Угловая скорость рамки в магнитном поле и магнитная индукция

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1401272 писал(а):

Выглядит все странно.

Вот и я о том. Но сейчас надо будет заняться PHD тезисом одного великовозрастного как бы это по-мягче ..., так что поиграю, когда освобожусь.

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1401271 писал(а):

я поигрался с начальными условиями и коэффициентами

В т.ч. со знаками коэффициентов?

-- Пн июн 24, 2019 21:35:09 --

amon в сообщении #1401274 писал(а):

когда освобожусь.

Мне, к сожалению, тоже не до того. Octave у меня где-то была и я даже месяц назад на ней дифур решал. Но уже забыл как это делается...

Штучка забавная, если вдруг все это действительно так (я, в принципе, допускаю артефакт численной схемы). Надо еще подумать, любой ли набор коэффициентов (в т.ч. знаков) физически допустим. Знаков точно не любой

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1401261 писал(а):

Крутится, крутится. Ищите ошибку.

Нашел ошибку. Неправильная фаза питающего напряжения. Должно быть

$$ \begin{align*} a''(t) &= 0.01 i(t) \cos(a(t))\\ i'(t)&=\mathbf{- 5 \sin(a(t))} - a'(t) \cos(a(t))\\ a(0)&=0\\ a'(0)&=0.05\\ i(0)&=0 \end{align*} $$

Тогда частота вращения растет по квадратному корню из времени, как и предсказывали ученые.

Вложение:

Motor1.png [ 14.89 Кб | Просмотров: 1890 ]

Единственная оставшаяся забавность - толкая моторчик в одну сторону с разной силой можно заставит его крутиться в разные стороны, но это более-менее тривиально. Если вместо $a'(0)=0.05$ написать $a'(0)=0.06,$ то получится так

Вложение:

Motor2.png [ 14.9 Кб | Просмотров: 1890 ]

Еще забавно, что наличие активного сопротивления позволяет моторчику крутиться даже при сбитой фазе.

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1401346 писал(а):

Неправильная фаза питающего напряжения.

Я тоже пришел было к такому соображению. Но!!! Это очень и очень странно. Это что получается, переплюсовка батарейки приводит к тому, что моторчик крутится или не крутится??? Согласитесь, это странно.

Более детально мои соображения были такие. Пусть скорость мала пока. Тогда индуцированной ЭДС можно пренебречь. Тогда уравнение на ток решается в полпинка, косинус. Но с минусом. Не сходится с начальными условиями (был задан положительный начальный ток). Но если изменить начальный ток, взять косинус с минусом и обратиться к уравнению на угол, то очевидно, что вращение тормозится. Казалось бы, просто поменять знак начальной скорости... Ан нет, тогда тоже тормозится (ток станет косинус с плюсом). Надо именно поменять знак напряжения. Что странно.

Я все же никак не могу понять, почему нет инвариантности относительно переплюсовки батарейки.

[wrest]

amon в сообщении #1401346 писал(а):

Еще забавно, что наличие активного сопротивления позволяет моторчику крутиться даже при сбитой фазе.

Судя по картинке, при наличии активного сопротивления

скорость тоже растет как квадратный корень времени (т.е. неограниченно)?

[realeugene]

oleg_2 в сообщении #1400899 писал(а):

Я двигатель понимаю так, как на рис. ниже. $\omega t$ отсчитываю с момента коммутации и ЭДС-индукции синфазна с меандром. Т. е. начало меандра и синусоиды совпадают в момент времени $t=0$, рамка при этом поперёк поля.
Изображение Изображение

$E_b$ на рисунке ошибочное. $A$ тоже пропорциональна угловой скорости.

-- 25.06.2019, 10:43 --

amon в сообщении #1400909 писал(а):

Если заменить $\operatorname{sign}(\cos\alpha)$ на $\cos\alpha$ (синхронный двигатель с подстройкой частоты), то вообще все просто.

Только дифур нелинейный, и гармоники, тоже, могут играть свою роль. И, да, у решения возможны различные режимы, в зависимости от начальных условий. Нет ли на самом деле колебательного - нужно разбираться.

[chislo_avogadro]

Пришлось снять сообщение для поправок. Осторожно надеюсь, что ошибки убраны.

realeugene в сообщении #1401394 писал(а):

Нет ли на самом деле колебательного - нужно разбираться.

Я прикинул на рамке от oleg_2

oleg_2 в сообщении #1400740 писал(а):

Пусть длина провода $l$, масса системы - $m$, тогда

$$\mathcal{E'} = \frac{(Bl)^2}{m}i$$

Здесь видно, что множитель перед $i$ ведёт себя как ёмкость $\frac{1}{C} = \frac{(Bl)^2}{m}$.

Уравнение $Li'' = U' - \mathcal{E'} = -\frac{1}{C}i$ имеет решение $i = i_0 cos(\omega t)$, где $\omega = \frac{Bl}{\sqrt{Lm}}$.

И итоговая $\mathcal{E} = \frac{i_0}{\omega C}sin (\omega t) - U$ может, в зависимости от $i_0$, осциллировать.

$i_0$ видимо просто начальное условие.

Эквивалентная схема была бы - последовательно соединённые $L$ и $C$, и на резонансной частоте, т.е. $\frac{Bl}{\sqrt{Lm}}$, сопротивление этого соединения бесконечно. К слову, при этом при конечном токе и в схеме без потерь осциллирующие напряжения на $L$ и $C$ могут устремляться в бесконечность.

И, вследствие наличия индуктивности, действительно, $\mathcal E$ может отличаться от $U$.

Правда решений, где бы ЭДС, как среднее, росло здесь со временем, пока не вижу...

[realeugene]

Помоделировал численно. В зависимости от начальных условий без дополнительных потерь возможны самые странные режимы. Есть режим когда рамка встаёт вертикально, дрожит возле этого положения и ток возрастает линейно. Есть режим когда скорость после начального переходного этапа возрастает примерно линейно, ускорение колеблется с примерно постоянной амплитудой и ток через рамку, тоже, выходит на насыщение. На самом деле, без потерь эту систему моделировать нельзя.

Возможно, я знаки где-то перепутал, но стало понятно, что без потерь в принципе ничего не ограничивает систему, кроме численных ошибок.

[wrest]

realeugene в сообщении #1401418 писал(а):

На самом деле, без потерь эту систему моделировать нельзя.

Это очень странно, поскольку моторы с намоткой из сверхпроводников наверняка существуют "в железе" и работают.

realeugene в сообщении #1401418 писал(а):

в принципе ничего не ограничивает систему,

Ну так нужен ненулевой момент инерции рамки, он будет ограничивать бесконечные угловые ускорения.

[artur_k]

realeugene в сообщении #1401418 писал(а):

Есть режим когда рамка встаёт вертикально, дрожит возле этого положения и ток возрастает линейно.

Вполне очевидный режим. Двухполюсный ротор имеет две мертвых точки. В реальных коллекторных двигателях, чтобы избежать этого, делают роторы с более чем 2-мя полюсами.

[realeugene]

wrest в сообщении #1401423 писал(а):

Это очень странно, поскольку моторы с намоткой из сверхпроводников наверняка существуют "в железе" и работают.

Наверняка существуют и работают, или существуют и работают?

И не забывайте ещё про механические потери.

[wrest]

realeugene в сообщении #1401439 писал(а):

Наверняка существуют и работают, или существуют и работают?

Существуют и работают, но надо искать подробности: http://tehnoomsk.ru/node/3591

realeugene в сообщении #1401439 писал(а):

И не забывайте ещё про механические потери.

Конечно. Но тезис, тем не менее, очень странный -- "чтобы двигатель работал, его надо тормозить".

[realeugene]

wrest в сообщении #1401442 писал(а):

Но тезис, тем не менее, очень странный -- "чтобы двигатель работал, его надо тормозить".

Чтобы математическая модель была реалистичной, в неё нужно добавить потери

[oleg_2]

chislo_avogadro
Вы меня так спрашиваете, как будто я дока, а я ничего не понимаю, где-то формулу какую припомню, где-то по наитию, где-то на кофейной гуще.

realeugene в сообщении #1401394 писал(а):

$E_b$ на рисунке ошибочное. $A$ тоже пропорциональна угловой скорости.

Да.

Задачу я попытался решить по-простому, без уравнений, графически, характер процессов. Инерция рамки большая, в пределах периода скорость меняется незначительно.
Рисунок второй сверху. Рисую пилу тока $i_1$, рисую косинус $i_2$ - это бледные линии, рисую сумму этих токов $i_3$ - яркая синяя линия. Косинус, потому что ток отстаёт от ЭДС индукции на полпериода. Там ещё есть для наглядности оранжевый график момента. Графики дифференциальные, их можно двигать по вертикали; слежу за тем, чтобы не было скачков тока при коммутации, изломы допустимы, а скачки нет. Первый и второй полупериоды - зеркальное отражение друг друга относительно оси $t$. Очевидно, что средний ток за полпериода нулевой, и средний момент нулевой. И это при любой скорости $\omega$. Я это так понимаю, что это вовсе не двигатель, рамке можно придать любую скорость внешней силой, и она так и будет крутиться по инерции, а ток будет пульсировать зазря.


Теперь смещаю щетки на $\pi/2$ в сторону опережения, т. е. против вращения (нижний рисунок). Соответственно смещается пила. Суммирую токи. Очевидно, средний ток и средний момент ненулевые.

Догадки.
1. С ростом $\omega$ амплитуда пилы тока всё меньше, а амплитуда синусоиды тока постоянная.
2. Рамка со сдвинутыми на $\pi/2$ щетками раскручивается до бесконечности, но не может заряжать батарейку. Для заряда нужно поменять полярность батарейки и крутить рамку в другую сторону.
3. Обычные двигатели хорошо работают с высоким к. п. д., с хорошим пуском, с конечной скоростью холостого хода, на зарядку и на разрядку батарейки. Подозреваю, что если сделать идеальную модель обычного двигателя, т. е. несколько рамок и несколько пластин коллектора, то модель эта будет лучше одиночной рамки, без выкрутасов. Даже в игрушечном моторчике три рамки.

Я пока всё ещё надеюсь, что толи amon ошибся с формулами, толи артефакт численной схемы, это я про второй рисунок, где RealSign в сообщении https://dxdy.ru/post1401257.html#p1401257. Мне в этих колебаниях непонятно вот что. Размах колебаний угла примерно $2\pi$ (я сопоставил период колебаний и амплитуду скорости). Подпитывает колебания батарейка. Частота колебаний возрастает, возрастает и ускорение. Ток в рамке - пила, с уменьшением периода размах пилы уменьшается; с чего увеличиваться ускорению?

Ещё меня смущает, что я совсем не думаю о источнике внешнего магнитного поля, а и Бессонов, и Фейнман подчеркивают, что о нем надо думать. Но мне это не осилить.

[realeugene]

wrest в сообщении #1401442 писал(а):

Существуют и работают, но надо искать подробности: http://tehnoomsk.ru/node/3591

А это двигатель постоянного тока с коммутатором?
Сопротивлене сверхпроводника на переменном токе ненулевое.