Производная от спирали Архимеда в полярных координатах

[Евгений Машеров]

Процедура нахождения производной не зависит от системы координат потому, что это "животные разной породы". Применительно к геометрическим объектам существует касательная. Применительно к функциям - производная. Нам везёт, иногда удаётся установить соответствие между объектами разных миров и употребить его с пользой. Но это не значит, что это одни и те же объекты. Если мы сопоставим с функцией, как объектом алгебры или анализа, геометрический объект - график функции в данной системе координат, то сможем сопоставить с касательной к функции, геометрическим объектом, негеометрический - производную. Но это сопоставление работает в определённых условиях, когда графикв декартовых координатах. Касательная к кривой останется той же, какая бы у нас координатная система ни была бы, а вот соответствие "касательная-производная" исчезнет. При этом выписать выражение для функции, описывающей касательную к кривой, зная выражение для кривой в полярных координатах, можно - но это уже не будет "производная от радиуса по углу".

[Someone]

ges в сообщении #1403534 писал(а):

Отсутствие в определении производной упоминания о системе координат говорит лишь о том, что производную можно найти как в декартовой, так и в полярной системе координат. Но отсутствие в определении производной упоминания о системе координат не означает, что процедура нахождения производной в любой системе координат всегда одна и та же.

Нет. Отсутствие упоминания системы координат в определении производной означает, что понятие производной вообще никак не связано с понятием системы координат, и потому процедура вычисления производной никак от системы координат не зависит.

Кстати, определение касательной к кривой тоже не содержит упоминания системы координат, поэтому понятие касательной тоже никак не связано с понятием системы координат.

Разумеется, если мы задаём всякие линии уравнениями в определённой системе координат, то эти уравнения зависят от выбранной системы координат. В том числе и уравнение касательной зависит от выбранной системы координат. Но от системы координат зависят не линия и её касательная в определённой точке, а всего лишь координаты точки и уравнения линии и касательной.

[Евгений Машеров]

Наклон касательной к кривой, заданной в полярных координатах $r=f(\theta)$ будет равен
$k=\tg\alpha=\frac{r'_\theta\sin\theta+r\cos\theta}{r'_\theta\cos\theta-r\sin\theta}$
Ещё проще выражение для угла с радиус-вектором, но и оно не равно производной.

[ges]

Евгений Машеров в сообщении #1403612 писал(а):

Наклон касательной к кривой, заданной в полярных координатах $r=f(\theta)$ будет равен
$k=\tg\alpha=\frac{r'_\theta\sin\theta+r\cos\theta}{r'_\theta\cos\theta-r\sin\theta}$
Ещё проще выражение для угла с радиус-вектором...

А не могли бы записать выражение для угла с радиус-вектором?

[Евгений Машеров]

Мог бы.

[ges]

Евгений Машеров в сообщении #1403612 писал(а):

...Ещё проще выражение для угла с радиус-вектором...

Евгений Машеров в сообщении #1403688 писал(а):

Мог бы.

Вам просто некогда?

[Someone]

ges в сообщении #1404291 писал(а):

Вам просто некогда?

Нет. По правилам форума, помогающие "решить / разобраться" не имеют права выкладывать решения простых учебных задач. Так что Вы уж сами постарайтесь и покажите здесь своё решение. Если что-то пойдёт не так, Вам помогут.

[Евгений Машеров]

ges в сообщении #1404291 писал(а):

Вам просто некогда?

Нет. Тут не поощряется выдача "простых ответов". Максимум - прочтя ошибочное решение, указать на ошибку. Ну, или сослаться на учебник. То есть решение я знаю, выражение очень простое, но не совпадает с выражением для угла наклона касательной к нарисованному в декартовых координатах графику функции. Чтобы его получить на "неформальном уровне", достаточно нарисовать этот график в полярных, на нём масенький такой треугольничек, и спросить себя, чем он отличается от очень похожего в декарте, чему его катеты равны.
(Кажется, я уже слишком близко подошёл ко взысканию... Перехожу в режим тишины.)

[ges]

Евгений Машеров в сообщении #1404322 писал(а):

...масенький... треугольничек...

ges в сообщении #1401931 писал(а):

...треугольник, образованный отрезком спирали, отрезком радиуса и дугой окружности... уменьшить этот треугольник до такой степени, чтобы кривизной сторон можно было пренебречь... Тогда производная в полярных координатах будет отношением приращения радиуса к произведению радиуса и приращения полярного угла...

[Someone]

ges в сообщении #1404398 писал(а):

Евгений Машеров в сообщении #1404322 писал(а):

...масенький... треугольничек...

ges в сообщении #1401931 писал(а):

...треугольник, образованный отрезком спирали, отрезком радиуса и дугой окружности... уменьшить этот треугольник до такой степени, чтобы кривизной сторон можно было пренебречь... Тогда производная в полярных координатах будет отношением приращения радиуса к произведению радиуса и приращения полярного угла...

И что же в итоге получится? Уж дорешивайте задачу до конца.

Напоминаю, что речь шла об угле между радиус-вектором точки на кривой и касательной к кривой в этой точке.

[Евгений Машеров]

С формальной точки зрения Вы почти до конца решили. А с содержательной - покамест не поняли, что производная и касательная это разные вещи. Связь есть, но никак не тождество. А как поймёте - не будет у Вас "производной в полярных координатах". Потому, как координаты к производной отношения не имеют...

[ges]

Насколько знаю, производная всегда является тангенсом угла между касательной к графику функции и ортой аргумента. В полярных координатах ортой аргумента является нормаль радиус-вектора. Значит, производная в полярных координатах есть тангенс угла между касательной к графику функции и нормалью радиус-вектора. Этот тангенс равен отношению приращения радиуса к произведению радиуса и приращения полярного угла.

[пианист]

ges в сообщении #1404491 писал(а):

Насколько знаю, производная всегда является тангенсом угла между касательной к графику функции и ортой аргумента

Нет, это так в декартовой.
А всегда, т.е. по определению она равна пределу $\frac{\Delta f}{\Delta x}$

[Евгений Машеров]

ges в сообщении #1404491 писал(а):

Насколько знаю, производная всегда является тангенсом угла между касательной к графику функции и ортой аргумента.

Нет. Не является. Производная это предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю. Никаких углов, касательных, графиков в определении производной нет.
Мы может сопоставить объектам одного мира объекты другого мира - функциям кривые. Причём способы сопоставления могут быть разными, в том числе и в виде графика функции в декартовых координатах. Но могут быть и другими. Между свойствами этих объектов возможны соответствия, но при разных способах сопоставления разные. В частности, можно связать производную и тангенс угла наклона касательной. Но это соответствие не превращает касательную или её угол в производную, и оно, соответствие, работает при одном вполне определённом способе соотнесения объектов. При другом, в полярных координатах, соответствие будет иным. А это не все мыслимые координатные системы.

[ges]

Someone в сообщении #1404412 писал(а):

...речь шла об угле между радиус-вектором точки на кривой и касательной к кривой в этой точке.

Вообще-то речь шла об угле между нормалью радиус-вектора точки на кривой и касательной к кривой в этой точке, и тангенс этого угла (четвертый раз пишу) равен отношению приращения радиуса к произведению радиуса и приращения полярного угла.