Производная от спирали Архимеда в полярных координатах

[B@R5uk]

ges в сообщении #1400865 писал(а):

Я правильно вас понимаю: вы утверждаете, что существует таблица производных для функций, записанных в полярных координатах...

Нет, вы не правильно понимаете. Таблица производных привязана не координатам, а к функциям. Функции — это такие математические объекты, которые существуют без всяких координатных систем. А операция взятия производной — это такая операция, которая требует от функции достаточной гладкости и не требует привязки этой функции к какой-либо координатной системе. Поэтому, когда вы пишите

ges в сообщении #1400865 писал(а):

$r=a^f$

И спрашиваете

ges в сообщении #1400865 писал(а):

чему равно $dr/df$

То ответ на этот вопрос очевиден.

[ges]

Munin в сообщении #1400867 писал(а):

...Есть одна таблица производных, независимо от того, в каких координатах вы рисуете график.

Это ваше личное мнение, или вы об этом в каком-то учебнике читали? Если в учебнике, то в каком?

[Someone]

ges в сообщении #1401054 писал(а):

Это ваше личное мнение, или вы об этом в каком-то учебнике читали? Если в учебнике, то в каком?

А где Вы читали о том, что производная функции одной переменной зависит от системы координат? Где в определении производной упоминается какая-нибудь система координат?

[Munin]

ges в сообщении #1401054 писал(а):

Это ваше личное мнение, или вы об этом в каком-то учебнике читали? Если в учебнике, то в каком?

Пожалуй, да. Личное мнение. И настаивать не буду. Наоборот, мне будет интересно посмотреть, как вы ещё помучаетесь.

[Sicker]

ges в сообщении #1400500 писал(а):

Первый вопрос: можно ли найти производную от этой функции в полярных — именно в полярных, а не в декартовых — координатах?

Производная $r$ по $f$ в данном случае не вектор, так что ваш вопрос бессмысленен

[ges]

Вот что придумал. Берем раздувающуюся окружность, то есть такую окружность, радиус которой растет. На окружности две точки, одна неподвижна, вторая движется, удаляясь от первой, причем удаляется не только просто из-за увеличения длины окружности (радиус ведь растет), а еще и в результате своего движения по окружности. Пусть расстояние $S$ вдоль окружности между точками является функцией радиуса, то есть $S=f(R)$. Значит, можно записать и наоборот $R=g(S)$. Стандартным образом находим производную $R^/=g^/(S)$. Выражаем $S$ через полярный угол $\varphi$, подставляем в обе формулы, и перед нами какая-о спираль $R=g(\varphi)$ в полярных координатах и ее производная $R^/=g^/(\varphi)$, также в полярных координатах. Понятно, что изменяя зависимость $S$ от $R$ можно получить на выходе любую спираль. Значит, любая спираль, записанная в полярных координатах, имеет производную, записанную в полярных координатах. Я прав?

[Munin]

ges в сообщении #1401293 писал(а):

Выражаем $S$ через полярный угол $\varphi$

Вот только вот в этом пункте загвоздка.

(Оффтоп)

Если его не трогать, то он изобретёт половину дифференциальных уравнений и дифференциальной геометрии. Переизобретёт. С ужасными ошибками по дороге.

[arseniiv]

ges
То, что производная функции в некоторой точке имеет отношение к касательной к кривой — графику этой функции в декартовых координатах — это лишь следствие, доказываемое отдельно. Разобравшись в этой связи аккуратно, вы сможете что-нибудь вывести и для графика в полярных координатах без построения велосипедов с квадратными колёсами. А именно, вы могли бы совершенно механически получить выражение для касательной в точке кривой — совершенно произвольной кривой Жордана, совершенно независимо от каких-либо координат, а потом уж их использовать и выписать что-то ближе к земле. И посмотреть, где там какие производные явятся.

Кроме того, чисто техническое дополнение, производная пишется просто апострофом: f' даёт $f'$; код любой формулы на форуме можно просмотреть, наведя на неё мышь или выделив и скопировав (в буфер обмена вставится текст).

И если вы пойдёте-таки по нормальному пути, можете начать с кривой, заданной в декартовых координатах как $(x, y) = (f(t), g(t))$. Касательную можно найти по определению касательной как кое-какой предел. Потом эту пару функций можно будет заменить одной вектор-функцией (берущей число и выдающей вектор, а вектор никак от системы координат не зависит) и убедиться, что формулы снова можно написать, даже короче. Полярное же задание при желании прекрасно сведётся к декартовому через $x = r\cos\varphi, y = r\sin\varphi$.

[pogulyat_vyshel]

ахинея начинается уже отсюда:

ges в сообщении #1400500 писал(а):

Производная от спирали Архимеда в полярных координатах

Спираль это кривая -- множество точек на плоскости, а производные берут от функций. По-моему, тут надо сперва определения освоить, а потом уже творчески осмыслять, так сказать

[ges]

А если процедуру взятия производной в декартовых координатах тупо применить к полярным координатам? То есть взять треугольник, образованный отрезком спирали, отрезком радиуса и дугой окружности, и уменьшить этот треугольник до такой степени, чтобы кривизной сторон можно было пренебречь? Тогда производная в полярных координатах будет отношением приращения радиуса к произведению радиуса и приращения полярного угла. Радиус — это функция полярного угла, а отношение приращения радиуса к приращению полярного угла — это производная этой функции в декартовых координатах. В итоге если $R=f($\varphi)$$, то в полярных координатах $R'=f'(\varphi)/f(\varphi)$.

[Someone]

ges
Напишите, пожалуйста, определение производной функции и покажите, где в этом определении упоминается система координат.

[Aritaborian]

ges в сообщении #1401931 писал(а):

А если процедуру взятия производной в декартовых координатах тупо применить к полярным координатам?

ges, а если всё-таки не делать ничего тупо, а? Вас тут уже несколько дней несколько очень умных людей с учёными степенями (я не о себе) с железобетонным терпением пытаются научить элементарным вещам. Я бы на их месте, конечно, начал уже бросаться в вас ботинками, хотя и сам написал в топике чего-то, но это ж было в начале, но это ж люди культурные. Так может, вы их послушаете и начнёте делать что-то умное, а не тупое?

[Евгений Машеров]

ges в сообщении #1401931 писал(а):

А если процедуру взятия производной в декартовых координатах тупо применить к полярным координатам? То есть взять треугольник, образованный отрезком спирали, отрезком радиуса и дугой окружности, и уменьшить этот треугольник до такой степени, чтобы кривизной сторон можно было пренебречь? Тогда производная в полярных координатах будет отношением приращения радиуса к произведению радиуса и приращения полярного угла. Радиус — это функция полярного угла, а отношение приращения радиуса к приращению полярного угла — это производная этой функции в декартовых координатах. В итоге если $R=f($\varphi)$$, то в полярных координатах $R'=f'(\varphi)/f(\varphi)$.

Да делайте, кто Вам запретит. Запретить могут лишь называть это производной. Поскольку производная уже имеет определение. Назовите как-нибудь ещё и изучайте свойства. К названию gesиан тоже могут быть претензии, но, скажем, можно назвать gesиодная, от филологов-классиков как-то отобьётесь...

[EUgeneUS]

ges
Вы пытаетесь изобрести уравнение касательной в полярных координатах. (см. например)

[ges]

Someone в сообщении #1401954 писал(а):

ges
Напишите, пожалуйста, определение производной функции и покажите, где в этом определении упоминается система координат.

Отсутствие в определении производной упоминания о системе координат говорит лишь о том, что производную можно найти как в декартовой, так и в полярной системе координат. Но отсутствие в определении производной упоминания о системе координат не означает, что процедура нахождения производной в любой системе координат всегда одна и та же.