своих пунктах это просто ошибка.

Но это же можно вывести из графиков производных дельта-функции (если так же продифференцировать функцию ступенька, как функцию Хэвисайда) путем растяжения по оси абцисс
vend в сообщении #1417289 писал(а):
По определению, производная дельта-функции определяется как (что элементарно вывести)
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta'(x)dx = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(x)\delta(x)dx$$
вот и подставьте в дельта-функцию произвольный g(x).

Спасибо, что написали, а теперь я докажу свою формулу :-)
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta'(x)dx = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(x)\delta(x)dx$$
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(g(x))\delta'(g(x))dg(x) = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(g(x))\delta(g(x))dg(x)$$
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}g'(x)f(g(x))\delta'(g(x))dx = -\frac{1}{g'(0)}\int\limits_{-\infty}^{\infty}g'(x)f'(g(x))\delta(x)dx$$
Введем $\gamma(x)=g'(x)f(g(x))$, тогда можно заметить, что $g'(x)f'(g(x))=\frac{\gamma'(x)}{g'(x)}-\frac{g''(x)}{g'(x)^2}\gamma(x)$
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\gamma(x)\delta'(g(x))dx = -\frac{1}{g'(0)}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\gamma'(x)}{g'(x)}-\frac{g''(x)}{g'(x)^2}\gamma(x)\delta(x)dx$$
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\gamma(x)\delta'(g(x))dx = -\frac{\gamma'(0)}{g'(0)^2}+\frac{g''(0)}{g'(0)^3}\gamma(0)$$
Или $\delta'(g(x))=\frac{\delta'(x)}{g'(0)^2}+\frac{g''(0)}{g'(0)^3}\delta(x)$
Да, ошибся со знаком, мог бы на этапе проверки исправить :-)
А остальное верно? Просто как вы уже заметили, я просто угадал ответ, используя свою формулу, а как с нуля из вашего равенства вывести непонятно

-- 25.09.2019, 14:24 --

Ну или в общем виде $\delta'(g(x))=\sum\limits_{k} \frac{\delta'(x-x_k)}{|g'(x_k)|g'(x_k)}+\frac{g''(x_k)}{|g'(x_k)|g'(x_k)^2}\delta(x-x_k)$, где $g(x_k)=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнения с дельта-функцией
Сообщение25.09.2019, 14:53 


16/08/19
70
Sicker, вообще не верно, потому что $g(x)$ подставляется только в $\delta(x)$. Вы же подставляете ее везде, но почему-то этого не делаете когда нет производной, вот сами подумайте над разницей между этими интегралами
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(g(x))dx \ne \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(g(x))\delta(g(x))dg(x)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнения с дельта-функцией
Сообщение25.09.2019, 14:58 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
vend в сообщении #1417318 писал(а):
вообще не верно, потому что $g(x)$ подставляется только в $\delta(x)$

С какого? Возьмите вместо $\delta(x)$ какую-нибудь обычную функцию и убедитесь, что так делать нельзя
vend в сообщении #1417318 писал(а):
Вы же подставляете ее везде, но почему-то этого не делаете когда нет производной

Где я этого не делаю? Я везде заменил $x$ на $g(x)$
vend в сообщении #1417318 писал(а):
вот сами подумайте над разницей между этими интегралами
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(g(x))dx \ne \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(g(x))\delta(g(x))dg(x)$$

Так вы мне это и предлагаете делать, а это неверно
Кстати
vend в сообщении #1417289 писал(а):
Извините, но ведь это вы тупо дифференцируете дельта-функцию в своих пунктах

Где я дифференцировал в своих пунктах? Я просто написал тождества без способа их получения
vend в сообщении #1417289 писал(а):
как раз вам тут делать предлагают обратное.

Что обратное? Мне как раз тут советуют дифференцировать,
Ms-dos4 в сообщении #1417029 писал(а):
В каком месте модули ${\left| {f'({x_k})} \right|}$ в общем выражении для $\delta (f(x))$ (которое вы так и не соизволили привести) могут вам помешать работать с производными?

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнения с дельта-функцией
Сообщение25.09.2019, 15:07 


16/08/19
70
Sicker в сообщении #1417320 писал(а):
С какого? Возьмите вместо $\delta(x)$ какую-нибудь обычную функцию и убедитесь, что так делать нельзя

Можно, нужно, и только так и делается, по определению.

Поймите, Вы считаете производную от $\delta(g(x))$, а не от непонятного выражения $f(g(x))\delta(g(x))dg(x)$.

Sicker в сообщении #1417320 писал(а):
Где я этого не делаю? Я везде заменил $x$ на $g(x)$

Вот это ваша ошибка, нельзя везде заменять. Когда вы без производной выписываете интеграл он у вас имеет вид только с одним g(x), в дельта-функции.

Sicker в сообщении #1417320 писал(а):
Так вы мне это и предлагаете делать, а это неверно

Это верно, неверно ваше везде заменить, это просто непонимание основ анализа.

Sicker в сообщении #1417320 писал(а):
Что обратное? Мне как раз тут советуют дифференцировать,

Это вам там не предлагают, как раз указывают что так как вы делаете делать нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнения с дельта-функцией
Сообщение25.09.2019, 15:28 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
vend в сообщении #1417321 писал(а):
Можно, нужно, и только так и делается, по определению.

По какому определению?
vend в сообщении #1417321 писал(а):
Поймите, Вы считаете производную от $\delta(g(x))$

Я же написал в теме, я не считаю эту производную, я делаю замену переменной в производной. Вот вам пример из обычных функций, пусть $f=x^2,g=x^3$, можно найти производную $f'(g(x))=5x^4$, а можно в производную $f'(x)=2x$ вместо $x$ подставить новый аргумент $g(x)$, и будет $f'(g(x))=2x^3$
vend в сообщении #1417321 писал(а):
Вот это ваша ошибка, нельзя везде заменять

Почему нельзя?
vend в сообщении #1417321 писал(а):
Когда вы без производной выписываете интеграл он у вас имеет вид только с одним g(x), в дельта-функции.

Так если вы намекаете на
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta'(g(x))dx = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(x)\delta(g(x))dx$$
то это ошибочное равенство, правильное будет
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}g'(x)f(x)\delta'(g(x))dx = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(x)\delta(g(x))dx$$
vend в сообщении #1417321 писал(а):
Это верно, неверно ваше везде заменить

Вы знаете что такое замена переменных в интеграле?
Если у нас есть равенство
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta'(x)dx = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(x)\delta(x)dx$$
то мы можем написать
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(g(x))\delta'(g(x))dg(x) = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(g(x))\delta(g(x))dg(x)$$
Это основы анализа
vend в сообщении #1417321 писал(а):
это просто непонимание основ анализа.

А мне кажется, что вы просто троллите
vend в сообщении #1417321 писал(а):
Это вам там не предлагают, как раз указывают что так как вы делаете делать нельзя.

Я хотел бы послушать мнение других математиков. Ни один из них мне в теме не сказать про ошибочность моих равенств, просто попросили записать в случае $g(x)$ общего вида

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнения с дельта-функцией
Сообщение25.09.2019, 15:55 


16/08/19
70
Sicker, вы действительно не понимаете базовых основ совсем, не понимаете что считаете что такое дельта-функция совсем. Объясняю кратко, Дельта-функция это не обычная функция, это обобщенная функция (распределение), она не существует в отрыве от своего интегрального определения, так вот она определена через интеграл
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-0)dx = f(0)$$, где $f(x)$ абсолютно любая функция, никак не зависящая от того что стоит в дельта-функции!

Поэтому композиция функций $\delta(x)\circ g(x)$ есть
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(g(x))dx = \sum\dfrac{1}{|g'(x_n)|}f(x_n),$$
где $g(x_n)=0$
f от этой композиции никак не может меняться! Поэтому, неверно
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(g(x))\delta(g(x))dg(x),$$
которое вообще значит черте что.

Вы можете убедиться в этом подставляя $g(x) = x - a$, и понимая что это будет
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-a)dx = f(a),$$
а ни в коем случае не
$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x-a)\delta(x-a)d(x-a) = f(0)$$
Потому что $f(x)$ никак не зависит от $g(x).

Всё, я всё объяснил. Если меня не поняли, то я выдохся, пусть кто нибудь другой попробует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнения с дельта-функцией
Сообщение25.09.2019, 16:11 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
vend в сообщении #1417334 писал(а):
Sicker, вы действительно не понимаете базовых основ совсем, не понимаете что считаете что такое дельта-функция совсем.

Я к вашему сведению сдал кванты на пятерку, вон Munin подтвердит. А вы говорите я что базовых основ не понимаю :shock:
vend в сообщении #1417334 писал(а):
Объясняю кратко, Дельта-функция это не обычная функция, это обобщенная функция (распределение), она не существует в отрыве от своего интегрального определения, так вот она определена через интеграл

Дельта-функцию можно рассматривать как функцию ступенька. Вы явно математик, а не физик
И я не понимаю, вы написали очевидные вещи, с которыми я не спорил. Почему ничего не сказали о производной дельта-функции, и о вашем псевдоравенстве
$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta'(g(x))dx = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(x)\delta(g(x))dx$
Так оно по вашему верно, или нет?
Почему вы не отвечаете содержательно на мои посты?
vend в сообщении #1417334 писал(а):
Всё, я всё объяснил. Если меня не поняли, то я выдохся, пусть кто нибудь другой попробует.

Так чему все-таки равна $\delta'(g(x)$, мне аж прям интересно

 Профиль  
                  
 
 Re: Упражнения с дельта-функцией
Сообщение25.09.2019, 16:27 


16/08/19
70
Sicker в сообщении #1417338 писал(а):
Я к вашему сведению сдал кванты на пятерку, вон Munin подтвердит.


Увы, я без понятия как и куда можно сдать кванты.
Sicker в сообщении #1417338 писал(а):
Дельта-функцию можно рассматривать как функцию ступенька.

Вот видите, вы ее не понимаете совсем.

Sicker в сообщении #1417338 писал(а):
вашем псевдоравенстве

Это не псевдоравенство, а натуральное равенство.

Sicker в сообщении #1417338 писал(а):
$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta'(g(x))dx = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(x)\delta(g(x))dx$
Так оно по вашему верно, или нет?

Вот это "мое" равенство верно.

Sicker в сообщении #1417338 писал(а):
Почему вы не отвечаете содержательно на мои посты?

Я вам самым содержательным образом отвечал, вы просто не понимаете что ошибаетесь в основах. Просто не обращаете внимания на слова, не обратили внимания на
vend в сообщении #1417289 писал(а):
подставьте в дельта-функцию произвольный g(x).


Sicker в сообщении #1417338 писал(а):
Так чему все-таки равна $\delta'(g(x)$, мне аж прям интересно

Не додумаетесь? Ну ладно. Если речь идет о символическом равенстве, то
$\delta^{(n)}(g(x)) = (-1)^n \dfrac{n!}{x^n}\delta(g(x))$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 57 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group