2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Производная от спирали Архимеда в полярных координатах
Сообщение21.06.2019, 11:59 
Простейшая функция в декартовой системе координат $y=kx$. Понятно, что производная от этой функции постоянна и является тангенсом.
Простейшая функция в полярной системе координат $r=kf$. Первый вопрос: можно ли найти производную от этой функции в полярных — именно в полярных, а не в декартовых — координатах? (В декартовых какая-то бессмыслица получается.) Если можно, то эта производная (также как производная от $y=kx$) должна быть постоянной — ведь угол между нормалью к радиус-вектору и касательной, проведенной к любой точке одной и той же спирали Архимеда, всегда один и тот же. То есть скорость (а физический смысл производной — это скорость), с которой изменяется радиус-вектор, постоянна. И второй вопрос: может ли производная от $r=kf$ (также как производная от $y=kx$) быть тангенсом (естественно, речь идет о производной в полярных координатах)?

 
 
 
 Re: Производная от спирали Архимеда в полярных координатах
Сообщение21.06.2019, 12:13 
Аватара пользователя
Ваш вопрос не имеет смысла. Что такое, по вашему, «производная в полярных координатах»? Чем $r'(f)$ отличается от $y'(x)$? Задумайтесь.

(Спойлер)

Да ничем. Нен надо путать функцию и кривую на плоскости. Хотя сама ваша идея ваша не лишена смысла, но её нужно иначе формализовать. Почитайте про дифференциальную геометрию кривых.

 
 
 
 Re: Производная от спирали Архимеда в полярных координатах
Сообщение21.06.2019, 13:52 
Aritaborian в сообщении #1400502 писал(а):
Ваш вопрос не имеет смысла.
Может, вы его не поняли?
Попробую еще раз задать.
Уравнение спирали Архимеда можно записать в полярных координатах $r=kf$. А можно в декартовых в параметрическом виде $y=kfsinf$, $x=kfcosf$, и тогда в декартовых можно найти $dy/dx=(sinf+fcosf)/(cosf-fsinf)$.
А я спрашиваю, можно ли найти $dr/df$?

 
 
 
 Re: Производная от спирали Архимеда в полярных координатах
Сообщение21.06.2019, 14:01 
Аватара пользователя
ges в сообщении #1400541 писал(а):
А я спрашиваю, можно ли найти $dr/df$?

Очевидно, да. Продифференцируйте:
ges в сообщении #1400541 писал(а):
$r=kf$

 
 
 
 Re: Производная от спирали Архимеда в полярных координатах
Сообщение21.06.2019, 14:52 
B@R5uk в сообщении #1400544 писал(а):
...Очевидно, да. Продифференцируйте...
Во-первых, я не знаю как продифференцировать.
А самое главное - уравнение спирали Архимеда в полярных координатах является аналогом уравнения прямой в декартовых координатах, и поэтому если $dr/df$ можно найти, то это давным-давно сделано, просто я найти не могу.

 
 
 
 Re: Производная от спирали Архимеда в полярных координатах
Сообщение21.06.2019, 14:54 
Аватара пользователя
ges в сообщении #1400564 писал(а):
я не знаю как продифференцировать

Линейная функция есть в школьной таблице производных, если что.

 
 
 
 Re: Производная от спирали Архимеда в полярных координатах
Сообщение21.06.2019, 15:52 
B@R5uk в сообщении #1400566 писал(а):
...Линейная функция есть в школьной таблице производных, если что.
Может, вы первый пост не прочитали?

Еще раз. Производная для $y=kx$ (декартовы координаты) постоянна и является тангенсом угла между графиком функции и осью иксов. Производная для $r=kf$ (полярные координаты) также будет явно постоянна, так как производная - это скорость, а скорость, с которой изменяется радиус ,безусловно постоянна. Но вот будет ли производная для $r=kf$ тангенсом угла между касательной к спирали и нормалью к радиусу - это мне кажется сомнительным.

Я не знаю - есть такая математическая процедура: взять производную в полярных координатах? Не в декартовых, а именно в полярных?

 
 
 
 Re: Производная от спирали Архимеда в полярных координатах
Сообщение21.06.2019, 16:12 
Аватара пользователя
ges в сообщении #1400584 писал(а):
это мне кажется сомнительным

Ну так вы посчитайте и скажите нам. Или хотя бы приведите свои попытки (а то правила запрещают просто взять и опубликовать ответ).

А вообще я не понимаю из-за чего у вас этот сыр-бор. Какая конечная цель? Что хотите найти? Можно вообще, вон, взять вместо иксов нарисовать на графике декартовых координат фи, вместо игреков — радиус, и у вас спираль Архимеда чудесным образом превратиться в прямую. Ну или в набор параллельных прямых. Всё зависит от того, как вы трактуете отображение одной системы на другую.

Если же вам хочется чего-то фундаментально научного (типа собственного параметра кривой), то Aritaborian дал вам хороший намёк в какую сторону копать.

 
 
 
 Re: Производная от спирали Архимеда в полярных координатах
Сообщение21.06.2019, 16:31 
ges в сообщении #1400541 писал(а):
А я спрашиваю, можно ли найти $dr/df$?

Ну ессно можно, эта производная будет константой, и равна $k$
ges в сообщении #1400584 писал(а):
Но вот будет ли производная для $r=kf$ тангенсом угла между касательной к спирали и нормалью к радиусу - это мне кажется сомнительным.

Тут вам надо спросить по-другому: чему равен угол (или его тангенс) между касательной к спирали и направлением на начало (полюс) спирали (или перпендикуляром к нему) и будет ли он постоянным. Отвечаю на вторую часть: нет, постоянным он не будет, угол будет стремиться к нулю либо прямому (смотря какой угол интересует), т.е. с увеличением $f$ форма спирали будет все больше похожа на окружность.

 
 
 
 Re: Производная от спирали Архимеда в полярных координатах
Сообщение21.06.2019, 20:06 
Аватара пользователя
ges в сообщении #1400500 писал(а):
а физический смысл производной — это скорость

Вот это большая ошибка. И видимо, из-за неё и происходит всё остальное непонимание.

Физический смысл производной - это не только скорость.
Физический смысл производной - это скорость, только в случае производной по времени $\dfrac{d}{dt}.$

 
 
 
 Re: Производная от спирали Архимеда в полярных координатах
Сообщение21.06.2019, 20:39 
wrest в сообщении #1400596 писал(а):
...угол... постоянным... не будет...
Действительно. Поэтому производная от $r=kf$ никак не может быть тангенсом этого угла - она же постоянная.

Угол постоянный у логарифмической спирали. Интересно, а чему равно $dr/df$ для $r=a^f$?

-- 21.06.2019, 21:41 --

Munin в сообщении #1400662 писал(а):
...Физический смысл производной - это не только скорость...
А какой еще есть физический смысл у производной?

 
 
 
 Re: Производная от спирали Архимеда в полярных координатах
Сообщение21.06.2019, 20:57 
Аватара пользователя
ges в сообщении #1400681 писал(а):
А какой еще есть физический смысл у производной?

Их десятки разных. Смотря, что по чему дифференцируется. Например, производная потенциальной энергии по пространственной координате - это сила (и соответственно, потенциала по ней же - это напряжённость). Производная тепловой энергии по температуре - теплоёмкость. Производная частоты по волновому числу - групповая скорость.

 
 
 
 Re: Производная от спирали Архимеда в полярных координатах
Сообщение21.06.2019, 22:46 
Аватара пользователя
ges в сообщении #1400681 писал(а):
Интересно, а чему равно $dr/df$ для $r=a^f$?
У Вас таблицы производных под руками нет?

(ges)

P.S. А почему Вы полярный угол буквой $f$ обозначаете? Оно, конечно, ваше право, хоть какую-нибудь свою загогулину рисуйте, но привычнее всё-таки $\varphi$.
Коды всяких символов можно найти в теме FAQ по тегу [math].

 
 
 
 Re: Производная от спирали Архимеда в полярных координатах
Сообщение22.06.2019, 20:47 
Someone в сообщении #1400721 писал(а):
ges в сообщении #1400681 писал(а):
Интересно, а чему равно $dr/df$ для $r=a^f$?
У Вас таблицы производных под руками нет?
Я правильно вас понимаю: вы утверждаете, что существует таблица производных для функций, записанных в полярных координатах (также, как существует таблица производных для функций, записанных в декартовых координатах)? Нет, у меня нет такой таблицы. Я ее никогда не видел. А где ее можно скачать?

 
 
 
 Re: Производная от спирали Архимеда в полярных координатах
Сообщение22.06.2019, 20:52 
Аватара пользователя
Всё гораздо круче. Есть одна таблица производных, независимо от того, в каких координатах вы рисуете график.

 
 
 [ Сообщений: 56 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group