Сопротивление усеченного конуса-пообсуждаем?

[reterty]

Munin в сообщении #1408778 писал(а):

При этом предельном переходе область переходит не в усечённый конус, а в цилиндр.

А нельзя ли осуществить переход так, чтобы предел отношения двух бесконечно больших радиусов был конечным и отличным от единицы. Тогда этот предел даст отношение радиусов плоских оснований

[Red_Herring]

reterty в сообщении #1408781 писал(а):

А нельзя ли осуществить переход так, чтобы предел отношения двух бесконечно больших радиусов был конечным и отличным от единицы. Тогда этот предел даст отношение радиусов плоских оснований

Переменные не делятся. Точка. Все остальное--попытка объехать на кривой кобыле и упорствование в ереси.
Займитесь чем нибудь более полезным. Например, запишите как будет выглядеть оператор Лапласа после замены переменных, которая превращает усеченный конус в цилиндр: это неплохое аналитическое упражнение (используйте объясненный мною метод, а не в лоб) и лекарство от лени. Или решите задачу для описанной мною области, но там все решается именно тривиально: суммирование по сферическим слоям

[Munin]

reterty в сообщении #1408781 писал(а):

А нельзя ли

Ну откуда я знаю. Может быть, и можно. Только не так прямолинейно.

Может быть, вы великий изобретатель, и придумаете, как решать такие задачи. Например, введёте там переменную метрику или меру объёма. Или ещё новый неизвестный трюк. И мы все будем вам аплодировать (не в смысле upload, а в смысле applause). Кто я такой, чтобы вас отговаривать?

Насколько я знаю, не доказано теоремы, что ответ для данной задачи не выражается аналитически.

[Theoristos]

reterty в сообщении #1408775 писал(а):

Так можно же решить задачу для сферических оснований а затем "устроить" предельный переход, устремив радиус кривизны к бесконечности...

Нагловатый вопрос - с радиальным током из центра сферы вроде проблем нет.
Можно вырезать сферический сектор, который аналогичен указанному конусу за исключением сферических, а не плоских оснований.
Вопрос - форма оснований существенно влияет на распределение тока вдали от них?
И вообще, имеются ли в распределении токов для исходного конуса какая-то изюминка, или это просто отвлеченная проблема абсолютно точного определения распределения токов?

[Red_Herring]

Theoristos в сообщении #1409643 писал(а):

Вопрос - форма оснований существенно влияет на распределение тока вдали от них?

Пока не определены "вдали" и "существенно" вопрос малоосмысленный. Скорее всего ответ зависит от тройного отношения $R_1:R_2:H$.

[Munin]

Theoristos в сообщении #1409643 писал(а):

Вопрос - форма оснований существенно влияет на распределение тока вдали от них?

Может быть, и нет. Однако распределение тока вблизи оснований может существенно повлиять на полное сопротивление. Вот в чём беда.

Theoristos в сообщении #1409643 писал(а):

И вообще, имеются ли в распределении токов для исходного конуса какая-то изюминка

Ну, если вы посмотрите на расчётные картинки Лапласа из статей, то увидите, что там вполне типичные проблемы: в одном месте сгущение эквипотенциалей, в другом - наоборот, разрежение. Это была бы хорошая учебная задача для "технических-практических" решателей Лапласа и прочих ураматов. Но точно решаемой она не является.

[reterty]

единственной "изюминкой" данной задачи можно "с натяжкой" считать разрешение вопроса о том, остается ли сопротивление идеального конуса конечным или нет

[=SSN=]

Theoristos в сообщении #1409643 писал(а):

И вообще, имеются ли в распределении токов для исходного конуса какая-то изюминка, или это просто отвлеченная проблема абсолютно точного определения распределения токов?

Чтобы появилась "изюминка", надо ещё учесть Пинч-эффект.

Иначе, абсолютно точно вычислить токи все равно не получится.

[LMA]

Вот численное решение (FreeFem++):

1. real a = 0.5; 
2. real b = 1.0; 
3. real l = 1.0; 
4. int n = 3; 
5.  
6. border b1(t = 0, a) {x = t; y = 0;}; 
7. border b2(t = 0, 1) {x = a + (b - a)*t; y = l*t;}; 
8. border b3(t = b, 0) {x = t; y = l;}; 
9. border b4(t = l, 0) {x = 0; y = t;}; 
10.  
11. mesh Th = buildmesh(b1(10) + b2(10) + b3(10) + b4(10)); 
12. fespace Vh(Th, P2); 
13. Vh u, v; 
14.  
15. problem problem1(u, v) = int2d(Th) ((dx(u)*dx(v) + dy(u)*dy(v))*x) 
16.     + on(b1, u=0) + on(b3, u=1); 
17.  
18. for (int i = 0; i < n; i++) 
19. { 
20.     problem1; 
21.     plot(u, fill = true, value = true, cmm = "i="+i); 
22.     Th = adaptmesh(Th, u); 
23. }; 
24.  
25. real admittance = int2d(Th) ((dx(u)*dx(u) + dy(u)*dy(u))*2*pi*x); 
26. real impedance = 1/admittance; 
27. real impedance0 = l/(pi*a*b); 
28.  
29. cout << "impedance/impedance0 = " << impedance/impedance0 << endl; 

Как и в статье Romano и Price, импеданс получился на 9% больше.

[Munin]

reterty в сообщении #1409698 писал(а):

единственной "изюминкой" данной задачи можно "с натяжкой" считать разрешение вопроса о том, остается ли сопротивление идеального конуса конечным или нет

А разве это вопрос? Разумеется, бесконечным.

[Red_Herring]

LMA в сообщении #1409701 писал(а):

импеданс получился на 9% больше.

При каком отношении $R_1:R_2:H$? Совершенно ясно, что при $R_1=R_2$ все считается по слоям.

[LMA]

Red_Herring в сообщении #1409715 писал(а):

При каком отношении $R_1:R_2:H$?

$0.5:1:1$, как и на рисунке.

[Red_Herring]

LMA в сообщении #1409718 писал(а):

$0.5:1:1$, как и на рисунке.

А что получится, если, скажем, взять $0.5:1:2$ или $0.25:1:1$ по сравнению с "простым но неверным" решением? Чтобы тенденции проследить.

[LMA]

(Оффтоп)

$0.01:1:0.5$, $R/R_0 = 2.00869$

$0.1:1:0.5$, $R/R_0 = 1.81998$

$0.25:1:0.5$, $R/R_0 = 1.54944$

$0.5:1:0.5$, $R/R_0 = 1.23166$

$0.75:1:0.5$, $R/R_0 = 1.05604$

$0.01:1:2$, $R/R_0 = 1.10595$

$0.1:1:2$, $R/R_0 = 1.08807$

$0.5:1:2$, $R/R_0 = 1.02663$

Похоже, что при стремлении одного из радиусов к нулю, отношение "верного" сопротивления к "неверному" стремится к некоторой константе, которая тем больше, чем больше отношение другого радиуса к высоте.

[Munin]

Довольно очевидно. Станет ещё очевиднее, если вместо третьего параметра использовать не высоту, а угол.