Угловая скорость рамки в магнитном поле и магнитная индукция

[chislo_avogadro]

oleg_2 в сообщении #1401447 писал(а):

Вы меня так спрашиваете, как будто

Всё ОК, спасибо за ответ - я тогда просто как-то сналёту пренебрёг индуктивностью, чего, конечно, здесь делать нельзя. А так да, нормальная пила.

oleg_2 в сообщении #1401447 писал(а):

Я пока всё ещё надеюсь, что толи amon ошибся с формулами, толи артефакт численной схемы, это я про второй рисунок, где RealSign в сообщении post1401257.html#p1401257
. Мне в этих колебаниях непонятно вот что. Размах колебаний угла примерно $2\pi$ (я сопоставил период колебаний и амплитуду скорости).

Если вы не ошиблись со ссылкой, то посмотрите следующие посты amon, там он картинку откорректировал. Что бы на этих графиках интересовало - идёт ли изображённая кривая разгона в бесконечность или есть насыщение. Но это вопрос не Вам.

[amon]

wrest в сообщении #1401423 писал(а):

Это очень странно, поскольку моторы с намоткой из сверхпроводников наверняка существуют "в железе" и работают.

На переменном токе сверхпроводник имеет конечное активное сопротивление. Нулевое у него сопротивление только для постоянного тока.

-- 25.06.2019, 16:34 --

wrest в сообщении #1401387 писал(а):

Судя по картинке, при наличии активного сопротивления скорость тоже растет как квадратный корень времени (т.е. неограниченно)?

Нет.

Вложение:

Motor3.png

Синяя картинка - есть активное сопротивление, желтая - нет.

[amon]

realeugene в сообщении #1401418 писал(а):

Помоделировал численно. В зависимости от начальных условий без дополнительных потерь возможны самые странные режимы.

Ну, так будет и для обычного моторчика. Хочется найти режим, при котором моторчик крутится. Сделать это можно так (вдруг кому пригодится, это то, что проделали уважаемый Alex-Yu и ваш покорный слуга). Запишем систему уравнений

$$ \begin{align*} J\dot{\omega}&=IBl\cos\alpha\\ L\dot{I}&=\mathcal{E}_0\sin\alpha-SB\omega\cos\alpha \end{align*} $$

Она жутко нелинейная, и точно не решается. Сделаем такой трюк - будем считать, что угловая скорость есть какая-то медленно меняющаяся функция $\omega(t)$ плюс быстро осциллирующая добавка $\delta\omega,$ которая мала по сравнению с $\omega.$ Вообще говоря, строгих оснований для такого разбиения нет, но численные картинки (полученные задним числом) показывают, что это действительно так для искомого решения.

Теперь проинтегрируем последнее уравнение, считая в нем угловую скорость постоянной и пренебрегая $\delta\omega.$ Результат подставим в первое уравнение и усредним правую часть по периоду (проинтегрируем $\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}d\alpha,$ считая, что $\alpha=\omega t.$Получим

$$I=-\frac{\mathcal{E}_0}{L\omega}\cos\alpha-\frac{SB}{L}\sin\alpha$$

Второй член после подстановки в первое уравнение и усреднения дает ноль (надо усреднить по периоду $\sin\alpha\cos\alpha$), а первый, после усреднения $\cos^2\alpha,$ дает уравнение для медленной части угловой скорости. С точностью до коэффициентов, за которыми лень следить получим

$$\frac{d}{dt}(\omega^2)=-\frac{\mathcal{E}_0Bl}{JL},$$

значит, если $\mathcal{E}_0$ отрицательно, то $\omega$ в среднем растет как $\sqrt{t},$ что и подтверждается численными расчетами, при положительном $\mathcal{E}_0$ омега убывает, и схема рассыпается - надо честно решать нелинейное уравнение.

[Munin]

amon в сообщении #1401499 писал(а):

Она жутко нелинейная, и точно не решается.

Может, это самое, фазовый портрет нарисовать?

[realeugene]

В 3D?

[Munin]

А что делать.

[amon]

Munin в сообщении #1401504 писал(а):

Может, это самое, фазовый портрет нарисовать?

Можно, но зачем? Мы нужное нам, инженерам-физикам, решение уже угадали, выяснили, что у него есть область устойчивости, а как там общее решение устроено, пусть разбираются специально обученные люди.

[rascas]

amon в сообщении #1401499 писал(а):

Запишем систему уравнений

$$ \begin{align*} J\dot{\omega}&=IBl\cos\alpha\\ L\dot{I}&=\mathcal{E}_0\sin\alpha-SB\omega\cos\alpha \end{align*} $$

угловая скорость есть какая-то медленно меняющаяся функция $\omega(t)$ плюс быстро осциллирующая добавка $\delta\omega,$ которая мала по сравнению с $\omega.$

На мой взгляд, основной недостаток этого "математического" подхода, это то, что в указанной конструкции ток через рамку течёт всегда в одном направлении!
И соответственно, из-за коммутации в коллекторе ток через источник ЭДС меняет направление каждые пол оборота рамки.
На мой взгляд, это не физично. В реальных коллекторных двигателях наблюдаются моменты, когда ток вообще не течёт через часть обмотки ротора. И каждые пол оборота двигателя постоянного тока, ток в обмотках ротора меняет направление.

На эту систему уравнений необходимо ещё накладывать по крайне мере условие прекращение тока через рамку во время перекоммутации в коллекторе.
И тогда подозреваю, этих чудес с неограниченным возрастанием оборотов наблюдаться не будет.

[Alex-Yu]

rascas в сообщении #1401588 писал(а):

в указанной конструкции ток через рамку течёт всегда в одном направлении!

Это что еще за бред??? Модератор, избавьте нас от таких "знатоков"!

[rascas]

amon в сообщении #1401499 писал(а):

Запишем систему уравнений

$$ \begin{align*} J\dot{\omega}&=IBl\cos\alpha\\ L\dot{I}&=\mathcal{E}_0\sin\alpha-SB\omega\cos\alpha \end{align*} $$

Вроде обнаружил ошибку в этой системе уравнений.
Судя по первому уравнению системы $\alpha$ это угол между плоскостью рамки и вектором магнитной индукции $B$.
(когда рамка перпендикулярна вектору магнитной индукции, $\alpha=\pm\frac{\pi}{2}$ и момент на рамку 0, и её ускорение 0 )

Слагаемое $(\mathcal{E}_0\sin\alpha)$ это ЭДС источника с учётом коммутации в коллекторе. И судя по формуле коммутация происходит при $\alpha = 0$, т.е. когда плоскость рамки параллельна вектору магнитной индукции.
Но это же не правильно. Подразумевается, что перекоммутация в коллекторе рамки происходит когда она перпендикулярна вектору магнитной индукции!

Исправленная версия системы уравнений:

$$ \begin{align*} J\dot{\omega}&=IBl\cos\alpha\\ L\dot{I}&=(\mathcal{E}_0 -SB\omega)\cos\alpha \end{align*} $$

[Alex-Yu]

rascas в сообщении #1401622 писал(а):

Но это же не правильно.

Оставьте эти свои "неправильно" при себе!!! Вопрос момента коммутации подробно обсуждался. В разных случаях он должен быть разный.

[amon]

rascas в сообщении #1401622 писал(а):

Исправленная версия системы уравнений:

$$ \begin{align*} J\dot{\omega}&=IBl\cos\alpha\\ L\dot{I}&=(\mathcal{E}_0 -SB\omega)\cos\alpha \end{align*} $$

Выкинете, для простоты, самоиндукцию. Тогда эта система точно решается, точнее, имеет первый интеграл, из которого все становится ясно.

[rascas]

amon в сообщении #1401631 писал(а):

rascas в сообщении #1401622 писал(а):

Исправленная версия системы уравнений:

$$ \begin{align*} J\dot{\omega}&=IBl\cos\alpha\\ L\dot{I}&=(\mathcal{E}_0 -SB\omega)\cos\alpha \end{align*} $$

Выкинете, для простоты, самоиндукцию. Тогда эта система точно решается, точнее, имеет первый интеграл, из которого все становится ясно.

Пожалуйста. Обнуляем индуктивность, $L=0$.
Из второго уравнения системы: $ \omega = \frac{\mathcal{E}_0}{SB} $

[amon]

rascas в сообщении #1401633 писал(а):

Обнуляем индуктивность, $L=0$.

А Вы, в силу врожденных особенностей организма, индуктивность от ЭДС самоиндукции совсем не отличаете?

[Pphantom]

Alex-Yu, ошибки оппонента не означают, что ему надо немедленно хамить. Стоит по крайней мере начать с объяснений, почему он неправ. Предупреждение.